Große Ellipse - Great ellipse

Ein Sphäroid

Eine große Ellipse ist eine Ellipse, die durch zwei Punkte auf einem Sphäroid verläuft und den gleichen Mittelpunkt wie der des Sphäroids hat. Entsprechend ist es eine Ellipse auf der Oberfläche eines Sphäroids und auf den Ursprung zentriert , oder die Kurve, die gebildet wird, indem das Sphäroid durch eine Ebene durch seinen Mittelpunkt geschnitten wird. Für die Punkte , die durch weniger getrennt sind als etwa ein Viertel des Umfangs der Erde , um , ist die Länge der großen Ellipsen Verbinden der Punkte der Nähe (innerhalb von einem Teil in 500,000) an den geodätischen Abstand . Die Große Ellipse wird daher manchmal als geeignete Route für die Seeschifffahrt vorgeschlagen. Die große Ellipse ist ein Sonderfall einer Erdabschnittsbahn . ${\displaystyle 10\,000\,\mathrm {km} }$

Einführung

Angenommen, das Sphäroid, ein Rotationsellipsoid, hat einen äquatorialen Radius und eine polare Halbachse . Definieren Sie die Abflachung , die Exzentrizität und die zweite Exzentrizität . Betrachten Sie zwei Punkte: bei (geographischem) Breiten- und Längengrad und bei Breiten- und Längengrad . Die verbindende große Ellipse (von bis ) hat Länge und hat Azimute und an den beiden Endpunkten. ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f=(ab)/a}$${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}}$${\displaystyle e'=e/(1-f)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi_{2}}$${\displaystyle \lambda_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle \alpha_{1}}$${\displaystyle \alpha_{2}}$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Ellipsoid in eine Radiuskugel so abzubilden, dass die Großellipse in einen Großkreis abgebildet wird, wobei die Methoden der Großkreisnavigation verwendet werden können: ${\displaystyle a}$

• Das Ellipsoid kann in einer Richtung parallel zur Rotationsachse gestreckt werden; dies bildet einen Breitenpunkt auf dem Ellipsoid auf einen Punkt auf der Kugel mit dem Breitengrad ab , dem parametrischen Breitengrad .${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \beta}$
• Ein Punkt auf dem Ellipsoid kann entlang der Linie, die ihn mit dem Mittelpunkt des Ellipsoids verbindet, radial auf die Kugel abgebildet werden; dies ordnet einen Breitenpunkt auf dem Ellipsoid einem Punkt auf der Kugel mit dem Breitengrad , dem geozentrischen Breitengrad, zu .${\displaystyle \phi}$${\displaystyle\theta}$
• Das Ellipsoid kann zu einem gestreckten Ellipsoid mit polarer Halbachse gestreckt und dann radial auf die Kugel abgebildet werden; Dadurch bleibt der Breitengrad erhalten – der Breitengrad auf der Kugel ist , der geografische Breitengrad .${\displaystyle a^{2}/b}$${\displaystyle \phi}$

Die letzte Methode bietet eine einfache Möglichkeit, eine Folge von Wegpunkten auf der großen Ellipse zu erzeugen, die zwei bekannte Punkte und verbindet . Löse nach dem Großkreis zwischen und auf und finde die Wegpunkte auf dem Großkreis . Diese werden in Wegpunkte auf der entsprechenden großen Ellipse abgebildet. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\phi_{1},\lambda_{1})}$${\displaystyle (\phi_{2},\lambda_{2})}$

Zuordnung der großen Ellipse zu einem Großkreis

Wenn Entfernungen und Richtungen benötigt werden, ist es am einfachsten, die erste der Zuordnungen zu verwenden. Im Detail sieht die Zuordnung wie folgt aus (diese Beschreibung stammt aus ):

• Die geografische Breite auf dem Ellipsoid wird auf die parametrische Breite auf der Kugel abgebildet, wobei${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \beta}$

  ${\displaystyle a\tan\beta =b\tan\phi.}$

• Der Längengrad ist unverändert.${\displaystyle \lambda}$
• Der Azimut auf dem Ellipsoid wird auf einen Azimut auf der Kugel abgebildet, wobei${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\gamma}$

  ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\tan\alpha &={\frac {\tan\gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos^{2}\beta}}},\\\ tan\gamma &={\frac{\tan\alpha}{\sqrt {1+e'^{2}\cos^{2}\phi}}},\end{ausgerichtet}}}$

  und die Quadranten von und sind gleich.${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\gamma}$
• Die Positionen auf dem Großkreis mit dem Radius werden durch die Bogenlänge, gemessen von der nördlichen Kreuzung des Äquators, parametrisiert . Die große Ellipse hat eine Halbachse und , wobei der Azimut des großen Kreises an der Nordäquatorkreuzung und der parametrische Winkel auf der Ellipse ist.${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a{\sqrt {1-e^{2}\cos^{2}\gamma_{0}}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \sigma}$

(Eine ähnliche Kartierung wie eine Hilfskugel wird bei der Lösung von Geodäten auf einem Ellipsoid durchgeführt . Der Unterschied besteht darin, dass der Azimut bei der Kartierung erhalten bleibt, während der Längengrad auf einen "sphärischen" Längengrad abgebildet wird . Die äquivalente Ellipse wird für Entfernungsberechnungen verwendet hat Halbachsen und .) ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle\omega}$${\displaystyle b{\sqrt {1+e'^{2}\cos^{2}\alpha_{0}}}}$${\displaystyle b}$

Lösung des inversen Problems

Das "inverse Problem" ist die Bestimmung von , , und , gegeben die Positionen von und . Dies wird durch Berechnen und Auflösen nach dem Großkreis zwischen und gelöst . ${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \alpha_{1}}$${\displaystyle \alpha_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \beta_{1}}$${\displaystyle \beta_{2}}$${\displaystyle (\beta_{1},\lambda_{1})}$${\displaystyle (\beta_{2},\lambda_{2})}$

Die sphärischen Azimute werden umbenannt als (von ). Somit , , und und die sphärischen Azimute am Äquator und an und . Die Azimuth der Endpunkte der großen Ellipse und werden aus und berechnet . ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha_{1}}$${\displaystyle \alpha_{2}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$

Die Halbachsen der großen Ellipse können mit dem Wert von gefunden werden . ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Im Rahmen der Lösung des Großkreisproblems werden auch die Bogenlängen, und , gemessen von der Äquatorkreuzung nach und bestimmt . Die Entfernung wird durch Berechnen der Länge eines Teils des Umfangs der Ellipse unter Verwendung der Formel ermittelt, die den Meridianbogen in Form der parametrischen Breite angibt . Verwenden Sie bei der Anwendung dieser Formel die Halbachsen für die große Ellipse (statt für den Meridian) und ersetzen Sie und für . ${\displaystyle \sigma_{01}}$${\displaystyle \sigma_{02}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \sigma_{01}}$${\displaystyle \sigma_{02}}$${\displaystyle \beta}$

Die Lösung des "direkten Problems" der Bestimmung der Lage von gegebenen , , und , kann in ähnlicher Weise gefunden werden (dies erfordert zusätzlich die inverse Meridianabstandsformel ). Dies ermöglicht auch das Auffinden von Wegpunkten (z. B. einer Reihe von gleich beabstandeten Zwischenpunkten) bei der Lösung des inversen Problems. ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha_{1}}$${\displaystyle s_{12}}$

Siehe auch

• Erdabschnittswege
• Großkreisnavigation
• Geodäten auf einem Ellipsoid
• Meridianbogen
• Rhumb-Linie

Verweise

Externe Links

• Matlab-Implementierung der Lösungen für die direkten und inversen Probleme für große Ellipsen.