Lochargument - Hole argument

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist das Lochargument ein scheinbares Paradoxon, das Albert Einstein bei der Entwicklung seiner berühmten Feldgleichungen sehr beunruhigte .

Einige Philosophen der Physik verwenden das Argument , um ein Problem für den Mannigfaltigkeitssubstanzismus aufzuwerfen , eine Lehre, dass die Mannigfaltigkeit von Ereignissen in der Raumzeit eine "Substanz" ist, die unabhängig von dem darauf definierten metrischen Feld oder der Materie darin existiert. Andere Philosophen und Physiker stimmen dieser Interpretation nicht zu und betrachten das Argument stattdessen als Verwirrung über Eichinvarianz und Eichfixierung .

Einsteins Lochargument

In einer üblichen Feldgleichung bestimmt die Kenntnis der Quelle des Feldes und der Randbedingungen das Feld überall. Sind uns beispielsweise die Strom- und Ladungsdichte sowie entsprechende Randbedingungen gegeben, bestimmen die Maxwell-Gleichungen die elektrischen und magnetischen Felder. Sie bestimmen jedoch nicht das Vektorpotential, da das Vektorpotential von einer willkürlichen Wahl der Eichung abhängt.

Einstein bemerkte, dass, wenn die Gravitationsgleichungen im Allgemeinen kovariant sind , die Metrik nicht eindeutig durch ihre Quellen als Funktion der Koordinaten der Raumzeit bestimmt werden kann. Als Beispiel: Betrachten Sie eine Gravitationsquelle wie die Sonne. Dann gibt es ein Gravitationsfeld, das durch eine Metrik g(r) beschrieben wird. Führen Sie nun eine Koordinatentransformation r r' durch, wobei r' gleich r für Punkte ist, die innerhalb der Sonne liegen, aber r' sich von r außerhalb der Sonne unterscheidet. Die Koordinatenbeschreibung des Sonneninneren bleibt von der Transformation unberührt, jedoch ändert sich die funktionale Form der Metrik g' für die neuen Koordinatenwerte außerhalb der Sonne. Aufgrund der allgemeinen Kovarianz der Feldgleichungen ist diese transformierte Metrik g' auch eine Lösung im untransformierten Koordinatensystem. ${\displaystyle \to}$

Dies bedeutet, dass eine Quelle, die Sonne, die Quelle vieler scheinbar unterschiedlicher Metriken sein kann. Die Auflösung ist unmittelbar: Zwei beliebige Felder, die sich nur durch eine solche "Loch"-Transformation unterscheiden, sind physikalisch äquivalent, ebenso wie zwei verschiedene Vektorpotentiale, die sich durch eine Eichtransformation unterscheiden, physikalisch äquivalent sind. Dann sind all diese mathematisch unterschiedlichen Lösungen physikalisch nicht unterscheidbar – sie repräsentieren ein und dieselbe physikalische Lösung der Feldgleichungen.

Es gibt viele Variationen dieses scheinbaren Paradoxons. In einer Version betrachten Sie eine Anfangswertoberfläche mit einigen Daten und ermitteln die Metrik als Funktion der Zeit. Dann führen Sie eine Koordinatentransformation durch, die Punkte in die Zukunft der Anfangswertfläche verschiebt, die jedoch weder die Anfangsfläche noch irgendwelche Punkte im Unendlichen beeinflusst. Daraus kann man schließen, dass die allgemein kovarianten Feldgleichungen die Zukunft nicht eindeutig bestimmen, da diese neue koordinatentransformierte Metrik eine ebenso gültige Lösung der gleichen Feldgleichungen im ursprünglichen Koordinatensystem ist. Das Anfangswertproblem hat also keine eindeutige Lösung in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dies gilt auch in der Elektrodynamik – da Sie eine Eichtransformation durchführen können, die nur morgen das Vektorpotential beeinflusst. Die Lösung besteht in beiden Fällen darin, zusätzliche Bedingungen zu verwenden, um ein Messgerät zu fixieren.

Die obige Version von Einsteins Lochargument bestreiten

Einsteins Herleitung der Gravitationsfeldgleichungen verzögerte sich wegen des Locharguments, das er 1913 aufgestellt hatte. Das Problem war jedoch nicht das im obigen Abschnitt beschriebene. Als Einstein 1912 begann, was er seinen "Kampf mit der Bedeutung der Koordinaten" nannte, wusste er bereits, nach Tensorgleichungen zu suchen, da diese von Koordinatenänderungen unberührt blieben. Er hatte bereits die Form des Gravitationsfeldes (nämlich als Tetrade oder gefunden Rahmenfeld oder Metrik ) und die Bewegungsgleichungen der Materie in einem bestimmten Gravitationsfeld (das von der Maximierung der folgt richtige Zeit gegeben durch ). Es ist offensichtlich, dass dies unter Koordinatentransformationen invariant ist. ${\displaystyle e_{\mu}^{I}(x)}$${\displaystyle g_{\mu\nu}(x)}$${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu\nu}(x)dx^{\mu}dx^{\nu}}$

Was ihn störte, war eine Folge seines Prinzips der allgemeinen Kovarianz und ergibt sich aus dem Folgenden. Die allgemeine Kovarianz besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Bezugssystemen und damit in allen Koordinatensystemen dieselbe mathematische Form annehmen sollten, und daher sollte die Differentialgleichung, die die Feldgleichungen des Gravitationsfeldes sind, in allen Koordinatensystemen dieselbe mathematische Form annehmen. Mit anderen Worten, bei gegebenen zwei Koordinatensystemen, sagen wir Koordinaten und Koordinaten, hat man in beiden genau die gleiche Differentialgleichung zu lösen, außer in einem ist die unabhängige Variable und in dem anderen ist die unabhängige Variable . Dies impliziert, dass man, sobald man eine metrische Funktion im Koordinatensystem findet, die die Feldgleichungen löst, einfach dieselbe Funktion aufschreiben kann, aber alle 's durch 's ersetzen kann , was die Feldgleichungen im Koordinatensystem löst . Da diese beiden Lösungen dieselbe funktionale Form haben, aber zu unterschiedlichen Koordinatensystemen gehören, erzwingen sie unterschiedliche Raum-Zeit-Geometrien. Beachten Sie, dass diese zweite Lösung nicht durch eine Koordinatentransformation mit der ersten verwandt ist, aber dennoch eine Lösung ist. Hier ist das Problem, das Einstein so sehr gestört hat: Wenn sich diese Koordinatensysteme erst unterscheiden, nachdem es zwei Lösungen gibt; sie haben die gleichen Anfangsbedingungen, aber sie erzwingen unterschiedliche Geometrien nach . Auf der Grundlage dieser Beobachtung verbrachte Einstein drei Jahre damit, in einem hektischen Wettlauf gegen Hilbert nach nicht-allgemein kovarianten Feldgleichungen zu suchen . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=0}$

Genauer gesagt stellte sich Einstein eine Situation vor, in der die Materieverteilung überall außerhalb eines geschlossenen Raums ohne Materie, dem Loch, bekannt ist. Dann ermöglichen die Feldgleichungen zusammen mit den Randbedingungen angeblich die Bestimmung des metrischen Feldes im Loch. Man nimmt die und Koordinaten, um sich innerhalb des Lochs zu unterscheiden, aber außerhalb davon übereinstimmend. Die Argumentation geht dann wie im obigen Absatz weiter. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Da diese beiden Lösungen die gleiche funktionale Form haben, nehmen sie die gleichen Werte an; sie nehmen sie einfach an verschiedenen Orten an. Daher wird eine Lösung aus der anderen erhalten, indem die metrische Funktion aktiv über die Raumzeit-Mannigfaltigkeit in die neue Konfiguration gezogen wird. Dies ist als Diffeomorphismus bekannt , der von Physikern manchmal als aktiver Diffeomorphismus bezeichnet wird, um ihn von Koordinatentransformationen (passiven Diffeomorphismen) zu unterscheiden. Einstein konnte nicht im Allgemeinen kovariante Feldgleichungen finden, nur um zum Lochargument zurückzukehren und es aufzulösen. Im Grunde ging es darum zu akzeptieren, dass diese beiden Lösungen physikalisch äquivalent sind, indem behauptet wird, dass die Lokalisierung der Metrik über die Raumzeit-Mannigfaltigkeit physikalisch irrelevant ist und dass einzelne Raumzeitpunkte, die durch Raumzeitkoordinaten definiert werden, an und für sich keine physikalische Bedeutung haben (dies ist die Quelle). des Problems des mannigfaltigen Substantialismus). Um „Ort“ eine Bedeutung zu geben, verallgemeinerte Einstein die in den obigen Absätzen gegebene Situation, indem er zwei Teilchen einführte; dann können physikalische Punkte (innerhalb des Lochs) durch ihre übereinstimmenden Weltlinien definiert werden. Das funktioniert, weil bei aktiven Diffeomorphismen Materie zusammen mit der Metrik mitgeschleppt wird. Ohne die Einführung dieser Teilchen wäre man nicht in der Lage, physikalische Raumzeitpunkte (innerhalb des Lochs) zu definieren; siehe die Zitate von Einstein unten im Abschnitt 'Einsteins Resolution'.

Bedeutung von Koordinateninvarianz

Für philosophisch Veranlagte gibt es noch einige Feinheiten. Wenn die metrischen Komponenten als dynamische Variablen der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet werden , hat die Bedingung, dass die Gleichungen koordinateninvariant sind, keinen eigenen Inhalt. Alle physikalischen Theorien sind bei richtiger Formulierung invariant gegenüber Koordinatentransformationen. Es ist möglich, die Maxwell-Gleichungen in jedem Koordinatensystem aufzuschreiben und die Zukunft auf die gleiche Weise vorherzusagen.

Aber um Elektromagnetismus in einem beliebigen Koordinatensystem zu formulieren, muss man eine Beschreibung der Raum-Zeit-Geometrie einführen, die nicht an ein spezielles Koordinatensystem gebunden ist. Diese Beschreibung ist an jedem Punkt ein metrischer Tensor oder eine Verbindung, die definiert, welche benachbarten Vektoren parallel sind. Das eingeführte mathematische Objekt, die Minkowski-Metrik, ändert seine Form von einem Koordinatensystem zum anderen, ist aber nicht Teil der Dynamik, es gehorcht keinen Bewegungsgleichungen. Egal was mit dem elektromagnetischen Feld passiert, es ist immer dasselbe. Es handelt, ohne dass darauf reagiert wird.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist jede einzelne lokale Größe, die zur Beschreibung der Geometrie verwendet wird, selbst ein lokales dynamisches Feld mit einer eigenen Bewegungsgleichung. Dies führt zu starken Einschränkungen, da die Bewegungsgleichung sinnvoll sein muss. Es muss die Zukunft aus den Anfangsbedingungen bestimmen, es darf keine außer Kontrolle geratenen Instabilitäten für kleine Störungen aufweisen, es muss eine positiv bestimmte Energie für kleine Abweichungen definieren. Wenn man davon ausgeht, dass die Koordinateninvarianz trivialerweise wahr ist, besagt das Prinzip der Koordinateninvarianz einfach, dass die Metrik selbst dynamisch ist und ihre Bewegungsgleichung keine feste Hintergrundgeometrie beinhaltet.

Einsteins Auflösung

1915 erkannte Einstein, dass das Hole-Argument eine Annahme über die Natur der Raumzeit macht: Es geht davon aus, dass es sinnvoll ist, über den Wert des Gravitationsfeldes (bis hin zu bloßen Koordinatentransformationen) an einem durch eine Raumzeit-Koordinate definierten Raumzeitpunkt zu sprechen – genauer gesagt wird davon ausgegangen, dass es sinnvoll ist, über physikalische Eigenschaften des Gravitationsfeldes zu sprechen, zum Beispiel ob es an einem Raumzeitpunkt entweder flach oder gekrümmt ist (dies ist eine koordinatenunabhängige Eigenschaft des Gravitationsfeldes). Durch das Aufgeben dieser Annahme wurde die allgemeine Kovarianz mit dem Determinismus kompatibel. Während zwei Gravitationsfelder, die sich durch einen aktiven Diffeomorphismus unterscheiden, geometrisch unterschiedlich aussehen, definieren ihre Wechselwirkungen nach der Neuberechnung der Flugbahnen aller Teilchen offensichtlich „physikalische“ Orte, bezüglich derer das Gravitationsfeld unter allen aktiven Diffeomorphismen denselben Wert annimmt. (Beachten Sie, dass, wenn die beiden Metriken durch eine bloße Koordinatentransformation miteinander in Beziehung gesetzt würden, die Weltlinien der Partikel nicht transponiert würden; dies liegt daran, dass diese beiden Metriken die gleiche Raumzeitgeometrie auferlegen und weil Weltlinien geometrisch als Trajektorien des Maximums definiert sind Eigenzeit — nur mit einem aktiven Diffeomorphismus wird die Geometrie verändert und die Bahnen verändert.) Dies war die erste klare Aussage über das Prinzip der Eichinvarianz im physikalischen Gesetz.

Einstein glaubte, dass das Lochargument impliziert, dass die einzige sinnvolle Definition von Ort und Zeit durch die Materie erfolgt. Ein Punkt in der Raumzeit ist an sich bedeutungslos, weil die Bezeichnung, die man einem solchen Punkt gibt, unbestimmt ist. Raumzeitpunkte erhalten ihre physikalische Bedeutung nur, weil sich Materie durch sie hindurch bewegt. In seinen Worten:

„Alle unsere Raum-Zeit-Verifikationen laufen ausnahmslos auf eine Bestimmung von Raum-Zeit-Koinzidenzen hinaus. Wenn beispielsweise Ereignisse nur in der Bewegung materieller Punkte bestünden, dann wäre letztlich nichts anderes zu beobachten als das Zusammentreffen von zwei oder mehr dieser Punkte. "

Er hielt dies für die tiefste Einsicht der Allgemeinen Relativitätstheorie. Nach dieser Einsicht erschöpft sich der physikalische Gehalt jeder Theorie durch den Katalog der von ihr zugelassenen Raum-Zeit-Zufälle. John Stachel nannte dieses Prinzip das Punkt-Koinzidenz-Argument .

Was unter aktiven Diffeomorphismen invariant und damit eichinvariant ist, sind im Allgemeinen die Koinzidenzen zwischen dem Wert des Gravitationsfeldes und dem Wert des Materiefeldes an derselben 'Stelle', weil Gravitationsfeld und Materiefeld miteinander hinübergezogen werden unter einem aktiven Diffeomorphismus. Aus diesen Koinzidenzen kann man sich eine Vorstellung davon machen, dass sich Materie in Bezug auf das Gravitationsfeld befindet. Wie Carlo Rovelli es ausdrückt: "Keine Felder mehr auf der Raumzeit: nur Felder auf Feldern." Dies ist die wahre Bedeutung des Sprichworts "Die Bühne verschwindet und wird zu einem der Schauspieler"; Die Raumzeit als „Behälter“, über dem Physik stattfindet, hat keine objektive physikalische Bedeutung und stattdessen wird die Gravitationswechselwirkung als nur eines der Felder dargestellt, die die Welt bilden.

Einstein bezeichnete seinen Vorsatz als „jenseits meiner kühnsten Erwartungen“.

Implikationen der Hintergrundunabhängigkeit für einige Theorien der Quantengravitation

Loop-Quantengravitation ist ein Ansatz der Quantengravitation, der versucht, die grundlegenden Prinzipien der klassischen GR mit den minimalen wesentlichen Merkmalen der Quantenmechanik zu verbinden, ohne neue Hypothesen zu verlangen. Schleifen-Quantengravitationsphysiker betrachten die Hintergrundunabhängigkeit als einen zentralen Grundsatz in ihrem Ansatz zur Quantisierung der Gravitation – eine klassische Symmetrie, die von der Quantentheorie bewahrt werden sollte, wenn wir wirklich Geometrie (=Gravitation) quantisieren wollen. Eine unmittelbare Konsequenz ist, dass LQG UV-endlich ist, da kleine und große Abstände eichäquivalent sind, da man eine metrische Funktion durch eine andere, die mit der ersten durch einen aktiven Diffeomorphismus verwandt ist, ersetzen kann. Eine genauere Argumentation ist möglich. Den direkten Endlichkeitsbeweis der kanonischen LQG in Gegenwart aller Materieformen hat Thiemann erbracht. Es wurde jedoch vorgeschlagen, dass die Schleifenquantengravitation die Hintergrundunabhängigkeit verletzt, indem ein bevorzugter Bezugssystem eingeführt wird (" Spinschäume ").

Die störende Stringtheorie (zusätzlich zu einer Reihe von nicht-störenden Formulierungen) ist nicht „offensichtlich“ hintergrundunabhängig, da sie von Randbedingungen im Unendlichen abhängt, ähnlich wie die störende Allgemeine Relativitätstheorie nicht „offensichtlich“ hintergrundabhängig ist. Einige Sektoren der Stringtheorie lassen jedoch Formulierungen zu, in denen sich die Hintergrundunabhängigkeit manifestiert, darunter vor allem die AdS/CFT . Es wird angenommen, dass die Stringtheorie im Allgemeinen vom Hintergrund unabhängig ist, auch wenn viele nützliche Formulierungen sie nicht manifestieren. Für eine gegenteilige Ansicht siehe Smolin.

Siehe auch

• Erich Kretschmann
• Philosophie von Raum und Zeit

Verweise

Quellen

• Albert Einstein , HA Lorentz, H. Weyl und H. Minkowski, The Principle of Relativity (1952): Einstein, Albert (1916) "The Foundation of the General Theory of Relativity", S. 111–164.
• Carlo Rovelli , Quantum Gravity , veröffentlicht von Cambridge University Press (2004) ISBN  0-521-83733-2 . Eine vorläufige Version kann kostenlos unter http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf heruntergeladen werden .
• Norton, John, The Hole Argument , The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Frühjahr 2004), Edward N. Zalta (Hrsg.)
• d'Inverno, Ray (1992). Einführung in Einsteins Relativitätstheorie . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. Siehe Abschnitt 13.6 .
• Physik trifft Philosophie auf der Planck-Skala (Cambridge University Press).
• Joy Christian , Warum das Quantum der Schwerkraft weichen muss , E-Print erhältlich als gr-qc/9810078 . Erscheint in Physik trifft Philosophie auf der Planck-Skala (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli und Marcus Gaul , Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance , E-Print erhältlich als gr-qc/9910079 .
• Robert Rynasiewicz : Die Lehren des Locharguments, Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, nein. 2 (1994), S. 407–437.
• Alan Macdonald, Einsteins Hole-Argument American Journal of Physics (Feb 2001) Vol 69, Issue 2, S. 223–225.

Externe Links

• Stachel, John, "Das Hole-Argument und einige physikalische und philosophische Implikationen" , Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014).