Hausdorff Maximalprinzip - Hausdorff maximal principle

In der Mathematik ist das Hausdorff-Maximalprinzip eine alternative und frühere Formulierung von Zorns Lemma , die Felix Hausdorff 1914 bewiesen hat (Moore 1982: 168). Es besagt, dass in jeder teilweise geordneten Menge jede vollständig geordnete Teilmenge in einer maximal vollständig geordneten Teilmenge enthalten ist.

Das Hausdorff-Maximalprinzip ist eine von vielen Aussagen, die dem Axiom der Wahl gegenüber ZF entsprechen ( Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl). Das Prinzip wird auch als Hausdorff-Maximalitätssatz oder Kuratowski-Lemma bezeichnet (Kelley 1955: 33).

Erklärung

Das Hausdorff-Maximalprinzip besagt, dass in jeder teilweise geordneten Menge jede vollständig geordnete Teilmenge in einer maximal vollständig geordneten Teilmenge enthalten ist (eine vollständig geordnete Teilmenge, die, wenn sie in irgendeiner Weise vergrößert wird, nicht vollständig geordnet bleibt). Im Allgemeinen kann es viele maximal vollständig geordnete Teilmengen geben, die eine gegebene vollständig geordnete Teilmenge enthalten.

Eine äquivalente Form des Hausdorff-Maximalprinzips ist, dass in jeder teilweise geordneten Menge eine maximal vollständig geordnete Teilmenge existiert. Um zu beweisen, dass diese Aussage aus der ursprünglichen Form folgt, sei A eine teilweise geordnete Menge. Dann ist eine vollständig geordnete Teilmenge von A , daher existiert eine maximal vollständig geordnete Teilmenge, die enthält , daher enthält insbesondere A eine maximal vollständig geordnete Teilmenge. Für die umgekehrte Richtung, lassen A eine teilweise geordnete Menge und seine T eine total geordnete Teilmenge von A . Dann ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$

${\ displaystyle \ {S \ mid T \ subseteq S \ subseteq A {\ mbox {und S total bestellt}} ​​\}}$

teilweise durch Mengeninklusion bestellt daher enthält sie eine maximale Teilmenge völlig geordnete P . Dann erfüllt das Set die gewünschten Eigenschaften. ${\ displaystyle \ subseteq}$${\ displaystyle M = \ bigcup P}$

Der Beweis, dass das Hausdorff-Maximalprinzip Zorns Lemma entspricht, ist diesem Beweis sehr ähnlich.

Beispiele

BEISPIEL 1 Wenn A ist eine beliebige Sammlung von Sätzen, die Beziehung „ist eine echte Teilmenge von“ ist eine strenge Teilordnung auf A . Angenommen, A ist die Sammlung aller kreisförmigen Bereiche (Innenräume von Kreisen) in der Ebene. Eine maximal vollständig geordnete Untersammlung von A besteht aus allen kreisförmigen Regionen mit Zentren im Ursprung. Eine weitere maximal vollständig geordnete Untersammlung besteht aus allen kreisförmigen Bereichen, die durch Kreise begrenzt sind, die am Ursprung von rechts zur y-Achse tangieren.

BEISPIEL 2. Wenn (x ₀ , y ₀ ) und (x ₁ , y ₁ ) zwei Punkte der Ebene ℝ ^{2 sind} , definieren Sie (x ₀ , y ₀ ) <(x ₁ , y ₁ )

wenn y ₀ = y ₁ und x ₀ <x ₁ . Dies ist eine Teilordnung von ℝ ^2, bei der zwei Punkte nur dann vergleichbar sind, wenn sie auf derselben horizontalen Linie liegen. Die maximal vollständig geordneten Mengen sind horizontale Linien in ℝ ² .

Verweise

• John Kelley (1955), Allgemeine Topologie , Von Nostrand.
• Gregory Moore (1982), Zermelos Axiom der Wahl , Springer.
• James Munkres (2000), Topology , Pearson.