Hodgkin-Huxley-Modell - Hodgkin–Huxley model

Grundkomponenten der Modelle vom Hodgkin-Huxley-Typ. Modelle vom Hodgkin-Huxley-Typ repräsentieren die biophysikalischen Eigenschaften von Zellmembranen. Die Lipiddoppelschicht als eine Kapazität (dargestellt ist C _m ). Spannungsgesteuerte und Leckionenkanäle werden durch nichtlineare ( g _n ) bzw. lineare ( g _L ) Leitfähigkeiten dargestellt. Die elektrochemischen Gradienten den Fluss von Ionen durch Antriebsbatterien (E) dargestellt wird , und Ionenpumpen und Wärmetauscher werden durch Stromquellen (dargestellt I _p ).

Das Hodgkin-Huxley-Modell oder Leitwert-basiertes Modell ist ein mathematisches Modell , das beschreibt, wie Aktionspotentiale in Neuronen initiiert und verbreitet werden. Es ist ein Satz nichtlinearer Differentialgleichungen , der die elektrischen Eigenschaften erregbarer Zellen wie Neuronen und Herzmuskelzellen annähert . Es ist ein zeitkontinuierliches dynamisches System .

Alan Hodgkin und Andrew Huxley beschrieben das Modell 1952, um die ionischen Mechanismen zu erklären, die der Initiierung und Ausbreitung von Aktionspotentialen im Riesenaxon der Tintenfische zugrunde liegen . Für diese Arbeit erhielten sie 1963 den Nobelpreis für Physiologie oder Medizin .

Grundlegende Komponenten

Das typische Hodgkin-Huxley-Modell behandelt jede Komponente einer erregbaren Zelle als elektrisches Element (wie in der Abbildung gezeigt). Die Lipiddoppelschicht wird als Kapazität (C _m ) dargestellt. Spannungsgesteuerte Ionenkanäle werden durch elektrische Leitfähigkeiten ( g _n , wobei n der spezifische Ionenkanal ist) dargestellt, die sowohl von der Spannung als auch von der Zeit abhängen. Leckkanäle werden durch lineare Leitwerte ( g _L ) dargestellt. Die elektrochemischen Gradienten, die den Ionenfluss antreiben, werden durch Spannungsquellen ( E _n ) repräsentiert, deren Spannungen durch das Verhältnis der intra- und extrazellulären Konzentrationen der interessierenden Ionenspezies bestimmt werden. Schließlich werden Ionenpumpen durch Stromquellen ( I _p ) repräsentiert . Das Membranpotential wird mit V _{m bezeichnet} .

Mathematisch wird der Strom, der durch die Lipiddoppelschicht fließt, geschrieben als

I_{c}=C_{m}{\frac {{\mathrm {d}}V_{m}}{{\mathrm {d}}t}}

und der Strom durch einen gegebenen Ionenkanal ist das Produkt

I_{i}={g_{i}}(V_{m}-V_{i})\;

wo ist das Umkehrpotential des i- ten Ionenkanals. Somit ergibt sich für eine Zelle mit Natrium- und Kaliumkanälen für den Gesamtstrom durch die Membran: $V_{i}$

I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d}}V_{m}}{{\mathrm {d}}t}}+g_{K}(V_{m}-V_{K })+g_{Na}(V_{m}-V_{Na})+g_{l}(V_{m}-V_{l})

wobei I der gesamte Membranstrom pro Flächeneinheit ist, C _m die Membrankapazität pro Flächeneinheit ist, g _K und g _Na die Kalium- bzw. Natriumleitfähigkeiten pro Flächeneinheit sind, V _K und V _Na die Kalium- und Natriumumkehrpotentiale sind , und g _l und V _l sind die Leckleitfähigkeit pro Flächeneinheit bzw. das Leckumkehrpotential. Die zeitabhängigen Elemente dieser Gleichung sind V _m , g _Na und g _K , wobei die letzten beiden Leitwerte ebenfalls explizit von der Spannung abhängen.

Ionenstromcharakterisierung

In spannungsgesteuerten Ionenkanälen ist die Kanalleitfähigkeit eine Funktion von Zeit und Spannung ( in der Abbildung), während sie in Leckkanälen eine Konstante ist ( in der Abbildung). Der von Ionenpumpen erzeugte Strom hängt von den Ionenspezies ab, die für diese Pumpe spezifisch sind. In den folgenden Abschnitten werden diese Formulierungen genauer beschrieben. $g_{l}$ $g_{n}(t,V)$ $g_{l}$ $g_{L}$

Spannungsgesteuerte Ionenkanäle

Unter Verwendung einer Reihe von Voltage-Clamp- Experimenten und durch Variation der extrazellulären Natrium- und Kaliumkonzentrationen entwickelten Hodgkin und Huxley ein Modell, in dem die Eigenschaften einer erregbaren Zelle durch einen Satz von vier gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden . Zusammen mit der oben genannten Gleichung für den Gesamtstrom sind dies:

I=C_{m}{\frac {{\text{d}}V_{m}}{{\text{d}}t}}+{\bar{g}}_{\text{K }}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar{g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na} )+{\bar{g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),

{\frac {dn}{dt}}=\alpha_{n}(V_{m})(1-n)-\beta_{n}(V_{m})n

{\frac {dm}{dt}}=\alpha_{m}(V_{m})(1-m)-\beta_{m}(V_{m})m

{\frac {dh}{dt}}=\alpha_{h}(V_{m})(1-h)-\beta_{h}(V_{m})h

wobei I der Strom pro Flächeneinheit ist und und Geschwindigkeitskonstanten für den i- ten Ionenkanal sind, die von der Spannung, aber nicht von der Zeit abhängen. ist der Maximalwert des Leitwerts. n , m und h sind dimensionslose Größen zwischen 0 und 1, die mit der Aktivierung des Kaliumkanals, der Aktivierung des Natriumkanals bzw. der Inaktivierung des Natriumkanals verbunden sind. Für , und nimm das Formular $\alpha_{i}$ $\beta_{i}$ ${\bar {g}}_{n}$ $p=(n,m,h)$ $\alpha_{p}$ $\beta_{p}$

\alpha_{p}(V_{m})=p_{\infty}(V_{m})/\tau_{p}

\beta_{p}(V_{m})=(1-p_{\infty}(V_{m}))/\tau_{p}.

$p_{\infty}$ und sind die stationären Werte für die Aktivierung bzw. Inaktivierung und werden normalerweise durch Boltzmann-Gleichungen als Funktionen von dargestellt . In der Originalarbeit von Hodgkin und Huxley sind die Funktionen und gegeben durch $(1-p_{\infty})$ $V_{m}$ ${\displaystyle\alpha}$ $\beta$

{\begin{array}{lll}\alpha_{n}(V_{m})={\frac {0.01(10+V)}{\exp {\big (}{\frac {10+ .) V}{10}}{\big)}-1}}&\alpha_{m}(V_{m})={\frac {0,1(25+V)}{\exp {\big (}{\ frac {25+V}{10}}{\big)}-1}}&\alpha_{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}{\frac {V}{20} }{\bigg)}\\\beta_{n}(V_{m})=0,125\exp {\bigg (}{\frac {V}{80}}{\bigg)}&\beta_{m }(V_{m})=4\exp {\bigg (}{\frac {V}{18}}{\bigg)}&\beta_{h}(V_{m})={\frac {1 }{\exp {\big (}{\frac {30+V}{10}}{\big)}+1}}\end{array}}

wobei bezeichnet die negative Depolarisation in mV. $V=V_{Ruhe}-V_{m}$

Während in vielen gängigen Softwareprogrammen, Hodgkin-Huxley - Typ Modelle verallgemeinern und zu ${\displaystyle\alpha}$ $\beta$

{\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p} }}{\big)}-D_{p}}}

Um spannungsgesteuerte Kanäle zu charakterisieren, werden die Gleichungen an Spannungsklemmdaten angepasst. Für eine Herleitung der Hodgkin-Huxley-Gleichungen unter Voltage-Clamp, siehe. Kurz gesagt, wenn das Membranpotential auf einem konstanten Wert gehalten wird (dh Spannungsklemme), reduzieren sich die nichtlinearen Gattergleichungen für jeden Wert des Membranpotentials auf Gleichungen der Form:

m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty})(1-e^{-t/\tau_{m}})]\,

h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty})(1-e^{-t/\tau_{h}})]\,

n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty})(1-e^{-t/\tau_{n}})]\,

Somit können für jeden Wert des Membranpotentials die Natrium- und Kaliumströme beschrieben werden durch $V_{m}$

I_{\mathrm {Na}}(t)={\bar{g}}_{\mathrm {Na}}m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_ {m}-E_{\mathrm {Na}}),

I_{\mathrm {K}}(t)={\bar{g}}_{\mathrm {K}}n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\ Mathe {K} }).

Um die vollständige Lösung für ein propagiertes Aktionspotential zu erhalten, muss man den Stromterm I auf die linke Seite der ersten Differentialgleichung in Form von V schreiben , so dass die Gleichung eine Gleichung für die Spannung allein wird. Die Beziehung zwischen I und V kann aus der Kabeltheorie abgeleitet werden und ist gegeben durch

I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},

wobei a der Radius des Axons ist , R der spezifische Widerstand des Axoplasmas ist und x die Position entlang der Nervenfaser ist. Die Ersetzung dieses Ausdrucks durch I wandelt den ursprünglichen Gleichungssatz in einen Satz partieller Differentialgleichungen um , da die Spannung eine Funktion von x und t wird .

Der Levenberg-Marquardt-Algorithmus wird häufig verwendet, um diese Gleichungen an Spannungsklemmendaten anzupassen.

Während die ursprünglichen Experimente nur Natrium- und Kaliumkanäle behandelten, kann das Hodgkin-Huxley-Modell auch auf andere Arten von Ionenkanälen ausgedehnt werden .

Leckkanäle

Leckkanäle berücksichtigen die natürliche Permeabilität der Membran für Ionen und haben die Form der Gleichung für spannungsgesteuerte Kanäle, bei denen die Leitfähigkeit konstant ist. Somit beträgt der Leckstrom aufgrund passiver Leckionenkanäle im Hodgkin-Huxley-Formalismus . $g_{leck}$ $I_{l}=g_{Leck}(V-V_{Leck})$

Pumpen und Tauscher

Das Membranpotential hängt von der Aufrechterhaltung von Ionenkonzentrationsgradienten darüber ab. Die Aufrechterhaltung dieser Konzentrationsgradienten erfordert einen aktiven Transport ionischer Spezies. Die bekanntesten sind die Natrium-Kalium- und Natrium-Calcium-Austauscher. Einige der grundlegenden Eigenschaften des Na/Ca-Austauschers sind bereits bekannt: Die Austauschstöchiometrie beträgt 3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺ und der Austauscher ist elektrogen und spannungsempfindlich. Der Na/K-Austauscher wurde ebenfalls ausführlich mit einer 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ Stöchiometrie beschrieben.

Mathematische Eigenschaften

Das Hodgkin-Huxley-Modell kann man sich als Differentialgleichungssystem mit vier Zustandsvariablen , , und , die sich zeitlich ändern, vorstellen . Das System ist schwer zu studieren, da es ein nichtlineares System ist und nicht analytisch gelöst werden kann. Es stehen jedoch viele numerische Methoden zur Verfügung, um das System zu analysieren. Bestimmte Eigenschaften und allgemeine Verhaltensweisen wie Grenzzyklen können nachgewiesen werden. $V_{m}(t),n(t),m(t)$ $h(t)$ $t$

Eine Simulation des Hodgkin-Huxley-Modells im Phasenraum hinsichtlich der Spannung v(t) und der Kalium-Gating-Variablen n(t). Die geschlossene Kurve wird als Grenzzyklus bezeichnet .

Mittelverteiler

Da es vier Zustandsvariablen gibt, kann es schwierig sein , den Pfad im Phasenraum zu visualisieren . Normalerweise werden zwei Variablen gewählt, die Spannung und die Kalium-Gating-Variable , die es ermöglichen, den Grenzzyklus zu visualisieren . Man muss jedoch vorsichtig sein, da dies eine Ad-hoc-Methode zur Visualisierung des 4-dimensionalen Systems ist. Dies beweist nicht die Existenz des Grenzzyklus. $V_{m}(t)$ $n(t)$

Eine bessere Projektion kann aus einer sorgfältigen Analyse des Jacobi-Wertes des Systems konstruiert werden, der am Gleichgewichtspunkt bewertet wird . Insbesondere die Eigenwerte des Jacobi-Wertes weisen auf die Existenz der zentralen Mannigfaltigkeit hin . Ebenso offenbaren die Eigenvektoren der Jacobi-Funktion die Orientierung der zentralen Mannigfaltigkeit . Das Hodgkin-Huxley-Modell hat zwei negative Eigenwerte und zwei komplexe Eigenwerte mit leicht positiven Realteilen. Die den beiden negativen Eigenwerten zugeordneten Eigenvektoren werden mit zunehmender Zeit t auf Null reduziert . Die verbleibenden zwei komplexen Eigenvektoren definieren die zentrale Mannigfaltigkeit. Mit anderen Worten, das 4-dimensionale System kollabiert auf einer 2-dimensionalen Ebene. Jede Lösung, die von der mittleren Mannigfaltigkeit ausgeht, zerfällt in Richtung der mittleren Mannigfaltigkeit. Außerdem ist der Grenzzyklus auf dem Mittelverteiler enthalten.

Die Spannung v ( t ) (in Millivolt) des Hodgkin-Huxley-Modells, grafisch über 50 Millisekunden. Der eingespeiste Strom variiert von –5 Nanoampere bis 12 Nanoampere. Der Graph durchläuft drei Stufen: eine Gleichgewichtsstufe, eine Single-Spike-Stufe und eine Grenzzyklusstufe.

Bifurkationen

Würde der eingespeiste Strom als Bifurkationsparameter verwendet , dann erfährt das Hodgkin-Huxley-Modell eine Hopf-Bifurkation . Wie bei den meisten neuronalen Modellen erhöht die Erhöhung des injizierten Stroms die Feuerungsrate des Neurons. Eine Folge der Hopf-Bifurkation ist, dass es eine minimale Feuerrate gibt. Dies bedeutet, dass entweder das Neuron überhaupt nicht feuert (entsprechend der Nullfrequenz) oder mit der minimalen Feuerrate feuert. Aufgrund des Alles-oder-Nichts-Prinzips gibt es keinen glatten Anstieg der Aktionspotentialamplitude , sondern einen plötzlichen "Sprung" der Amplitude. Der resultierende Übergang wird als Canard bezeichnet . $I$

Verbesserungen und alternative Modelle

Das Hodgkin-Huxley-Modell gilt als eine der großen Errungenschaften der Biophysik des 20. Jahrhunderts. Dennoch wurden moderne Modelle vom Hodgkin-Huxley-Typ in mehreren wichtigen Punkten erweitert:

Basierend auf experimentellen Daten wurden zusätzliche Ionenkanalpopulationen eingebaut.
Das Hodgkin-Huxley-Modell wurde modifiziert, um die Übergangszustandstheorie zu integrieren und thermodynamische Hodgkin-Huxley-Modelle zu erzeugen .
Modelle beinhalten oft hochkomplexe Geometrien von Dendriten und Axonen , oft basierend auf Mikroskopiedaten.
Stochastische Modelle des Ionenkanalverhaltens, die zu stochastischen Hybridsystemen führen.
Das Poisson-Nernst-Planck (PNP)-Modell basiert auf einer Mean-Field-Approximation von Ionenwechselwirkungen und Kontinuumsbeschreibungen von Konzentration und elektrostatischem Potential.

Es wurden auch mehrere vereinfachte neuronale Modelle entwickelt (wie das FitzHugh-Nagumo-Modell ), die eine effiziente großskalige Simulation von Neuronengruppen sowie mathematische Einblicke in die Dynamik der Aktionspotentialerzeugung ermöglichen.

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Hodgkin AL, Huxley AF (April 1952). "Ströme, die von Natrium- und Kaliumionen durch die Membran des Riesenaxons von Loligo getragen werden" . Die Zeitschrift für Physiologie . 116 (4): 449–72. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004717 . PMC 1392213 . PMID 14946713 .
Hodgkin AL, Huxley AF (April 1952). "Die Komponenten der Membranleitfähigkeit im Riesenaxon von Loligo" . Die Zeitschrift für Physiologie . 116 (4): 473–96. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004718 . PMC 1392209 . PMID 14946714 .
Hodgkin AL, Huxley AF (April 1952). "Der doppelte Effekt des Membranpotentials auf die Natriumleitfähigkeit im Riesenaxon von Loligo" . Die Zeitschrift für Physiologie . 116 (4): 497–506. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004719 . PMC 1392212 . PMID 14946715 .
Hodgkin AL, Huxley AF (August 1952). "Eine quantitative Beschreibung des Membranstroms und seiner Anwendung auf Leitung und Erregung in Nerven" . Die Zeitschrift für Physiologie . 117 (4): 500–44. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004764 . PMC 1392413 . PMID 12991237 .
Hodgkin AL, Huxley AF, Katz B (April 1952). "Messung von Strom-Spannungs-Beziehungen in der Membran des Riesenaxons von Loligo" . Die Zeitschrift für Physiologie . 116 (4): 424–48. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004716 . PMC 1392219 . PMID 14946712 .

Externe Links

Interaktive Javascript-Simulation des HH-Modells Läuft in jedem HTML5 – fähigen Browser. Ermöglicht das Ändern der Parameter des Modells und der Stromeinspeisung.
Interaktives Java-Applet des HH-Modells Parameter des Modells können geändert werden sowie Anregungsparameter und Phasenraumdarstellungen aller Variablen sind möglich.
Direkter Link zum Hodgkin-Huxley-Modell und einer Beschreibung in der BioModels-Datenbank
Neuronale Impulse: Das Aktionspotential in Aktion von Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project
Interaktives Hodgkin-Huxley-Modell von Shimon Marom, The Wolfram Demonstrations Project
ModelDB Eine computergestützte neurowissenschaftliche Quellcodedatenbank mit 4 Versionen (in verschiedenen Simulatoren) des ursprünglichen Hodgkin-Huxley-Modells und Hunderten von Modellen, die das Hodgkin-Huxley-Modell auf andere Kanäle in vielen elektrisch erregbaren Zelltypen anwenden.
Mehrere Artikel über die stochastische Version des Modells und seine Verknüpfung mit dem Original.

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