Hausdorff-Paradoxon - Hausdorff paradox

Das Hausdorff-Paradoxon ist ein Paradoxon in der Mathematik, das nach Felix Hausdorff benannt ist . Es handelt sich um die Kugel (eine zweidimensionale Kugel in ). Es besagt , dass , wenn eine bestimmte zählbare Teilmenge aus entfernt wird , dann kann der Rest in drei disjunkten Teilmengen aufgeteilt werden , und so , dass und ist deckungsgleich . Insbesondere ergibt sich , daß auf es keine endliche additive Maßnahme auf alle Untergruppen , so dass das Maß der kongruenten Sätze gleich ist definiert (weil dies , dass das Maß der bedeuten würde gleichzeitig ist , und der Nicht-Null - Maß für die ganze Sphäre ).

Das Paradoxon wurde 1914 in der Mathematischen Annalen und im selben Jahr auch in Hausdorffs Buch Grundzüge der Mengenlehre veröffentlicht. Der Beweis des viel bekannteren Banach-Tarski-Paradoxons basiert auf Hausdorffs Ideen. Der Beweis dieses Paradoxons beruht auf dem Axiom der Wahl .

Dieses Paradoxon zeigt, dass es für eine in allen Teilmengen definierte Kugel kein endlich additives Maß gibt, das für kongruente Teile gleich ist. (Hausdorff hat in derselben Arbeit erstmals das einfachere Ergebnis gezeigt, dass für alle Teilmengen kein zählbar additives Maß definiert ist.) Die Struktur der Rotationsgruppe auf der Kugel spielt hier eine entscheidende Rolle - die Aussage trifft weder auf der Ebene noch auf der Ebene zu Linie. Tatsächlich ist es, wie später von Banach gezeigt wurde , möglich, eine "Fläche" für alle begrenzten Teilmengen in der euklidischen Ebene (sowie "Länge" auf der realen Linie) so zu definieren, dass kongruente Mengen gleich sind. Bereich". (Dieses Banach-Maß ist jedoch nur endlich additiv, es ist also kein Maß im vollen Sinne, sondern es entspricht dem Lebesgue-Maß für Mengen, für die letzteres existiert.) Dies impliziert, dass wenn zwei Teilmengen der Ebene offen sind (oder die reelle Linie) sind gleich zerlegbar, dann haben sie die gleiche Fläche.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Stefan Banach , "Sur le problème de la mesure" , Fundamenta Mathematicae 4: S. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition des Ensembles de Punkte en Parteien respektive Kongruenzen" , Satz 16, Fundamenta Mathematicae 6: S. 244–277, 1924.

Weiterführende Literatur

  • Hausdorff, Felix (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen" . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. doi : 10.1007 / bf01563735 . (Originalartikel)
  • Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre .