Graph einer Funktion - Graph of a function

Graph der Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x.}$

In der Mathematik ist die grafische Darstellung einer Funktion ist der Satz von geordneten Paaren , wo in dem gemeinsamen Fall, und sind reelle Zahlen , diese Paare sind rechtwinklige Koordinaten von Punkten im zweidimensionalen Raum , und somit eine Teilmenge dieser Ebene bilden. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle f(x)=y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Bei Funktionen zweier Variablen, also Funktionen, deren Domäne aus Paaren besteht, bezieht sich der Graph normalerweise auf die Menge der geordneten Tripel, wobei anstelle der Paare wie in der obigen Definition angegeben ist. Diese Menge ist eine Teilmenge des dreidimensionalen Raums ; für eine stetige reellwertige Funktion zweier reeller Variablen ist es eine Fläche . ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle f(x,y)=z,}$${\displaystyle ((x,y),z)}$

Ein Funktionsgraph ist ein Spezialfall einer Relation .

In Wissenschaft , Technik , Technologie , Finanzen und anderen Bereichen sind Diagramme Werkzeuge, die für viele Zwecke verwendet werden. Im einfachsten Fall wird eine Variable als Funktion einer anderen aufgetragen, typischerweise mit rechteckigen Achsen ; Details finden Sie unter Plot (Grafiken) .

In den modernen Grundlagen der Mathematik und typischerweise in der Mengenlehre ist eine Funktion tatsächlich gleich ihrem Graphen. Es ist jedoch oft nützlich, Funktionen als Mappings zu sehen , die nicht nur aus der Beziehung zwischen Input und Output bestehen, sondern auch, welche Menge die Domäne ist und welche Menge die Co- Domäne ist . Um beispielsweise zu sagen, dass eine Funktion auf ( surjektiv ) liegt oder nicht, sollte die Kodomäne berücksichtigt werden. Der Graph einer Funktion allein bestimmt nicht die Kodomäne. Es ist üblich, sowohl die Begriffe Funktion als auch Graph einer Funktion zu verwenden, da sie, selbst wenn sie dasselbe Objekt betrachten, anzeigen, dass es aus einer anderen Perspektive betrachtet wird.

Graph der Funktion über das Intervall [−2,+3]. Gezeigt werden auch die beiden reellen Nullstellen und das lokale Minimum, die im Intervall liegen.${\displaystyle f(x)=x^{4}-4x}$

Definition

Gegeben eine Abbildung, d . h. eine Funktion zusammen mit ihrem Bereich und ihrem Kobereich, ist der Graph der Abbildung ${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

$${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$

was eine Teilmenge von ist . In der abstrakten Definition einer Funktion ist eigentlich gleich${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle f.}$

Man kann beobachten, dass wenn, dann der Graph eine Teilmenge von ist (genau genommen ist er es, aber man kann ihn in den natürlichen Isomorphismus einbetten). ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m},}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n+m}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{m},}$

Beispiele

Funktionen einer Variablen

Graph der Funktion ${\displaystyle f(x,y)=\sin\left(x^{2}\right)\cdot \cos\left(y^{2}\right).}$

Der Graph der durch . definierten Funktion${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if}}x=2,\\c,&{ \text{if }}x=3,\end{Fälle}}}$$

${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$

$${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

Aus dem Graphen wird die Domäne als Satz der ersten Komponente jedes Paares im Graphen wiedergewonnen . Ebenso kann der Bereich als wiederhergestellt werden . Die Kodomäne kann jedoch nicht allein aus dem Graphen bestimmt werden. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ {\text{es existiert }}y,{\text{ mit }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:{\text{existiert }}x,{\text{ mit }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

Der Graph des kubischen Polynoms auf der reellen Geraden

$${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$

$${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ ist eine reelle Zahl}}\}.}$$

Wird diese Menge auf einer kartesischen Ebene aufgetragen , ergibt sich eine Kurve (siehe Abbildung).

Funktionen von zwei Variablen

Plot des Graphen, der auch seinen Gradienten projiziert auf die untere Ebene zeigt.${\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos\left(x^{2}\right)+\cos\left(y^{2}\right)\right)^{2},}$

Der Graph der trigonometrischen Funktion

$${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$

$${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ und }}y{\text{ sind reelle Zahlen}}\} .}$$

Wird dieser Satz auf einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem aufgetragen , ergibt sich eine Fläche (siehe Abbildung).

Oftmals ist es hilfreich, mit dem Graphen die Steigung der Funktion und mehrere Pegelkurven darzustellen. Die Niveaukurven können auf der Funktionsfläche abgebildet oder auf die untere Ebene projiziert werden. Die zweite Abbildung zeigt eine solche Zeichnung des Funktionsgraphen:

$${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

Verallgemeinerungen

Der Graph einer Funktion ist in einem kartesischen Produkt von Mengen enthalten. Eine – Ebene ist ein kartesisches Produkt zweier Geraden, genannt und während ein Zylinder ein kartesisches Produkt aus einer Geraden und einem Kreis ist, dessen Höhe, Radius und Winkel genaue Lagen der Punkte zuweisen. Faserbündel sind keine kartesischen Produkte, sondern wirken hautnah. Es gibt eine entsprechende Vorstellung von einem Graphen auf einem Faserbündel, der als Schnitt bezeichnet wird . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

Die Graph einer Multifunktionsfunktion , sagen wir, die Multifunktionsfunktion ist die Menge${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y,}$${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\left\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\} .}$

Siehe auch

Verweise

• Zălinescu, Constantin (30. Juli 2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1.921.556 . OCLC  285163112 .

Externe Links

• Weisstein, Eric W. " Funktionsgraph ." Von MathWorld – Eine Webressource von Wolfram.