Hofstadter Punkte - Hofstadter points

In Dreiecksgeometrie , ein Hofstadters Punkt ist ein besonderer Punkt bei jeder zugeordneten Ebene Dreieck . Tatsächlich gibt es mehrere Hofstadter-Punkte, die mit einem Dreieck verbunden sind. Alle von ihnen sind Dreieckszentren . Zwei davon, der Hofstadter-Nullpunkt und der Hofstadter-Einpunkt , sind besonders interessant. Sie sind zwei transzendentale Dreieckszentren . Hofstadters Nullpunkt ist das Zentrum als X bezeichnet ist (360) und der Hofstafter Einpunkt- wird der Mittelpunkt bezeichnet als X (359) in Clark Kimberling ‚s Encyclopedia of Triangle Center . Der Hofstadter-Nullpunkt wurde 1992 von Douglas Hofstadter entdeckt .

Hofstadter-Dreiecke

Sei ABC ein gegebenes Dreieck. Sei r eine positive reelle Konstante.

Drehen Sie das Liniensegment BC um B um einen Winkel rB in Richtung A und lassen Sie L _BC die Linie sein, die dieses Liniensegment enthält. Als nächstes dreht das Liniensegment BC etwa C über einen Winkel rC Richtung A . Sei L ' _BC die Linie, die dieses Liniensegment enthält. Die Linien L _BC und L ' _BC schneiden sich bei A ( r ). In ähnlicher Weise werden die Punkte B ( r ) und C ( r ) konstruiert. Das Dreieck, dessen Eckpunkte A ( r ), B ( r ), C ( r ) sind, ist das Hofstadter- r- Dreieck (oder das r- Hofstadter-Dreieck) des Dreiecks ABC .

Besonderer Fall

• Das Hofstadter 1/3-Dreieck des Dreiecks ABC ist das erste Morleysche Dreieck des Dreiecks ABC . Morleys Dreieck ist immer ein gleichseitiges Dreieck .
• Das Hofstadter 1/2-Dreieck ist einfach der Anreiz des Dreiecks.

Trilineare Koordinaten der Eckpunkte der Hofstadter-Dreiecke

Die trilinearen Koordinaten der Eckpunkte des Hofstadter- r- Dreiecks sind unten angegeben:

A ( r ) = (1, sin rB / sin (1 - r ) B , sin rC / sin (1 - r ) C )

B ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , 1, sin rC / sin (1 - r ) C )

C ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , sin (1 - r ) B / sin rB , 1)

Hofstadter Punkte

Animation mit verschiedenen Hofstadterpunkten. H ₀ ist der Hofstadter-Nullpunkt. H ₁ ist der Hofstadter-Einpunkt. Der kleine rote Bogen in der Mitte des Dreiecks ist der Ort der Hofstadter- r- Punkte für 0 < r <1. Dieser Ort verläuft durch den Mittelpunkt I des Dreiecks.

Für eine positive reelle Konstante r > 0 sei A ( r ) B ( r ) C ( r ) das Hofstadter- r- Dreieck des Dreiecks ABC . Dann sind die Linien AA ( r ), BB ( r ), CC ( r ) gleichzeitig. Der Übereinstimmungspunkt ist der Hofstdter- r- Punkt des Dreiecks ABC .

Trilineare Koordinaten des Hofstadter- r- Punktes

Die trilinearen Koordinaten des Hofstadter- r- Punktes sind unten angegeben.

(sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

Hofstadter Null- und Einpunkte

Die trilinearen Koordinaten dieser Punkte können nicht erhalten werden, indem die Werte 0 und 1 für r in die Ausdrücke für die trilinearen Koordinaten für den Hofstdter- r- Punkt eingefügt werden .

Der Hofstadter-Nullpunkt ist die Grenze des Hofstadter- r- Punkts, wenn sich r Null nähert.

Der Hofstadter-Einpunkt ist die Grenze des Hofstadter- r- Punkts, wenn sich r einem nähert.

Trilineare Koordinaten des Hofstadter-Nullpunktes

= lim _{r → 0} (sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

= lim _{r → 0} (sin rA / r sin ( A - rA ), sin rB / r sin ( B - rB ), sin rC / r sin ( C - rC ))

= lim _{r → 0} ( A sin rA / rA sin ( A - rA ), B sin rB / rB sin ( B - rB ), C sin rC / rC sin ( C - rC ))

= ( A / sin A , B / sin B , C / sin C )), als lim _{r → 0} sin rA / rA = 1 usw.

= ( A / a , B / b , C / c )

Trilineare Koordinaten von Hofstadter Einpunkt

= lim _{r → 1} (sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

= lim _{r → 1} ((1 - r ) sin rA / sin ( A - rA ), (1 - r ) sin rB / sin ( B - rB ), (1 - r ) sin rC / sin ( C - rC ) )

= lim _{r → 1} ((1 - r ) A sin rA / A sin ( A - rA ), (1 - r ) B sin rB / B sin ( B - rB ), (1 - r ) C sin rC / C. sin ( C - rC ))

= (sin A / A , sin B / B , sin C / C )) als lim _{r → 1} (1 - r ) A / sin ( A - rA ) = 1 usw.

= ( a / A , b / B , c / C )

Verweise