Hahn Einbettungssatz - Hahn embedding theorem

In der Mathematik - insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, die sich mit geordneten Strukturen auf abelschen Gruppen befasst - liefert der Hahn-Einbettungssatz eine einfache Beschreibung aller linear geordneten abelschen Gruppen . Es ist nach Hans Hahn benannt .

Überblick

Der Satz besagt, dass jede linear geordnete abelsche Gruppe G als geordnete Untergruppe der additiven Gruppe ℝ Ω eingebettet werden kann, die mit einer lexikographischen Ordnung ausgestattet ist , wobei ℝ die additive Gruppe reeller Zahlen (mit ihrer Standardreihenfolge) ist, Ω die Menge von Archimedische Äquivalenzklassen von G und ℝ Ω ist die Menge aller Funktionen von Ω bis ℝ, die außerhalb einer geordneten Menge verschwinden.

Sei 0 bezeichnen die Identität Element von G . Für jedes Nicht-Null-Element g von G ist genau eines der Elemente g oder - g größer als 0; bezeichnen dieses Element mit | g |. Zwei Nicht-Null-Elemente g und h von G sind archimedische Äquivalente, wenn natürliche Zahlen N und M existieren, so dass N | g | > | h | und M | h | > | g |. Intuitiv bedeutet dies, dass weder g noch h in Bezug auf das andere "infinitesimal" sind. Die Gruppe G ist archimedisch, wenn alle Nicht-Null-Elemente archimedisch äquivalent sind. In diesem Fall ist Ω ein Singleton, also ist Ω nur die Gruppe von reellen Zahlen. Dann reduziert sich Hahns Einbettungssatz auf Hölders Satz (der besagt, dass eine linear geordnete abelsche Gruppe genau dann archimedisch ist, wenn sie eine Untergruppe der geordneten additiven Gruppe der reellen Zahlen ist).

Gravett (1956) gibt eine klare Aussage und einen Beweis für den Satz. Die Arbeiten von Clifford (1954) und Hausner & Wendel (1952) liefern zusammen einen weiteren Beweis. Siehe auch Fuchs & Salce (2001 , S. 62).

Siehe auch

Verweise