Gruppenstruktur und das Axiom der Wahl - Group structure and the axiom of choice

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer binären Operation auf der Menge, die als Multiplikation bezeichnet wird und den Gruppenaxiomen folgt . Das Axiom der Wahl ist ein Axiom der ZFC- Mengenlehre, das in einer Form besagt, dass jede Menge gut geordnet werden kann .

In der ZF- Mengenlehre, dh ZFC ohne das Axiom der Wahl, sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• Für jede nicht leere Menge X existiert eine binäre Operation, • so dass ( X , •) eine Gruppe ist.
• Das Axiom der Wahl ist wahr.

Eine Gruppenstruktur impliziert das Axiom der Wahl

In diesem Abschnitt wird davon ausgegangen, dass jede Menge X mit einer Gruppenstruktur ( X , •) ausgestattet werden kann .

Sei X eine Menge. Lassen Sie ℵ ( X ) , die sein Hartogs Anzahl von X . Dies ist die kleinste Kardinalzahl, so dass keine Injektion von ℵ ( X ) in X erfolgt . Es existiert ohne die Annahme des Axioms der Wahl. Nehmen Sie hier zur technischen Vereinfachung des Beweises an, dass X keine Ordnungszahl hat . Lassen Sie • bezeichnen Multiplikation in der Gruppe ( X ∪ ℵ ( X ), •) .

Für jedes x ∈ X gibt es ein α ∈ ∈ ( X ), so dass x • α ∈ ℵ ( X ) . Angenommen, nicht. Dann gibt es ein y ∈ X, so dass y • α ∈ X für alle α ∈ ∈ ( X ) gilt . Aber durch elementare Gruppentheorie , die y • a alle verschieden sind , wie α erstreckt sich über ℵ ( X ) ( i ). So ein solcher y gibt eine Injektion von ℵ ( X ) in X . Dies ist unmöglich, da ℵ ( X ) ein Kardinal ist, so dass keine Injektion in X existiert.

Definieren Sie nun eine Karte j von X in ℵ ( X ) × ℵ ( X ), die mit der lexikografischen Ordnung ausgestattet ist, indem Sie x ∈ X an das kleinste (α, β) ∈ ( X ) × ℵ ( X ) senden, so dass x • α = β . Nach der obigen Überlegung existiert die Karte j und ist eindeutig, da die kleinsten Elemente von Teilmengen gut geordneter Mengen eindeutig sind. Es ist nach elementarer Gruppentheorie injektiv.

Definieren Sie schließlich eine Ordnung auf X durch x < y, wenn j ( x ) < j ( y ) . Daraus folgt, dass jede Menge X gut geordnet werden kann und somit das Axiom der Wahl wahr ist.

Damit die in ( i ) oben ausgedrückte entscheidende Eigenschaft und damit der gesamte Beweis gilt, reicht es aus , wenn X ein stornierendes Magma ist , z . B. eine Quasigruppe . Die Stornierungseigenschaft reicht aus, um sicherzustellen, dass alle y • α unterschiedlich sind.

Das Axiom der Wahl impliziert eine Gruppenstruktur

Jede nicht leere endliche Menge hat eine Gruppenstruktur als zyklische Gruppe, die von einem beliebigen Element erzeugt wird. Unter der Annahme des Auswahlaxiom, jede unendliche Menge X ist gleich wirksam mit einer einzigartigen Kardinalzahl | X | das entspricht einem Aleph . Mit dem Axiom der Wahl kann man zeigen, dass für jede Familie S von Mengen | ⋃ S | ≤ | S | × sup {| s | : s ∈ S } ( A ). Darüber hinaus ist nach Tarskis Satz über die Wahl ein weiteres Äquivalent des Axioms der Wahl, | X | ⁿ = | X | für alle endlichen n ( B ).

Lassen X eine unendliche Menge und F die Menge aller endlichen Teilmengen von bezeichnen X . Es gibt eine natürliche Vermehrung • auf F . Für f , g ∈ F sei f • g = f Δ g , wobei Δ die symmetrische Differenz bezeichnet . Dies verwandelt ( F , •) in eine Gruppe, wobei die leere Menge Ø die Identität ist und jedes Element seine eigene Umkehrung ist; f Δ f = Ø . Die assoziative Eigenschaft, dh ( f & Dgr ; g ) & Dgr ; h = f & Dgr; ( g & Dgr; h ), wird unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaften der Vereinigung und der eingestellten Differenz verifiziert . Somit ist F eine Gruppe mit Multiplikation Δ .

Jeder Satz, der mit einer Gruppe in Bijektion gebracht werden kann, wird über die Bijektion zu einer Gruppe. Es wird gezeigt, dass | X | = | F | und daher besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen X und der Gruppe ( F , •) . Für n = 0,1,2, ... sei F _n die Teilmenge von F, die aus allen Teilmengen der Kardinalität genau n besteht . Dann ist F die disjunkte Vereinigung von F _n . Die Anzahl der Teilmengen von X der Kardinalität n beträgt höchstens | X | ^n, weil jede Teilmenge mit n Elementen ein Element des n- fachen kartesischen Produkts X ⁿ von X ist . Also | F _n | ≤ | X | ⁿ = | X | für alle n ( C ) durch ( B ).

Wenn man diese Ergebnisse zusammenfasst, sieht man, dass | F | = | ⋃ _{n ∈ ω} F _n | ≤ ℵ ₀ · | X | = | X | durch ( A ) und ( C ). Auch | F | ≥ | X | , da F alle Singletons enthält. Somit ist | X | ≤ | F | und | F | ≤ | X | nach dem Schröder-Bernstein-Theorem , | F | = | X | . Dies bedeutet genau, dass zwischen X und F eine Bijektion j besteht . Schließlich wird für x , y ∈ X definieren x • y = j ^-1 ( j ( x ) Δ j ( y )) . Dadurch wird ( X , •) zu einer Gruppe. Daher lässt jede Menge eine Gruppenstruktur zu.

Ein ZF-Set ohne Gruppenstruktur

Es gibt Modelle von ZF, bei denen das Axiom der Wahl versagt. In einem solchen Modell gibt es Mengen, die nicht gut geordnet werden können (nennen Sie diese "nicht gut geordneten" Mengen). Sei X eine solche Menge. Betrachten Sie nun die Menge Y = X ∪ ℵ ( X ) . Wenn Y eine Gruppenstruktur haben sollte, kann X durch die Konstruktion im ersten Abschnitt gut geordnet werden. Dieser Widerspruch zeigt, dass es auf der Menge Y keine Gruppenstruktur gibt .

Wenn eine Menge so beschaffen ist, dass sie nicht mit einer Gruppenstruktur ausgestattet werden kann, ist sie notwendigerweise nicht gut ordentlich. Andernfalls ergibt die Konstruktion im zweiten Abschnitt eine Gruppenstruktur. Diese Eigenschaften sind jedoch nicht gleichwertig. Es ist nämlich möglich, dass Mengen, die nicht gut geordnet sind, eine Gruppenstruktur haben.

Wenn beispielsweise eine Menge vorhanden ist, hat sie eine Gruppenstruktur mit symmetrischer Differenz als Gruppenoperation. Wenn es nicht gut geordnet werden kann , kann es natürlich auch nicht . Ein interessantes Beispiel für Mengen, die keine Gruppenstruktur tragen können, sind Mengen mit den folgenden zwei Eigenschaften: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$

1. ${\ displaystyle X}$ ist eine unendliche Dedekind-endliche Menge. Mit anderen Worten, hat keine zählbar unendliche Teilmenge. ${\ displaystyle X}$
2. Wenn es in endliche Mengen aufgeteilt ist, dann sind alle bis auf endlich viele von ihnen Singletons. ${\ displaystyle X}$

Um zu sehen, dass die Kombination dieser beiden keine Gruppenstruktur zulassen kann, beachten Sie, dass bei jeder Permutation einer solchen Menge nur endliche Bahnen vorhanden sein müssen und fast alle von ihnen notwendigerweise Singletons sind, was impliziert, dass die meisten Elemente nicht durch die Permutation bewegt werden. Betrachten wir nun die Permutationen von , für die nicht das neutrale Element ist, es gibt unendlich viele, so dass mindestens eine davon auch nicht das neutrale Element ist. Das Multiplizieren mit ergibt, dass dies tatsächlich das Identitätselement ist, das einen Widerspruch darstellt. ${\ displaystyle x \ mapsto a \ cdot x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a \ cdot x = x}$${\ displaystyle x ^ {- 1}}$${\ displaystyle a}$

Die Existenz einer solchen Menge ist konsistent, wie beispielsweise in Cohens erstem Modell angegeben. Überraschenderweise reicht es jedoch nicht aus, eine unendliche Dedekind-endliche Menge zu sein, um eine Gruppenstruktur auszuschließen, da es konsistent ist, dass es unendlich viele Dedekind-endliche Mengen mit Dedekind-endlichen Potenzmengen gibt. ${\ displaystyle X}$

Anmerkungen

Verweise

• Hajnal, A . ; Kertész, A. (1972). "Einige neue algebraische Äquivalente des Axioms der Wahl". Publ. Mathematik. Debrecen . 19 : 339–340.
• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (Juli 1985). Äquivalente des Axioms der Wahl II . Nordholland / Elsevier. ISBN   0-444-87708-8 .
• Jech, Thomas (2002). Mengenlehre, dritte Jahrtausendausgabe (überarbeitet und erweitert) . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .
• Cohen, Paul J. (1966). Mengenlehre und Kontinuumshypothese . Benjamin, New York.
• Adkins; Weintraub (1992). Algebra . Diplomtexte in Mathematik. 136 . Springer.