Unzugänglicher Kardinal - Inaccessible cardinal

In der Mengenlehre , eine unzählbare Kardinal ist nicht zugänglich , wenn sie nicht von den kleineren Kardinälen durch die üblichen Operationen erhalten werden kann Kardinal Arithmetik . Genauer gesagt, ein Kardinal ist stark unzugänglich , wenn es unzählbar ist, es ist nicht eine Summe von weniger als Kardinäle , die weniger als , und impliziert .

Der Begriff "unzugänglicher Kardinal" ist mehrdeutig. Bis etwa 1950 bedeutete es "schwach unzugänglicher Kardinal", aber seither bedeutet es meist "stark unzugänglicher Kardinal". Ein unzählbarer Kardinal ist schwach unzugänglich, wenn er ein normaler Kardinal mit schwacher Grenze ist . Es ist stark unzugänglich oder nur unzugänglich, wenn es sich um einen regulären starken Grenzkardinal handelt (dies entspricht der obigen Definition). Einige Autoren verlangen nicht, dass schwach und stark unzugängliche Kardinäle abzählbar sind (in diesem Fall ist es stark unzugänglich). Schwach unzugängliche Kardinäle wurden von Hausdorff (1908) und stark unzugängliche von Sierpiński & Tarski (1930) und Zermelo (1930) eingeführt .

Jeder stark unzugängliche Kardinal ist auch schwach unzugänglich, da jeder starke Grenzkardinal auch ein schwacher Grenzkardinal ist. Wenn die verallgemeinerte Kontinuumshypothese gilt, dann ist ein Kardinal genau dann stark unzugänglich, wenn er schwach unzugänglich ist.

( aleph-null ) ist ein regelmäßiger Kardinal mit starker Grenze. Unter der Annahme des Auswahlaxioms ist jede zweite unendliche Kardinalzahl regulär oder ein (schwacher) Grenzwert. Allerdings kann nur eine ziemlich große Kardinalzahl beides sein und somit schwach unzugänglich sein.

Eine Ordinalzahl ist genau dann eine schwach unzugängliche Kardinalzahl, wenn sie eine reguläre Ordinalzahl und eine Grenze von regulären Ordinalzahlen ist. (Null, Eins und sind reguläre Ordinalzahlen, aber keine Grenzen von regulären Ordinalzahlen.) Ein Kardinal, der schwach unzugänglich ist und auch ein starker Grenzkardinal, ist stark unzugänglich.

Die Annahme der Existenz eines stark unzugänglichen Kardinals wird manchmal in Form der Annahme verwendet, dass man in einem Grothendieck-Universum arbeiten kann , wobei die beiden Ideen eng miteinander verbunden sind.

Modelle und Konsistenz

Die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit Choice (ZFC) impliziert, dass V κ ein Modell von ZFC ist, wenn κ stark unzugänglich ist. Und ZF impliziert, dass das Gödel-Universum L κ ein Modell von ZFC ist, wenn κ schwach unzugänglich ist. Somit impliziert ZF zusammen mit "es existiert ein schwach unzugänglicher Kardinal" dass ZFC konsistent ist. Daher sind unzugängliche Kardinäle eine Art große Kardinäle .

Wenn V ein Standardmodell von ZFC und κ ein Unzugängliches in V ist , dann gilt: V κ ist eines der beabsichtigten Modelle der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ; und Def( V κ ) ist eines der beabsichtigten Modelle von Mendelsons Version der Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengentheorie , die globale Auswahl ausschließt und Größenbeschränkung durch Ersetzung und gewöhnliche Auswahl ersetzt; und V κ +1 ist eines der beabsichtigten Modelle der Morse-Kelley-Mengentheorie . Hier ist Def ( X ) die 0 definierbaren Teilmengen von X (siehe konstruierbares Universum ). Allerdings κ braucht nicht unzugänglich oder sogar eine Kardinalzahl zu sein, um für V & kgr; ein Standardmodell von ZF (siehe sein unten ).

Angenommen, V ist ein Modell von ZFC. Entweder enthält V kein starkes Unzugängliches oder, wenn man κ als das kleinste starke Unzugängliche in V annimmt, ist V κ ein Standardmodell von ZFC, das keine starken Unzugänglichen enthält. Somit impliziert die Konsistenz von ZFC die Konsistenz von ZFC+ "es gibt keine starken Unzugänglichen". In ähnlicher Weise enthält entweder V kein schwach unzugängliches oder, wenn man κ als die kleinste Ordinalzahl annimmt, die relativ zu einem Standard-Untermodell von V schwach unzugänglich ist, dann ist L κ ein Standardmodell von ZFC, das keine schwachen unzugänglichen Elemente enthält. Die Konsistenz von ZFC impliziert also die Konsistenz von ZFC+ "es gibt keine schwachen Unzugänglichen". Dies zeigt, dass ZFC die Existenz eines unzugänglichen Kardinals nicht beweisen kann, so dass ZFC mit der Nichtexistenz unzugänglicher Kardinäle übereinstimmt.

Die Frage, ob ZFC mit der Existenz eines unzugänglichen Kardinals vereinbar ist, ist subtiler. Der im vorigen Absatz skizzierte Beweis, dass die Konsistenz von ZFC die Konsistenz von ZFC impliziert + "es gibt keinen unzugänglichen Kardinal" kann in ZFC formalisiert werden. Unter der Annahme, dass ZFC konsistent ist, kann jedoch kein Beweis dafür erbracht werden, dass die Konsistenz von ZFC die Konsistenz von ZFC impliziert + "es gibt einen unzugänglichen Kardinal" kann in ZFC formalisiert werden. Dies folgt aus Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz , der zeigt, dass, wenn ZFC + "es gibt einen unzugänglichen Kardinal" konsistent ist, es seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann. Da ZFC + "es gibt einen unzugänglichen Kardinal" die Konsistenz von ZFC beweist, wenn ZFC beweisen würde, dass seine eigene Konsistenz die Konsistenz von ZFC + "es gibt einen unzugänglichen Kardinal" impliziert, dann wäre diese letztere Theorie in der Lage, ihre eigene Konsistenz zu beweisen. was unmöglich ist, wenn es konsistent ist.

Es gibt Argumente für die Existenz unzugänglicher Kardinäle, die in ZFC nicht formalisiert werden können. Ein solches Argument von Hrbáček & Jech (1999 , S. 279) ist, dass die Klasse aller Ordinalzahlen eines bestimmten Modells M der Mengenlehre selbst ein unzugänglicher Kardinal wäre, wenn es ein größeres Modell der Mengenlehre gäbe, das M und . erweitert Erhaltung der Potenz der Elemente von M .

Existenz einer richtigen Klasse von Unzugänglichen

Es gibt viele wichtige Axiome in der Mengenlehre, die die Existenz einer echten Klasse von Kardinälen behaupten, die ein Interessenprädikat erfüllen. Im Fall der Unzugänglichkeit ist das entsprechende Axiom die Behauptung, dass es für jede Kardinalzahl μ eine unzugängliche Kardinalzahl κ gibt, die streng größer ist, μ < κ . Somit garantiert dieses Axiom die Existenz eines unendlichen Turms unzugänglicher Kardinäle (und kann gelegentlich als das unzugängliche Kardinalsaxiom bezeichnet werden). Wie die Existenz eines unzugänglichen Kardinals ist das unzugängliche Kardinalsaxiom aus den ZFC-Axiomen nicht beweisbar. Unter der Annahme von ZFC ist das unzugängliche Kardinalsaxiom äquivalent zum Universumsaxiom von Grothendieck und Verdier : Jede Menge ist in einem Grothendieck-Universum enthalten . Die Axiome von ZFC werden zusammen mit dem Universumsaxiom (oder äquivalent dem unzugänglichen Kardinalsaxiom) als ZFCU bezeichnet (was mit ZFC mit Urelementen verwechselt werden könnte ). Dieses axiomatische System ist nützlich, um zum Beispiel zu beweisen, dass jede Kategorie eine passende Yoneda-Einbettung hat .

Dies ist ein relativ schwaches großes Kardinalaxiom, da es darauf hinausläuft, dass ∞ in der Sprache des nächsten Abschnitts 1-unzugänglich ist, wobei ∞ die kleinste Ordinalzahl außerhalb von V bezeichnet, dh die Klasse aller Ordinalzahlen in Ihrem Modell.

α -unzugängliche Kardinäle und hyper-unzugängliche Kardinäle

Der Begriff „ α- unzugänglicher Kardinal“ ist mehrdeutig und verschiedene Autoren verwenden ungleiche Definitionen. Eine Definition ist , dass ein Kardinal κ genannt α -inaccessible , für α jede Ordnungs, wenn κ nicht zugänglich ist und für jede Ordnungs β < α , die Menge von β -inaccessibles weniger als κ in unbeschränkt ist κ (und damit die Mächtigkeit κ , da κ regulär ist). In diesem Fall sind die 0-unzugänglichen Kardinäle dieselben wie stark unzugängliche Kardinäle. Eine weitere mögliche Definition ist , dass ein Kardinal κ heißt α -weakly unzugänglich , wenn κ regulär ist und für jede Ordnungs β < α , der Satz von ß -weakly inaccessibles weniger als κ in κ unbeschränkt ist. In diesem Fall sind die 0-schwach unzugänglichen Kardinäle die regulären Kardinäle und die 1-schwach unzugänglichen Kardinäle sind die schwach unzugänglichen Kardinäle.

Die α -unzugänglichen Kardinäle können auch als Fixpunkte von Funktionen beschrieben werden, die die niederen Unzugänglichen zählen. Zum Beispiel bezeichnet die durch & PSgr; 0 ( λ ) die λ th unzugänglichen Kardinal, dann die Fixpunkte von & psgr; 0 sind die 1-unzugänglichen cardinals. Sei dann ψ β ( λ ) der λ- te β -unzugängliche Kardinal, die Fixpunkte von ψ β sind die ( β +1)-unzugänglichen Kardinäle (die Werte ψ β +1 ( λ )). Wenn α eine Grenzordinal ist , ist ein α -unzugänglicher Fixpunkt jedes ψ β für β < α (der Wert ψ α ( λ ) ist die λ- te solche Kardinalzahl). Dieser Prozess des Nehmens von Fixpunkten von Funktionen, die sukzessive größere Kardinäle erzeugen, wird häufig beim Studium großer Kardinalzahlen angetroffen .

Der Begriff hyper-unzugänglich ist mehrdeutig und hat mindestens drei inkompatible Bedeutungen. Viele Autoren verwenden es, um eine regelmäßige Begrenzung stark unzugänglicher Kardinäle (1-unzugänglich) zu bedeuten. Andere Autoren verwenden es bedeuten , dass κ ist κ -inaccessible. (Es kann niemals κ +1-unzugänglich sein.) Es wird gelegentlich verwendet, um Mahlo-Kardinal zu bedeuten .

Der Begriff α- hyper-unzugänglich ist auch mehrdeutig. Einige Autoren verwenden es, um α -unzugänglich zu bedeuten . Andere Autoren verwenden , um die Definition , dass für jeden Ordnungs α , ein Kardinal κ heißt α -Hyper-unzugänglich , wenn und nur wenn κ ist hyper unzugänglich und für jede Ordnungs β < α , die Menge von β -Hyper-inaccessibles weniger als κ unbeschränkt in κ .

Hyper-hyper-unzugängliche Kardinäle und so weiter können auf ähnliche Weise definiert werden, und wie üblich ist dieser Begriff mehrdeutig.

Mit "schwach unzugänglich" anstelle von "unzugänglich" können ähnliche Definitionen für "schwach α -unzugänglich", "schwach hyper-unzugänglich" und "schwach α -hyper-unzugänglich" gemacht werden.

Mahlo-Kardinäle sind unzugänglich, hyper-unzugänglich, hyper-hyper-unzugänglich, ... und so weiter.

Zwei modelltheoretische Charakterisierungen der Unzugänglichkeit

Erstens ist eine Kardinalzahl κ genau dann unzugänglich, wenn κ die folgende Reflexionseigenschaft besitzt : Für alle Teilmengen U ⊂ V κ existiert α < κ so dass eine elementare Teilstruktur von ist . (In der Tat ist die Menge solcher α ist unbeschränkt geschlossen in κ .) In äquivalenter, κ ist - unbeschreibliche für alle n ≥ 0.

In ZF ist nachweisbar, dass ∞ eine etwas schwächere Reflexionseigenschaft erfüllt, wobei die Unterstruktur (V α , ∈, U ∩ V α ) nur in Bezug auf einen endlichen Formelsatz 'elementar' sein muss. Der Grund für diese Schwächung liegt letztlich darin, dass die modelltheoretische Zufriedenheitsrelation zwar definiert werden kann, die Wahrheit selbst jedoch aufgrund des Satzes von Tarski nicht .

Zweitens kann unter ZFC gezeigt werden, dass κ genau dann unzugänglich ist, wenn (V κ , ∈) ein Modell der ZFC zweiter Ordnung ist.

In diesem Fall existiert aufgrund der obigen Reflexionseigenschaft α < κ, so dass (V α , ∈) ein Standardmodell von ( erster Ordnung ) ZFC ist. Daher ist die Existenz eines unzugänglichen Kardinals eine stärkere Hypothese als die Existenz eines Standardmodells von ZFC.

Siehe auch

zitierte Werke

  • Drake, FR (1974), Mengentheorie: Eine Einführung in große Kardinäle , Studien in Logik und die Grundlagen der Mathematik, 76 , Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
  • Hausdorff, Felix (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen" , Mathematische Annalen , 65 (4): 435–505, doi : 10.1007/BF01451165 , hdl : 10338.dmlcz/100813 , ISSN  0025-5831
  • Hrbáček, Karel ; Jech, Thomas (1999), Einführung in die Mengenlehre (3. Aufl.), New York: Dekker, ISBN 978-0-8247-7915-3
  • Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Große Kardinäle in der Mengenlehre von ihren Anfängen (2. Aufl.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
  • Sierpiński, Wacław ; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, ISSN  0016-2736
  • Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, ISSN  0016-2736. Englische Übersetzung: Ewald, William B. (1996), "On Randnummern und Domänen von Mengen: neue Untersuchungen in den Grundlagen der Mengenlehre", From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , Oxford University Press , S. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.