Unabhängigkeit (mathematische Logik) - Independence (mathematical logic)

In der mathematischen Logik ist Unabhängigkeit die Unbeweisbarkeit eines Satzes von anderen Sätzen.

Ein Satz σ ist unabhängig von einer gegebenen Theorie erster Ordnung T, wenn T σ weder beweist noch widerlegt; das heißt, es ist unmöglich, σ aus T zu beweisen , und es ist auch unmöglich, aus T zu beweisen, dass σ falsch ist. Manchmal wird σ (synonym) als unentscheidbar von T bezeichnet ; Dies ist nicht die gleiche Bedeutung von " Entscheidbarkeit " wie bei einem Entscheidungsproblem .

Eine Theorie T ist unabhängig, wenn nicht jedes Axiom in T von den verbleibenden Axiomen in T beweisbar ist . Eine Theorie, für die es einen unabhängigen Satz von Axiomen gibt, ist unabhängig axiomatisierbar .

Verwendungshinweis

Einige Autoren sagen, dass σ unabhängig von T ist, wenn T σ einfach nicht beweisen kann, und behaupten dadurch nicht notwendigerweise, dass T σ nicht widerlegen kann. Diese Autoren werden manchmal sagen "σ ist unabhängig von und konsistent mit T ", um anzuzeigen, dass T σ weder beweisen noch widerlegen kann.

Unabhängigkeit führt zur Mengenlehre

Viele interessante Aussagen in der Mengenlehre sind unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF). Die folgenden Aussagen in der Mengenlehre sind bekanntermaßen unabhängig von ZF, unter der Annahme, dass ZF konsistent ist:

Die folgenden Aussagen (von denen keine als falsch erwiesen wurde) können in ZFC (der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre plus dem Axiom der Wahl) nicht als unabhängig von ZFC bewiesen werden, unter der hinzugefügten Hypothese, dass ZFC konsistent ist.

Die folgenden Aussagen stimmen nicht mit dem Axiom der Wahl und daher mit ZFC überein. Sie sind jedoch wahrscheinlich unabhängig von ZF, in einem entsprechenden Sinne wie oben: Sie können in ZF nicht bewiesen werden, und nur wenige Theoretiker von Arbeitssätzen erwarten, dass sie in ZF eine Widerlegung finden. ZF kann jedoch nicht beweisen, dass sie unabhängig von ZF sind, selbst mit der hinzugefügten Hypothese, dass ZF konsistent ist.

Anwendungen auf die physikalische Theorie

Seit dem Jahr 2000 hat die logische Unabhängigkeit eine entscheidende Bedeutung für die Grundlagen der Physik.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise