Horizont - Horizon

Ein hoher Wüstenhorizont bei Sonnenuntergang , Kalifornien , USA

Der Horizont ist die scheinbare Linie, die die Oberfläche eines Himmelskörpers von seinem Himmel trennt, wenn sie aus der Perspektive eines Beobachters auf oder nahe der Oberfläche des betreffenden Körpers betrachtet wird. Diese Linie teilt alle Blickrichtungen, je nachdem, ob sie die Oberfläche des betreffenden Körpers schneidet oder nicht.

Der wahre Horizont ist eigentlich eine theoretische Linie, die nur dann mit einer gewissen Genauigkeit beobachtet werden kann, wenn sie auf einer relativ glatten Oberfläche wie der der Ozeane der Erde liegt . An vielen Stellen wird diese Linie durch Gelände verdeckt , und auf der Erde kann sie auch durch Lebensformen wie Bäume und/oder menschliche Konstrukte wie Gebäude verdeckt werden . Der resultierende Schnittpunkt solcher Hindernisse mit dem Himmel wird als sichtbarer Horizont bezeichnet . Wenn man auf der Erde ein Meer von einem Ufer aus betrachtet, wird der Teil des Meeres, der dem Horizont am nächsten liegt, als Offing bezeichnet .

Ab 2021 haben fast alle Menschen , die jemals gelebt haben, den Horizont eines anderen Himmelskörpers als den Horizont der Erde nicht persönlich beobachtet, mit Ausnahme der Apollo-Astronauten , die zum Mond gereist sind und somit zusätzlich den Mondhorizont beobachtet haben zum irdischen Horizont. Darüber hinaus wurden die Horizonte mehrerer anderer Himmelskörper im Sonnensystem , insbesondere des Mars , von unbemannten Raumfahrzeugen gefilmt, die von der Erde aus gestartet wurden. Sofern nicht anders angegeben, wird der Rest dieses Artikels ausschließlich den Horizont der Erde behandeln.

Der wahre Horizont umgibt den Beobachter und es wird typischerweise angenommen, dass es sich um einen Kreis handelt, der auf der Oberfläche eines perfekt kugelförmigen Modells der Erde gezeichnet ist . Sein Zentrum liegt unterhalb des Beobachters und unterhalb des Meeresspiegels . Seine Entfernung zum Beobachter variiert von Tag zu Tag aufgrund der atmosphärischen Brechung , die stark von den Wetterbedingungen beeinflusst wird. Je höher die Augen des Betrachters vom Meeresspiegel sind, desto weiter ist der Horizont vom Betrachter entfernt. Unter normalen atmosphärischen Bedingungen liegt der Horizont beispielsweise für einen Beobachter mit einer Augenhöhe von 1,70 Metern über dem Meeresspiegel (5 Fuß 7 Zoll) in einer Entfernung von etwa 5 Kilometern (3,1 Meilen). Von sehr hohen Standpunkten aus betrachtet, beispielsweise von einer Raumstation aus , ist der Horizont viel weiter entfernt und umfasst einen viel größeren Bereich der Erdoberfläche. In diesem Fall wäre der Horizont kein perfekter Kreis mehr, nicht einmal eine ebene Kurve wie eine Ellipse, insbesondere wenn sich der Beobachter über dem Äquator befindet, da die Erdoberfläche besser als Ellipsoid modelliert werden kann als als Kugel.

Etymologie

Das Wort Horizont leitet sich vom griechischen „ὁρίζων κύκλος“ horízōn kýklos , „Trennungskreis“ ab, wobei „ὁρίζων“ vom Verb ὁρίζω horízō , „teilen“, „trennen“, das wiederum von „ὅρος“ ( hóros ), "Grenze, Wahrzeichen".

Aussehen und Verwendung

Blick auf das Meer mit einem Schiff am Horizont (kleiner Punkt links vom Vordergrundschiff)

Historisch gesehen ist die Entfernung zum sichtbaren Horizont vor allem auf See für das Überleben und die erfolgreiche Navigation seit langem überlebenswichtig, da sie die maximale Sicht- und damit Kommunikationsreichweite eines Beobachters bestimmt , mit allen offensichtlichen Konsequenzen für die Sicherheit und die Informationsübertragung, die dies Reichweite impliziert. Diese Bedeutung nahm mit der Entwicklung des Radios und des Telegraphen ab , aber auch heute noch wird beim Fliegen eines Flugzeugs nach Sichtflugregeln eine Technik namens Fluglage verwendet, um das Flugzeug zu steuern, bei der der Pilot die Sichtbeziehung zwischen der Nase des Flugzeugs und den Horizont, um das Flugzeug zu steuern. Piloten können ihre räumliche Orientierung auch beibehalten, indem sie sich auf den Horizont beziehen.

In vielen Zusammenhängen, insbesondere perspektivische Zeichnung, die Krümmung der Erde wird nicht berücksichtigt , und der Horizont ist die theoretische Linie , auf die Punkte auf jeder betrachtet horizontale Ebene konvergieren (wenn sie auf die Bildebene projizierte) als dessen Abstand von dem Beobachter zu. Für Beobachter in Meereshöhe ist der Unterschied zwischen diesem geometrischen Horizont (der eine vollkommen flache, unendliche Grundebene annimmt) und dem wahren Horizont (der eine kugelförmige Erdoberfläche annimmt ) mit bloßem Auge nicht wahrnehmbar (aber für jemanden auf einem 1000-Meter-Hügel mit Blick aufs Meer liegt der wahre Horizont etwa ein Grad unter einer horizontalen Linie).

In der Astronomie ist der Horizont die horizontale Ebene durch die Augen des Beobachters. Es ist die Fundamentalebene des horizontalen Koordinatensystems , der Ort der Punkte, die eine Höhe von null Grad haben. Obwohl er in gewisser Weise dem geometrischen Horizont ähnlich ist, kann ein Horizont in diesem Zusammenhang eher als eine Ebene im Raum als als eine Linie auf einer Bildebene betrachtet werden.

Entfernung zum Horizont

Ohne den Effekt der atmosphärischen Brechung beträgt die Entfernung zum wahren Horizont von einem Beobachter nahe der Erdoberfläche etwa

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\,h\,R}}\,,}$

wobei h die Höhe über dem Meeresspiegel und R der Erdradius ist .

Wenn d in Kilometern und h in Metern gemessen wird , ist die Entfernung

${\displaystyle d\approx 3,57{\sqrt {h}}\,,}$

wobei die Konstante 3,57 Einheiten von km/m ^{½ hat} .

Wenn d in Meilen (gesetzliche Meilen, dh "Landmeilen" von 5.280 Fuß (1.609,344 m)) und h in Fuß gemessen wird , beträgt die Entfernung

${\displaystyle d\approx {\sqrt {1,5h}}\approx 1,22{\sqrt {h}}\,.}$

wobei die Konstante 1,22 Einheiten von mi/ft ^{½ hat} .

In dieser Gleichung wird angenommen, dass die Erdoberfläche perfekt kugelförmig ist, wobei r etwa 6.371 Kilometer (3.959 Meilen) beträgt .

Beispiele

Angenommen, keine atmosphärische Brechung und eine kugelförmige Erde mit einem Radius von R = 6.371 Kilometer (3.959 Meilen):

• Für einen am Boden stehenden Beobachter mit h = 1,70 Meter (5 ft 7 in) liegt der Horizont in einer Entfernung von 4,7 Kilometer (2,9 mi).
• Für einen am Boden stehenden Beobachter mit h = 2 Meter (6 ft 7 in) liegt der Horizont in einer Entfernung von 5 Kilometer (3,1 mi).
• Für einen Beobachter, der auf einem Hügel oder Turm 30 Meter über dem Meeresspiegel steht, liegt der Horizont in einer Entfernung von 19,6 Kilometern.
• Für einen Beobachter, der auf einem Hügel oder Turm 100 Meter über dem Meeresspiegel steht, liegt der Horizont in einer Entfernung von 36 Kilometern (22 Meilen).
• Für einen Beobachter, der auf dem Dach des Burj Khalifa in 828 Metern Höhe über dem Boden und etwa 834 Metern über dem Meeresspiegel steht, liegt der Horizont in einer Entfernung von 103 Kilometern (64 Meilen).
• Für einen Beobachter auf dem Mount Everest (8.848 Meter hoch) liegt der Horizont in einer Entfernung von 336 Kilometern (209 Meilen).
• Für einen Beobachter an Bord eines kommerziellen Passagierflugzeugs, das in einer typischen Höhe von 35.000 Fuß (11.000 m) fliegt, liegt der Horizont in einer Entfernung von 369 Kilometern (229 Meilen).
• Für einen U-2- Piloten, der an seiner Dienstobergrenze von 21.000 Metern (69.000 ft) fliegt, liegt der Horizont in einer Entfernung von 517 Kilometern (321 Meilen).

Andere Planeten

Auf terrestrischen Planeten und anderen festen Himmelskörpern mit vernachlässigbaren atmosphärischen Auswirkungen variiert die Entfernung zum Horizont für einen "Standardbeobachter" als Quadratwurzel des Planetenradius. So ist der Horizont auf Merkur 62% so weit vom Beobachter entfernt wie auf der Erde, auf dem Mars sind es 73%, auf dem Mond sind es 52%, auf Mimas sind es 18% und so weiter.

Ableitung

Geometrische Grundlage zur Berechnung der Entfernung zum Horizont, Sekanten-Tangens-Theorem

Geometrische Entfernung zum Horizont, Satz des Pythagoras

Drei Arten von Horizonten

Wenn die Erde als strukturlose Kugel (und nicht als abgeplattetes Sphäroid ) ohne atmosphärische Brechung angenommen wird, kann die Entfernung zum Horizont leicht berechnet werden.

Der Sekanten-Tangens-Satz besagt, dass

${\displaystyle \mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.}$

Nehmen Sie die folgenden Ersetzungen vor:

• d = OC = Entfernung zum Horizont
• D = AB = Durchmesser der Erde
• h = OB = Höhe des Beobachters über dem Meeresspiegel
• D+h = OA = Durchmesser der Erde plus Höhe des Beobachters über dem Meeresspiegel,

wobei d, D und h alle in den gleichen Einheiten gemessen werden. Die Formel wird jetzt

${\displaystyle d^{2}=h(D+h)\,\!}$

oder

${\displaystyle d={\sqrt {h(D+h)}}={\sqrt {h(2R+h)}}\,,}$

wobei R der Radius der Erde ist .

Die gleiche Gleichung kann auch mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet werden . Am Horizont verläuft die Sichtlinie tangential zur Erde und auch senkrecht zum Erdradius. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Summe aus Radius und Höhe als Hypotenuse. Mit

• d = Entfernung zum Horizont
• h = Höhe des Beobachters über dem Meeresspiegel
• R = Radius der Erde

Bezug nehmend auf die zweite Abbildung rechts führt zu folgendem:

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.}$

Die genaue Formel oben kann erweitert werden als:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,,}$

wobei R der Radius der Erde ist ( R und h müssen in den gleichen Einheiten sein). Befindet sich ein Satellit beispielsweise in einer Höhe von 2000 km, beträgt die Entfernung zum Horizont 5.430 Kilometer (3.370 Meilen); die Vernachlässigung des zweiten Termes in Klammern würde eine Entfernung von 5.048 Kilometern (3.137 Meilen) ergeben, ein Fehler von 7%.

Annäherung

Diagramme der Entfernungen zum wahren Horizont auf der Erde für eine gegebene Höhe h . s ist entlang der Erdoberfläche, d ist die Luftlinienentfernung und ~d ist die ungefähre Luftlinienentfernung unter der Annahme von h << dem Erdradius, 6371 km. Bewegen Sie den Mauszeiger im SVG-Bild über ein Diagramm, um es hervorzuheben.

Befindet sich der Beobachter nahe der Erdoberfläche, so darf h im Term (2 R + h ) vernachlässigt werden, und die Formel lautet:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh}}\,.}$

Unter Verwendung von Kilometern für d und R und Metern für h und einem Erdradius von 6371 km beträgt die Entfernung zum Horizont

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 6371\cdot {h/1000}}}\approx 3.570{\sqrt {h}}\,}$.

In imperialen Einheiten , mit d und R in Statutsmeilen (wie auf dem Land üblich) und h in Fuß, beträgt die Entfernung zum Horizont

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 3963\cdot {h/5280}}}\approx {\sqrt {1,5h}}\approx 1,22{\sqrt {h}}}$.

Wenn d in Seemeilen und h in Fuß angegeben ist, beträgt der konstante Faktor etwa 1,06, was nahe genug an 1 liegt, dass er oft ignoriert wird.

${\displaystyle d\approx {\sqrt {h}}}$

Diese Formeln können verwendet werden, wenn h viel kleiner ist als der Radius der Erde (6371 km oder 3959 mi), einschließlich aller Ansichten von Berggipfeln, Flugzeugen oder Ballons in großer Höhe. Mit den angegebenen Konstanten sind sowohl die metrischen als auch die imperialen Formeln auf 1 % genau (siehe den nächsten Abschnitt für eine höhere Genauigkeit). Wenn h in Bezug auf R signifikant ist , wie bei den meisten Satelliten , dann ist die Näherung nicht mehr gültig und die genaue Formel wird benötigt.

Sonstige Maßnahmen

Bogenabstand

Eine andere Beziehung betrifft den Großkreisabstand s entlang des Bogens über die gekrümmte Erdoberfläche bis zum Horizont; mit γ im Bogenmaß ,

${\displaystyle s=R\gamma\,;}$

dann

${\displaystyle \cos\gamma =\cos{\frac{s}{R}}={\frac{R}{R+h}}\,.}$

Auflösen nach s ergibt

${\displaystyle s=R\cos^{-1}{\frac {R}{R+h}}\,.}$

Die Entfernung s kann auch als Sichtlinienentfernung d ausgedrückt werden ; aus der zweiten Figur rechts,

${\displaystyle \tan\gamma ={\frac {d}{R}}\,;}$

Ersetzen von γ und Umordnen ergibt

${\displaystyle s=R\tan^{-1}{\frac {d}{R}}\,.}$

Die Abstände d und s sind nahezu gleich , wenn die Höhe des Objekts , vernachlässigbar ist im Vergleich zu dem Radius (das heißt, h  «  R ).

Zenitwinkel

Maximaler Zenitwinkel für erhöhten Beobachter in homogener sphärischer Atmosphäre

Wenn der Betrachter erhöht wird, der Horizont Zenitwinkel kann größer als 90 ° ist . Der maximal sichtbare Zenitwinkel tritt auf, wenn der Strahl tangential zur Erdoberfläche ist; vom Dreieck OCG in der Abbildung rechts,

${\displaystyle \cos\gamma ={\frac {R}{R+h}}}$

wobei die Höhe des Beobachters über der Oberfläche und die Winkelneigung des Horizonts ist. Es hängt mit dem Horizontzenitwinkel zusammen durch: ${\displaystyle h}$${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=\gamma +90{}^{\circ}}$

Für eine nicht negative Höhe beträgt der Winkel immer ≥ 90°. ${\displaystyle h}$${\displaystyle z}$

Objekte über dem Horizont

Geometrischer Horizontabstand

Um die größte Entfernung zu berechnen, in der ein Beobachter die Spitze eines Objekts über dem Horizont sehen kann, berechnen Sie die Entfernung zum Horizont für einen hypothetischen Beobachter über diesem Objekt und addieren Sie sie zur Entfernung des realen Beobachters zum Horizont. Für einen am Boden stehenden Beobachter mit einer Körpergröße von 1,70 m ist der Horizont beispielsweise 4,65 km entfernt. Für einen Turm mit einer Höhe von 100 m beträgt die Horizontentfernung 35,7 km. So kann ein Beobachter an einem Strand die Spitze des Turms sehen, solange er nicht weiter als 40,35 km entfernt ist. Umgekehrt, wenn ein Beobachter auf einem Boot ( h = 1,7 m ) nur die Baumkronen an einem nahegelegenen Ufer ( h = 10 m ) sehen kann, sind die Bäume wahrscheinlich etwa 16 km entfernt.

Gemäß der Abbildung rechts ist die Spitze des Leuchtturms für einen Ausguck in einem Krähennest an der Spitze eines Mastes des Bootes sichtbar, wenn

${\displaystyle D_{\mathrm {BL}}<3,57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B}}}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L}}}})\,,}$

wobei D _BL in Kilometern und h _B und h _L in Metern angegeben sind.

Ein Blick über eine 20 km breite Bucht an der Küste Spaniens . Beachten Sie die Erdkrümmung, die die Basis der Gebäude am anderen Ufer verbirgt.

Nehmen wir als weiteres Beispiel an, ein Beobachter, dessen Augen sich zwei Meter über dem ebenen Boden befinden, benutzt ein Fernglas, um ein entferntes Gebäude zu betrachten, von dem er weiß, dass es aus dreißig Stockwerken besteht , jedes 3,5 Meter hoch. Er zählt die Stockwerke, die er sehen kann, und stellt fest, dass es nur zehn sind. So sind ihm zwanzig Stockwerke oder 70 Meter des Gebäudes durch die Erdkrümmung verborgen. Daraus kann er seine Entfernung zum Gebäude berechnen:

${\displaystyle D\approx 3,57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

das sind etwa 35 Kilometer.

Ebenso lässt sich berechnen, wie viel von einem entfernten Objekt über dem Horizont sichtbar ist. Angenommen, das Auge eines Beobachters befindet sich 10 Meter über dem Meeresspiegel und beobachtet ein 20 km entferntes Schiff. Sein Horizont ist:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

Kilometer von ihm entfernt, das sind etwa 11,3 Kilometer entfernt. Das Schiff ist weitere 8,7 km entfernt. Die Höhe eines für den Beobachter gerade noch sichtbaren Punktes auf dem Schiff ergibt sich aus:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

das sind fast genau sechs Meter. Der Beobachter kann also den Teil des Schiffes sehen, der sich mehr als sechs Meter über dem Wasserspiegel befindet. Der unter dieser Höhe liegende Teil des Schiffes ist ihm durch die Erdkrümmung verborgen. In dieser Situation wird das Schiff als Rumpf-Down bezeichnet .

Wirkung atmosphärischer Brechung

Aufgrund der atmosphärischen Refraktion ist die Entfernung zum sichtbaren Horizont weiter als die Entfernung basierend auf einer einfachen geometrischen Berechnung. Wenn die Boden- (oder Wasser-) Oberfläche kälter ist als die Luft darüber, bildet sich nahe der Oberfläche eine kalte, dichte Luftschicht, die dazu führt, dass das Licht auf seinem Weg nach unten gebrochen wird und daher bis zu einem gewissen Grad um die Oberfläche geht Krümmung der Erde. Das Umgekehrte passiert, wenn der Boden heißer ist als die Luft darüber, wie es oft in Wüsten der Fall ist und Fata Morgana produziert . Als ungefähre Kompensation für die Refraktion ziehen Vermessungsingenieure, die Entfernungen von mehr als 100 Metern messen, 14% vom berechneten Krümmungsfehler ab und stellen sicher, dass die Sichtlinien mindestens 1,5 Meter über dem Boden liegen, um durch Refraktion verursachte zufällige Fehler zu reduzieren.

Typischer Wüstenhorizont

Wäre die Erde eine luftleere Welt wie der Mond, wären die obigen Berechnungen genau. Die Erde hat jedoch eine Luftatmosphäre , deren Dichte und Brechungsindex je nach Temperatur und Druck stark variieren. Dadurch wird das Licht in der Luft unterschiedlich stark gebrochen , was das Erscheinungsbild des Horizonts beeinflusst. Normalerweise ist die Dichte der Luft knapp über der Erdoberfläche größer als ihre Dichte in größeren Höhen. Dadurch wird sein Brechungsindex in Oberflächennähe größer als in größeren Höhen, was dazu führt, dass Licht, das sich etwa horizontal ausbreitet, nach unten gebrochen wird. Dadurch ist die tatsächliche Entfernung zum Horizont größer als die mit geometrischen Formeln berechnete Entfernung. Bei normalen atmosphärischen Bedingungen beträgt der Unterschied etwa 8%. Dadurch ändert sich der Faktor 3,57 in den oben verwendeten metrischen Formeln auf etwa 3,86. Wenn ein Beobachter zum Beispiel an der Küste steht, mit Augen 1,70 m über dem Meeresspiegel, sollte der Horizont nach den einfachen geometrischen Formeln 4,7 km entfernt sein. Tatsächlich ermöglicht die atmosphärische Brechung dem Beobachter, 300 Meter weiter zu sehen, wobei der wahre Horizont 5 km vom Beobachter entfernt wird.

Diese Korrektur kann und wird oft als ziemlich gute Näherung angewendet, wenn atmosphärische Bedingungen nahe am Standard sind . Bei ungewöhnlichen Bedingungen schlägt diese Näherung fehl. Die Brechung wird stark von Temperaturgradienten beeinflusst, die von Tag zu Tag stark variieren können, insbesondere über Wasser. In extremen Fällen, normalerweise im Frühjahr, wenn warme Luft über kaltem Wasser liegt, kann Licht durch Brechung Hunderte von Kilometern der Erdoberfläche folgen. Gegensätzliche Bedingungen treten beispielsweise in Wüsten auf, wo die Oberfläche sehr heiß ist, also heiße Luft geringer Dichte unter kühlerer Luft liegt. Dadurch wird das Licht nach oben gebrochen, was zu Fata Morgana- Effekten führt, die das Konzept des Horizonts etwas bedeutungslos machen. Berechnete Werte für die Refraktionseffekte unter ungewöhnlichen Bedingungen sind daher nur ungefähre Werte. Trotzdem wurde versucht, sie genauer zu berechnen als die oben beschriebene einfache Näherung.

Außerhalb des sichtbaren Wellenlängenbereichs ist die Brechung anders. Für Radar (zB für Wellenlängen von 300 bis 3 mm, dh Frequenzen zwischen 1 und 100 GHz) kann der Erdradius mit 4/3 multipliziert werden, um einen effektiven Radius zu erhalten, der einen Faktor von 4,12 in der metrischen Formel ergibt, dh der Radarhorizont ist 15% jenseits des geometrischen Horizonts oder 7% jenseits des Visuellen. Der 4/3-Faktor ist nicht genau, da im visuellen Fall die Brechung von den atmosphärischen Bedingungen abhängt.

Integrationsmethode – Sweer

Wenn das Dichteprofil der Atmosphäre bekannt ist, ist der Abstand d zum Horizont gegeben durch

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

wobei R _E der Erdradius ist, ψ die Neigung des Horizonts und δ die Brechung des Horizonts ist. Der Dip wird ziemlich einfach bestimmt aus

${\displaystyle \cos\psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu}_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+ h\rechts)\mu}}\,,}$

wobei h die Höhe des Beobachters über der Erde ist, μ der Brechungsindex der Luft in der Höhe des Beobachters und μ ₀ der Brechungsindex der Luft an der Erdoberfläche ist.

Die Refraktion muss durch Integration von gefunden werden

${\displaystyle \delta =-\int_{0}^{h}{\tan\phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu}}}\,,}$

wo ist der Winkel zwischen dem Strahl und einer Linie durch den Erdmittelpunkt. Die Winkel ψ und stehen in Beziehung zu ${\displaystyle \phi\,\!}$${\displaystyle \phi\,\!}$

${\displaystyle \phi=90{}^{\circ}-\psi\,.}$

Einfache Methode – Jung

Ein viel einfacherer Ansatz, der im Wesentlichen die gleichen Ergebnisse wie die oben beschriebene Näherung erster Ordnung liefert, verwendet das geometrische Modell, verwendet jedoch einen Radius R′ = 7/6 R _E . Die Entfernung zum Horizont beträgt dann

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime}h}}\,.}$

Nimmt man den Erdradius zu 6371 km, mit d in km und h in m,

${\displaystyle d\approx 3,86{\sqrt {h}}\,;}$

mit d in mi und h in ft,

${\displaystyle d\approx 1,32{\sqrt {h}}\,.}$

Die Ergebnisse der Young-Methode sind denen der Sweer-Methode ziemlich ähnlich und für viele Zwecke ausreichend genau.

Krümmung des Horizonts

Die Krümmung des Horizonts ist auf diesem Foto aus dem Jahr 2008 leicht zu erkennen, das von einem Space Shuttle in einer Höhe von 226 km (140 Meilen) aufgenommen wurde.

Von einem Punkt über der Erdoberfläche erscheint der Horizont leicht konvex ; es ist ein Kreisbogen . Die folgende Formel drückt die grundlegende geometrische Beziehung zwischen dieser visuellen Krümmung , der Höhe und dem Erdradius aus : ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle h}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\left(1+{\frac {h}{R}}\right)^{2}-1}}\ }$

Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungswinkelradius in Radiant . Eine Krümmung von 1,0 erscheint als Kreis mit einem Winkelradius von 57,3°, was einer Höhe von ungefähr 2.640 km (1.640 Meilen) über der Erdoberfläche entspricht. In einer Höhe von 10 km (6,2 mi; 33.000 ft), der Reiseflughöhe eines typischen Verkehrsflugzeugs, beträgt die mathematische Krümmung des Horizonts etwa 0,056, die gleiche Krümmung des Kreisrandes mit einem Radius von 10 m, die von aus gesehen wird 56 cm direkt über der Kreismitte. Die scheinbare Krümmung ist jedoch geringer als aufgrund der Lichtbrechung durch die Atmosphäre und der Verdunkelung des Horizonts durch hohe Wolkenschichten, die die Höhe über der visuellen Oberfläche reduzieren.

Fluchtpunkte

Zwei Punkte am Horizont befinden sich an den Schnittpunkten der Linien, die die Segmente verlängern, die die Kanten des Gebäudes im Vordergrund darstellen. Die Horizontlinie fällt hier mit der Linie am oberen Rand der Türen und Fenster zusammen.

Der Horizont ist ein Schlüsselmerkmal der Bildebene in der Wissenschaft der grafischen Perspektive . Unter der Annahme, dass die Bildebene senkrecht zum Boden steht und P die senkrechte Projektion des Augenpunkts O auf die Bildebene ist, wird der Horizont als die horizontale Linie durch P definiert . Der Punkt P ist der Fluchtpunkt von Linien senkrecht zum Bild. Wenn S ein weiterer Punkt am Horizont ist, dann ist es der Fluchtpunkt für alle Linien parallel zu OS . Aber Brook Taylor (1719) wies darauf hin, dass die von O und dem Horizont bestimmte Horizontebene wie jede andere Ebene war :

Der Begriff der horizontalen Linie zum Beispiel ist geeignet, die Vorstellungen eines Lernenden auf die Ebene des Horizonts zu beschränken und ihm vorzustellen, dass diese Ebene einige besondere Privilegien genießt, die die Figuren darin einfacher und bequemer machen mit Hilfe dieser horizontalen Linie beschrieben zu werden, als die Figuren in irgendeiner anderen Ebene;...Aber in diesem Buch mache ich keinen Unterschied zwischen der Ebene des Horizonts und irgendeiner anderen Ebene...

Die eigentümliche Geometrie der Perspektive, bei der parallele Linien in der Ferne zusammenlaufen, stimulierte die Entwicklung der projektiven Geometrie, die einen Punkt im Unendlichen postuliert , an dem sich parallele Linien treffen. In ihrem Buch Geometry of an Art (2007) beschrieb Kirsti Andersen die Entwicklung des perspektivischen Zeichnens und der Wissenschaft bis 1800 und stellte fest, dass Fluchtpunkte nicht am Horizont sein müssen. In einem Kapitel mit dem Titel "Horizont" erzählte John Stillwell , wie die projektive Geometrie zur Einfallsgeometrie geführt hat , der modernen abstrakten Studie des Linienschnitts. Stillwell wagte sich auch in einem Abschnitt mit dem Titel "Was sind die Gesetze der Algebra?" an die Grundlagen der Mathematik. Die ursprünglich von Karl von Staudt gegebene "Algebra der Punkte" zur Ableitung der Axiome eines Feldes wurde im 20. Jahrhundert dekonstruiert und ergab eine Vielzahl mathematischer Möglichkeiten. Stillwell Staaten

Diese Entdeckung von vor 100 Jahren scheint die Mathematik auf den Kopf zu stellen, obwohl sie noch nicht vollständig von der mathematischen Gemeinschaft aufgenommen wurde. Es widersetzt sich nicht nur dem Trend, Geometrie in Algebra zu verwandeln, sondern legt auch nahe, dass sowohl Geometrie als auch Algebra eine einfachere Grundlage haben als bisher angenommen.

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

• Young, Andrew T. "Dip of the Horizon" . Green Flash-Website (Abschnitte: Astronomical Refraction, Horizon Grouping) . Fakultät für Astronomie der San Diego State University . Abgerufen am 16. April 2011 .