Gruppoid - Groupoid
In der Mathematik , insbesondere in der Kategorientheorie und Homotopietheorie , verallgemeinert ein Gruppoid (seltener Brandt-Gruppoid oder virtuelle Gruppe ) den Begriff der Gruppe auf mehrere äquivalente Weisen. Ein Gruppoid kann gesehen werden als:
- Gruppe mit einer Teilfunktion, die die binäre Operation ersetzt ;
- Kategorie, in der jeder Morphismus invertierbar ist. Eine solche Kategorie kann als durch eine unäre Operation ergänzt betrachtet werden , die inAnalogie zur Gruppentheorie als invers bezeichnet wird. Ein Gruppoid, bei dem es nur ein Objekt gibt, ist eine gewöhnliche Gruppe.
Bei abhängiger Typisierung kann eine Kategorie im Allgemeinen als typisiertes Monoid angesehen werden , und ähnlich kann ein Groupoid als einfach eine typisierte Gruppe angesehen werden. Die Morphismen bringen einen von einem Objekt zum anderen und bilden eine abhängige Familie von Typen, so dass Morphismen beispielsweise typisiert werden können. Komposition ist dann eine Gesamtfunktion: , so dass .
Sonderfälle sind:
- Setoids : Mengen , die mit einer Äquivalenzrelation einhergehen ,
- G-Sets : Sets, die mit einer Aktion einer Gruppe ausgestattet sind.
Gruppoide werden oft verwendet, um über geometrische Objekte wie Mannigfaltigkeiten nachzudenken . Heinrich Brandt ( 1927 ) führte Groupoide implizit über Brandt-Halbgruppen ein .
Definitionen
Ein Gruppoid ist eine algebraische Struktur, die aus einer nicht leeren Menge und einer binären Teilfunktion ' ' besteht, die auf definiert ist .
Algebraisch
Ein Gruppoid ist eine Menge mit einer unären Operation und einer Teilfunktion . * ist hier keine binäre Operation, da es nicht unbedingt für alle Elementpaare von definiert ist . Die genauen Bedingungen, unter denen definiert wird, werden hier nicht artikuliert und variieren je nach Situation.
und −1 haben die folgenden axiomatischen Eigenschaften: Für alle , , und in ,
- Assoziativität : Wennunddefiniert sind, dann sindunddefiniert und sind gleich. Umgekehrt, wenn eines vonunddefiniert ist, dann sind es auch sowohlundals auch=.
- Inverse :undsind immer definiert.
- Identität : Wenndefiniert ist, dann, und. (Die beiden vorherigen Axiome zeigen bereits, dass diese Ausdrücke definiert und eindeutig sind.)
Aus diesen Axiomen folgen zwei einfache und bequeme Eigenschaften:
- ,
- Wenn definiert ist, dann .
Kategorientheorie
Ein Gruppoid ist eine kleine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist , dh invertierbar. Genauer gesagt ist ein Gruppoid G :
- Eine Menge G 0 von Objekten ;
- Für jedes Objektpaar x und y in G 0 existiert eine (möglicherweise leere) Menge G ( x , y ) von Morphismen (oder Pfeilen ) von x nach y . Wir schreiben f : x → y, um anzuzeigen, dass f ein Element von G ( x , y ) ist.
- Für jedes Objekt x ein bezeichnetes Element von G ( x , x );
- Für jedes Tripel von Objekten x , y und z eine Funktion ;
- Für jedes Objektpaar x , y eine Funktion ;
für jedes f : x → y , g : y → z und h : z → w :
- und ;
- ;
- und .
Wenn f ein Element von G ( x , y ) ist, dann wird x als Quelle von f bezeichnet , geschrieben als s ( f ), und y wird als Ziel von f bezeichnet , geschrieben als t ( f ). Ein Gruppoid G wird manchmal als bezeichnet , wobei die Menge aller Morphismen ist und die beiden Pfeile die Quelle und das Ziel darstellen.
Allgemeiner kann man ein gruppoides Objekt in einer willkürlichen Kategorie betrachten, die endliche Faserprodukte zulässt.
Vergleich der Definitionen
Die algebraischen und kategorietheoretischen Definitionen sind äquivalent, wie wir nun zeigen. Gegeben ein Gruppoid im kategorietheoretischen Sinne sei G die disjunkte Vereinigung aller Mengen G ( x , y ) (dh der Morphismenmengen von x nach y ). Dann und werden Teiloperationen auf G und werden tatsächlich überall definiert. Wir definieren ∗ als be und −1 als be , was ein Gruppoid im algebraischen Sinne ergibt. Ein expliziter Verweis auf G 0 (und damit auf ) kann entfallen.
Umgekehrt definieren Sie für ein Gruppoid G im algebraischen Sinne eine Äquivalenzrelation auf seinen Elementen durch genau dann, wenn a ∗ a −1 = b ∗ b −1 . Sei G 0 die Menge der Äquivalenzklassen von , dh . Bezeichne a ∗ a −1 durch if mit .
Definiere nun als die Menge aller Elemente f , die existiert. Gegeben und ihre Zusammensetzung ist definiert als . Um zu sehen, dass dies gut definiert ist, beachten Sie, dass seit und existiert auch . Der Identitätsmorphismus auf x ist dann , und die kategorietheoretische Inverse von f ist f −1 .
Mengen in den obigen Definitionen können durch Klassen ersetzt werden , wie dies in der Kategorientheorie allgemein der Fall ist.
Vertexgruppen und Orbits
Bei einem Gruppoid G sind die Scheitelgruppen oder Isotropiegruppen oder Objektgruppen in G die Teilmengen der Form G ( x , x ), wobei x ein beliebiges Objekt von G ist . Aus den obigen Axiomen folgt leicht, dass es sich tatsächlich um Gruppen handelt, da jedes Elementpaar zusammensetzbar ist und Inverse in derselben Knotengruppe sind.
Die Umlaufbahn eines Gruppoid G an einem Punkt , wird durch die Menge gegeben , enthaltend jeden Punkt, der zu x von einem morphism in G. Wenn zwei Punkte verbunden werden können , und sind in der gleichen Umlaufbahnen, deren Scheitelgruppen und sind isomorph : wenn irgendein morphism ist von bis , dann der durch die Abbildung gegebene Isomorphismus .
Orbits bilden eine Partition des Satzes X, und eine Gruppoid heißt transitive wenn es nur für eine Umkreisung hat (äquivalent , wenn es verbunden ist als eine Kategorie). In diesem Fall sind alle Knotengruppen isomorph (andererseits ist dies keine hinreichende Bedingung für die Transitivität; Gegenbeispiele siehe den Abschnitt weiter unten ).
Subgroupoide und Morphismen
Ein Untergruppoid von ist eine Unterkategorie , die selbst ein Gruppoid ist. Es heißt wide oder full, wenn es wide oder full als Unterkategorie ist, dh if oder for every .
Ein Gruppoid-Morphismus ist einfach ein Funktor zwischen zwei (kategorietheoretischen) Gruppoiden.
Besondere Arten von Morphismen von Gruppoiden sind von Interesse. Ein Morphismus von Gruppoiden heißt Fibration, wenn es für jedes Objekt von und jeden Morphismus des Beginnens bei einen Morphismus des Beginnens bei gibt, so dass . Eine Fibration wird als Überdeckungsmorphismus oder Überdeckung von Gruppoiden bezeichnet, wenn ein weiterer solcher eindeutig ist. Die überdeckenden Morphismen von Gruppoiden sind besonders nützlich, da sie verwendet werden können, um überdeckende Karten von Räumen zu modellieren .
Es ist auch wahr, dass die Kategorie der überdeckenden Morphismen eines gegebenen Gruppoids der Kategorie der Aktionen des Gruppoids auf Mengen entspricht.
Beispiele
Topologie
Bei einem topologischen Raum , lassen Sie die Menge sein . Die morphisms von dem Punkt , bis zu dem Punkt sind Äquivalenzklassen von kontinuierlichen Bahnen aus zu , mit zwei Pfaden gleichwertig , wenn sie homotope . Zwei solcher Morphismen werden zusammengesetzt, indem man zuerst dem ersten Weg folgt, dann dem zweiten; die Homotopie-Äquivalenz garantiert, dass diese Zusammensetzung assoziativ ist . Dieses Gruppoid wird als fundamentales Gruppoid von bezeichnet , bezeichnet (oder manchmal ). Die übliche Fundamentalgruppe ist dann die Eckpunktgruppe für den Punkt .
Die Bahnen des fundamentalen Gruppoids sind die bahnbezogenen Komponenten von . Dementsprechend ist das Fundamentalgruppoid eines pfadbezogenen Raums transitiv, und wir stellen die bekannte Tatsache fest, dass die Fundamentalgruppen an jedem Basispunkt isomorph sind. Außerdem sind in diesem Fall das Fundamentalgruppoid und die Fundamentalgruppen als Kategorien äquivalent (siehe Abschnitt weiter unten für die allgemeine Theorie).
Eine wichtige Erweiterung dieser Idee besteht darin, das fundamentale Gruppoid zu betrachten, bei dem es sich um eine ausgewählte Menge von "Basispunkten" handelt. Hier ist ein (breiter) Untergruppoid von , wobei nur Pfade betrachtet werden, deren Endpunkte zu gehören . Der Satz kann entsprechend der Geometrie der vorliegenden Situation gewählt werden.
Äquivalenzrelation
Ist ein Setoid , also eine Menge mit einer Äquivalenzrelation , dann kann ein Gruppoid, das diese Äquivalenzrelation "darstellt", wie folgt gebildet werden:
- Die Objekte des Gruppoids sind die Elemente von ;
- Für zwei beliebige Elemente und in gibt es einen einzigen Morphismus von bis (bezeichnet mit ), wenn und nur wenn ;
- Die Zusammensetzung von und ist .
Die Scheitelpunktgruppen dieses Gruppoids sind immer trivial; außerdem ist dieses Gruppoid im Allgemeinen nicht transitiv und seine Bahnen sind genau die Äquivalenzklassen. Es gibt zwei extreme Beispiele:
- Wenn jedes Element von in Beziehung zu jedem anderen Element von steht , erhalten wir das Paargruppoid von , das das Ganze als Menge von Pfeilen hat und das transitiv ist.
- Wenn jedes Element von nur in Beziehung zu sich selbst steht, erhält man die Einheit Gruppoid , die eine Menge von Pfeilen hat , und die vollständig intransitiv ist (jedes Singleton ist eine Umlaufbahn).
Beispiele
Wenn beispielsweise eine glatte ist surjektiv Flutung von glattem Verteilern , dann ist eine Äquivalenzbeziehung da eine Topologie isomorph zur hat Quotiententopologie von unter der Karte surjektiv topologischer Räume. Wenn wir schreiben, dann bekommen wir ein Gruppoid
das manchmal als banales Gruppoid eines surjektiven Eintauchens glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet wird.
ech groupoid
Ein Čech-Gruppoid pg 5 ist eine spezielle Art von Gruppoid, das mit einer Äquivalenzrelation verbunden ist, die durch eine offene Hülle einer Mannigfaltigkeit gegeben ist . Seine Objekte sind durch die disjunkte Vereinigung gegeben
und seine Pfeile sind die Schnittpunkte
Die Quell- und Zielabbildungen sind dann durch die induzierten Abbildungen gegeben
und die Inklusionskarte
die Struktur eines Gruppoids geben. Tatsächlich kann dies durch die Einstellung noch erweitert werden
als -iterated Faserprodukt, auf der das darstellt -Tupel von zusammensetzbare Pfeile. Die Strukturkarte des Faserprodukts ist implizit die Zielkarte, da
ist ein kartesisches Diagramm, bei dem die Zuordnungen zu den Zielzuordnungen sind. Diese Konstruktion kann als Modell für einige ∞-Groupoide angesehen werden . Ein weiteres Artefakt dieser Konstruktion sind k-Kocyclen
für eine konstante Garbe von abelschen Gruppen kann als Funktion dargestellt werden
eine explizite Darstellung von Kohomologieklassen.
Gruppenaktion
Wenn die Gruppe auf das Set wirkt , können wir das Aktions-Groupoid (oder Transformations-Groupoid ) bilden, das diese Gruppenaktion wie folgt darstellt:
- Die Objekte sind die Elemente von ;
- Für irgendwelche zwei Elemente und in den morphisms aus zu entsprechen die Elemente aus , so dass ;
- Die Komposition von Morphismen interpretiert die binäre Operation von .
Genauer gesagt ist das Aktions-Groupoid eine kleine Kategorie mit und und mit Quell- und Zielzuordnungen und . Es wird oft bezeichnet (oder für eine richtige Handlung). Die Multiplikation (oder Zusammensetzung) im Gruppoid ist dann das definierte bereitgestellte .
Denn in , besteht die Scheitelpunktgruppe aus denen mit , die nur die Isotropie-Untergruppe bei für die gegebene Wirkung ist (weshalb Scheitelgruppen auch Isotropiegruppen genannt werden). In ähnlicher Weise sind die Bahnen des Aktionsgroupoids die Bahnen der Gruppenaktion, und das Groupoid ist genau dann transitiv, wenn die Gruppenaktion transitiv ist .
Ein anderer Weg zu beschreiben -Sets ist die Funktorkategorie , wo die Gruppoid (Kategorie) mit einem Elemente und isomorph zur Gruppe . Tatsächlich definiert jeder Funktor dieser Kategorie eine Menge und induziert für jedes in (dh für jeden Morphismus in ) eine Bijektion : . Die kategoriale Struktur des Funktors versichert uns, dass eine -Aktion auf der Menge definiert ist . Der (einzigartige) darstellbare Funktor : ist die Cayley-Darstellung von . In der Tat ist dies Funktors isomorph zu und sendet so zu dem Satz , der durch Definition ist das „set“ und die morphism von (dh das Element der ) an die Permutation des Satzes . Wir leiten aus der Yoneda-Einbettung ab, dass die Gruppe isomorph zu der Gruppe ist , einer Untergruppe der Gruppe der Permutationen von .
Endliche Menge
Betrachten Sie die Gruppenaktion von auf der endlichen Menge, die jede Zahl ins Negative bringt, also und . Das Quotienten-Gruppoid ist die Menge der Äquivalenzklassen aus dieser Gruppenaktion und hat eine Gruppenaktion von darauf.
Quotientenvarietät
Jede endliche Gruppe, die auf den affinen Raum abbildet, um eine Gruppenaktion zu ergeben (da dies die Gruppe der Automorphismen ist). Dann kann ein Quotienten-Gruppoid von den Formen sein , das einen Punkt mit Stabilisator im Ursprung hat. Beispiele wie diese bilden die Grundlage für die Theorie der Orbifolds . Eine andere häufig untersuchte Familie von Orbifolds sind gewichtete projektive Räume und Unterräume davon, wie zum Beispiel Calabi-Yau-Orbifolds .
Faserprodukt von Gruppoiden
Gegeben ein Diagramm von Gruppoiden mit Gruppoidmorphismen
wo und können wir die Gruppoid bilden , deren Objekte verdreifacht , wo , und in . Morphisms kann als ein Paar von morphisms definiert werden , wo und derart , daß für Tripel gibt eine kommutative Diagramm ist die , und der .
Homologische Algebra
Ein zweigliedriger Komplex
von Objekten in einer konkreten abelschen Kategorie können verwendet werden, um ein Gruppoid zu bilden. Es hat als Objekte die Menge und als Pfeile die Menge ; der Quellmorphismus ist nur die Projektion auf , während der Zielmorphismus die Addition von Projektion auf , zusammengesetzt mit und Projektion auf ist . Das heißt, gegeben , wir haben
Wenn die abelsche Kategorie die Kategorie der kohärenten Garben in einem Schema ist, kann diese Konstruktion natürlich verwendet werden, um eine Vorgarbe von Gruppoiden zu bilden .
Rätsel
Während Rätsel wie der Rubik's Cube mit der Gruppentheorie modelliert werden können (siehe Rubik's Cube Gruppe ), werden bestimmte Rätsel besser als Gruppoiden modelliert.
Die Transformationen des Fünfzehner-Puzzles bilden ein Gruppoid (keine Gruppe, da nicht alle Züge zusammengestellt werden können). Dieses Gruppoid wirkt auf Konfigurationen.
Mathieu Groupoid
Das Mathieu-Gruppoid ist ein von John Horton Conway eingeführtes Gruppoid, das auf 13 Punkte wirkt, so dass die einen Punkt fixierenden Elemente eine Kopie der Mathieu-Gruppe M 12 bilden .
Beziehung zu Gruppen
Gruppenähnliche Strukturen | |||||
---|---|---|---|---|---|
Gesamtheit | Assoziativität | Identität | Umkehrbarkeit | Kommutativität | |
Halbgruppoid | Nicht benötigt | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt | Nicht benötigt |
Kleine Kategorie | Nicht benötigt | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt |
Gruppoid | Nicht benötigt | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt |
Magma | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt | Nicht benötigt | Nicht benötigt |
Quasigruppe | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt | Erforderlich | Nicht benötigt |
Einheitsmagma | Erforderlich | Nicht benötigt | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt |
Schleife | Erforderlich | Nicht benötigt | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt |
Halbgruppe | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt | Nicht benötigt |
Inverse Halbgruppe | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt | Erforderlich | Nicht benötigt |
Monoid | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt | Nicht benötigt |
Kommutatives Monoid | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt | Erforderlich |
Gruppe | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Nicht benötigt |
Abelische Gruppe | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich | Erforderlich |
^α Closure, die in vielen Quellen verwendet wird, ist ein äquivalentes Axiom zur Totalität, wenn auch anders definiert. |
Wenn ein Gruppoid nur ein Objekt hat, dann bildet die Menge seiner Morphismen eine Gruppe . Nach der algebraischen Definition ist ein solches Gruppoid buchstäblich nur eine Gruppe. Viele Konzepte der Gruppentheorie verallgemeinern sich auf Groupoide, wobei der Begriff des Funktors den des Gruppenhomomorphismus ersetzt .
Jedes transitive/verbundene Gruppoid – das heißt, wie oben erklärt, eines, bei dem zwei beliebige Objekte durch mindestens einen Morphismus verbunden sind – ist isomorph zu einem Aktionsgruppoid (wie oben definiert) . Durch Transitivität wird es nur eine Umlaufbahn unter der Aktion geben.
Beachten Sie, dass der gerade erwähnte Isomorphismus nicht eindeutig ist und es keine natürliche Wahl gibt. Die Wahl eines solchen Isomorphismus für eine transitive Gruppoid beträgt im wesentlichen auf ein Objekt Kommissionierung , eine Gruppenisomorphismus aus zu , und für jede andere als eine in morphism aus zu .
Wenn ein Gruppoid nicht transitiv ist, dann ist es isomorph zu einer disjunkten Vereinigung von Gruppoiden des obigen Typs, auch seine zusammenhängenden Komponenten genannt (möglicherweise mit verschiedenen Gruppen und Mengen für jede verbundene Komponente).
Kategorietheoretisch betrachtet ist jede zusammenhängende Komponente eines Gruppoids äquivalent (aber nicht isomorph ) zu einem Gruppoid mit einem einzigen Objekt, d. h. einer einzelnen Gruppe. Somit ist jedes Gruppoid äquivalent zu einer Mehrfachmenge von nicht verwandten Gruppen. Mit anderen Worten, für Äquivalenz anstelle von Isomorphismus muss man nicht die Mengen angeben , sondern nur die Gruppen Zum Beispiel
- Das Fundamentalgruppoid von ist äquivalent zu der Sammlung der Fundamentalgruppen jeder pfadbezogenen Komponente von , aber ein Isomorphismus erfordert die Angabe der Menge von Punkten in jeder Komponente;
- Die Menge mit der Äquivalenzrelation ist (als Gruppoid) äquivalent zu einer Kopie der trivialen Gruppe für jede Äquivalenzklasse , aber ein Isomorphismus erfordert die Angabe, was jede Äquivalenzklasse ist:
- Die Menge, die mit einer Aktion der Gruppe ausgestattet ist, entspricht (als Gruppoid) einer Kopie von für jede Bahn der Aktion, aber ein Isomorphismus erfordert die Angabe, welche Menge jede Bahn ist.
Der Zusammenbruch eines Gruppoids zu einer bloßen Ansammlung von Gruppen verliert selbst aus kategorietheoretischer Sicht einige Informationen, weil es nicht natürlich ist . Wenn also Gruppoide in Bezug auf andere Strukturen entstehen, wie in den obigen Beispielen, kann es hilfreich sein, das gesamte Gruppoid beizubehalten. Andernfalls muss man eine Methode wählen, um jede in Form einer einzelnen Gruppe anzuzeigen , und diese Wahl kann willkürlich sein. Im Beispiel aus der Topologie müsste man eine kohärente Auswahl von Pfaden (oder Äquivalenzklassen von Pfaden) von jedem Punkt zu jedem Punkt in derselben pfadverbundenen Komponente treffen .
Als ein anschaulicheres Beispiel reduziert sich die Klassifizierung von Gruppoiden mit einem Endomorphismus nicht auf rein gruppentheoretische Überlegungen. Dies ist analog zu der Tatsache, dass die Klassifizierung von Vektorräumen mit einem Endomorphismus nicht trivial ist.
Morphismen von Groupoiden kommen in mehr Arten vor als solche von Gruppen: Wir haben zum Beispiel Fibrationen , Abdeckmorphismen , universelle Morphismen und Quotientenmorphismen . Somit ergibt eine Untergruppe einer Gruppe eine Wirkung von auf die Menge der Nebenklassen von in und damit einen überdeckenden Morphismus von, sagen wir, bis , wobei ein Gruppoid mit Vertexgruppen isomorph zu ist . Auf diese Weise können Präsentationen der Gruppe auf Präsentationen des Gruppoids "gehoben" werden , und dies ist eine nützliche Möglichkeit, Informationen über Präsentationen der Untergruppe zu erhalten . Weitere Informationen finden Sie in den Büchern von Higgins und von Brown in den Referenzen.
Kategorie von Gruppoiden
Die Kategorie, deren Objekte Gruppoide sind und deren Morphismen Gruppoid-Morphismen sind, wird Gruppoid-Kategorie oder Kategorie von Gruppoiden genannt und mit Grpd bezeichnet .
Die Kategorie Grpd ist, wie die Kategorie der kleinen Kategorien, kartesisch abgeschlossen : Für beliebige Gruppoide können wir ein Gruppoid konstruieren, dessen Objekte die Morphismen und dessen Pfeile die natürlichen Äquivalenzen der Morphismen sind. Wenn also nur Gruppen sind, dann sind solche Pfeile die Konjugationen von Morphismen. Das Hauptergebnis ist, dass es für alle Gruppoiden eine natürliche Bijektion gibt
Dieses Ergebnis ist auch dann von Interesse, wenn alle Gruppoiden nur Gruppen sind.
Eine weitere wichtige Eigenschaft von Grpd ist, dass es sowohl vollständig als auch kovollständig ist .
Beziehung zu Cat
Die Inklusion hat sowohl eine linke als auch eine rechte Adjungierte :
Hier bezeichnet die Lokalisierung einer Kategorie , die jeden morphism invertiert, und bezeichnet die Untergruppe aller Isomorphismen.
Beziehung zu sSet
Der Nervenfunktor bettet Grpd als vollständige Unterkategorie der Kategorie der simplizialen Mengen ein. Der Nerv eines Gruppoids ist immer ein Kan-Komplex .
Der Nerv hat ein linkes Adjoint
Hier bezeichnet die grundlegenden Gruppoid des Simpliziale Menge X.
Gruppoide in Grpd
Es gibt eine zusätzliche Struktur, die von Gruppoiden innerhalb der Kategorie der Gruppoide abgeleitet werden kann, die Doppelgruppoide . Da Grpd eine 2-Kategorie ist, bilden diese Objekte eine 2-Kategorie anstelle einer 1-Kategorie, da eine zusätzliche Struktur vorhanden ist. Im Wesentlichen sind dies Gruppoide mit Funktoren
und eine Einbettung durch einen Identitätsfunktor
Eine Möglichkeit, über diese 2-Groupoide nachzudenken, besteht darin, dass sie Objekte, Morphismen und Quadrate enthalten, die sich vertikal und horizontal zusammensetzen können. Zum Beispiel gegebene Quadrate
und
mit dem gleichen Morphismus können sie vertikal verbunden werden und ergeben ein Diagramm
die durch Zusammensetzen der vertikalen Pfeile in ein anderes Quadrat umgewandelt werden kann. Es gibt ein ähnliches Zusammensetzungsgesetz für horizontale Befestigungen von Quadraten.
Gruppoide mit geometrischen Strukturen
Beim Studium geometrischer Objekte tragen die entstehenden Gruppoide oft eine Topologie , die sie in topologische Gruppoide verwandelt , oder sogar eine differenzierbare Struktur , die sie in Lie-Gruppoide verwandelt . Diese letzten Objekte können auch in Bezug auf ihre zugehörigen Lie-Algebroiden untersucht werden , analog zur Beziehung zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren .
Aus der Geometrie hervorgegangene Gruppoide besitzen oft weitere Strukturen, die mit der Gruppoidvermehrung wechselwirken. Zum Beispiel hat man in der Poisson-Geometrie den Begriff eines symplektischen Gruppoids , das ein Lie-Gruppoid ist, das mit einer kompatiblen symplektischen Form ausgestattet ist . Ebenso kann man Gruppoide mit einer kompatiblen Riemannschen Metrik oder komplexe Struktur usw. haben.
Siehe auch
- Gruppoide Kohomologie
- ∞-Gruppoid
- 2-Gruppe
- Homotopietyptheorie
- Inverse Kategorie
- Gruppoidalgebra (nicht zu verwechseln mit algebraischem Gruppoid )
- R-Algebroid
Anmerkungen
Verweise
- Brandt, H (1927), "Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen , 96 (1): 360–366, doi : 10.1007/BF01209171 , S2CID 119597988
- Brown, Ronald, 1987, „ Von Gruppen zu Gruppoiden: eine kurze Übersicht “, Bull. Londoner Mathe. Soz. 19 : 113-34. Überblickt die Geschichte der Groupoiden bis 1987, beginnend mit Brandts Arbeiten über quadratische Formen. Die herunterladbare Version aktualisiert die vielen Referenzen.
- —, 2006. Topologie und Gruppoide. Bücherwelle. Überarbeitete und erweiterte Auflage eines 1968 und 1988 erschienenen Buches. Gruppoide werden im Kontext ihrer topologischen Anwendung vorgestellt.
- -, höherdimensionalen Gruppentheorie erklärt , wie das Gruppoid Konzept zu höherdimensionalen homotopy Gruppoide geführt hat, Anwendungen in mit Homotopietheorie und in Gruppe cohomology . Viele Referenzen.
- Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), The group fixed by a family of injective endomorphisms of a free group , Mathematical Surveys and Monographies, 195 , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0
- Dokuchaev, M.; Exel, R.; Piccione, P. (2000). „Teildarstellungen und Teilgruppenalgebren“. Zeitschrift für Algebra . Sonst. 226 : 505–532. arXiv : mathe/9903129 . doi : 10.1006/jabr.1999.8204 . ISSN 0021-8693 . S2CID 14622598 .
- F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois-Theorien. Cambridge-Uni. Drücken Sie. Zeigt, wie Verallgemeinerungen der Galois-Theorie zu Galois-Groupoiden führen .
- Cannas da Silva, A. und A. Weinstein , Geometrische Modelle für nichtkommutative Algebren. Vor allem Teil VI.
- Golubitsky, M. , Ian Stewart, 2006, „ Nichtlineare Dynamik von Netzwerken: der gruppoide Formalismus “, Bull. Amer. Mathematik. Soz. 43 : 305-64
- "Groupoid" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
- Higgins, PJ, "Das fundamentale Gruppoid eines Gruppengraphen ", J. London Math. Soz. (2) 13 (1976) 145-149.
- Higgins, PJ und Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of an orbit space ", in Category Theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115 —122.
- Higgins, PJ, 1971. Kategorien und Gruppoide. Van Nostrand Anmerkungen in der Mathematik. Wiederveröffentlicht in Reprints in Theory and Applications of Categories , Nr. 7 (2005) S. 1–195; frei herunterladbar . Umfangreiche Einführung in die Kategorientheorie mit besonderem Schwerpunkt auf Gruppoiden. Präsentiert Anwendungen von Gruppoiden in der Gruppentheorie, zB auf eine Verallgemeinerung des Satzes von Grushko , und in der Topologie, zB fundamentales Gruppoid .
- Mackenzie, KCH, 2005. Allgemeine Theorie von Lie-Gruppoiden und Lie-Algebroiden. Cambridge-Uni. Drücken Sie.
- Weinstein, Alan, " Groupoids: interne und externe Symmetrie vereinen - Eine Tour durch einige Beispiele. " Auch als Postscript erhältlich. , Mitteilungen des AMS, Juli 1996, S. 744–752.
- Weinstein, Alan, „ Die Geometrie der Dynamik “ (2002)
- RT Zivaljevic. „Groupoids in Kombinatorik – Anwendungen einer Theorie der lokalen Symmetrien“. In Algebraische und geometrische Kombinatorik , Band 423 von Contemp. Mathe ., 305–324. Amer. Mathematik. Soc., Providence, RI (2006)
- fundamentales Gruppoid in nLab
- Kern in nLab