Indexierte Familie - Indexed family

In der Mathematik ist eine Familie oder indizierte Familie informell eine Sammlung von Objekten, die jeweils mit einem Index aus einem Indexsatz verbunden sind. Zum Beispiel ist eine Familie reeller Zahlen , die durch den Satz von ganzen Zahlen indiziert ist, eine Sammlung von reellen Zahlen, wobei eine gegebene Funktion für jede ganze Zahl (möglicherweise dieselbe) eine reelle Zahl auswählt.

Formaler ausgedrückt ist eine indizierte Familie eine mathematische Funktion zusammen mit ihrem Bereich I und dem Bild X . Oft werden die Elemente der Menge X als Familie bezeichnet. In dieser Ansicht werden indizierte Familien als Sammlungen indizierter Elemente anstelle von Funktionen interpretiert. Die Menge I wird Index (Menge) der Familie genannt, und X ist die indizierte Menge . Sequenzen sind eine Art von Familien mit den spezifischen Domänen.

Mathematische Aussage

Definition. Seien I und X Mengen und f eine Funktion mit

wobei ein Element von I repräsentiert und das Bild von unter der Funktion f als bezeichnet wird (z. B. wird als bezeichnet . Das Symbol wird verwendet, um anzuzeigen, dass es sich um ein Element von X handelt .), dann erstellt dies eine indizierte Familie von Elementen in X indexiert durch I , was mit oder einfach ( x i ) bezeichnet wird , wenn angenommen wird, dass der Indexsatz bekannt ist. Manchmal werden spitze Klammern oder geschweifte Klammern anstelle von Klammern verwendet, letzteres mit der Gefahr, dass Familien mit Sets verwechselt werden. Vereinfacht gesagt bilden die indizierten Objekte immer dann, wenn die Indexnotation verwendet wird, eine (indizierte) Familie als ihre Sammlung. Der Begriff Sammlung wird anstelle von Menge verwendet, da eine Familie das gleiche Element mehrmals haben kann (während eine Menge eine Sammlung ungeordneter und unterschiedlicher Objekte ist), solange jedes identische Element unterschiedlich indiziert ist.

Funktionen und Familien sind formal äquivalent, da jede Funktion f mit einer Domäne I eine Familie induziert ( f  ( i )) iI . Ein Element einer Familie zu sein ist gleichbedeutend damit, im Bereich der entsprechenden Funktion zu sein. In der Praxis wird eine Familie jedoch eher als Sammlung denn als Funktion betrachtet. Eine Familie enthält jedes Element genau einmal, und nur dann, wenn die entsprechende Funktion injektiv ist .

Eine indizierte Familie kann in eine Menge umgewandelt werden, indem man die Menge betrachtet , dh das Bild von I unter f . Da die Abbildung f nicht injektiv sein muss , kann es mit ij solche mit x i = x j geben . Also , wobei | A | bezeichnet die Kardinalität der Menge A . Dies bedeutet, dass eine Familie das gleiche Element mehrmals haben kann, solange diese unterschiedlich indiziert sind, und dies ist ein Unterschied zwischen indizierten Familien und Mengen. Zum Beispiel , wobei die Indexmenge die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Jede Menge X führt zu einer Familie ( x x ) xX, da X durch sich selbst indiziert ist. So wird jedes Set natürlich zu einer Familie. Für jede Familie ( A i ) iI gibt es die Menge aller Elemente { A i | iI } , aber dies enthält keine Informationen über die mehrfache Aufnahme desselben Elements (anders indexiert) oder die durch I gegebene Struktur . Daher können durch die Verwendung eines Sets anstelle der Familie einige Informationen verloren gehen.

Die Indexmenge I ist nicht darauf beschränkt, zählbar zu sein , und eine Teilmenge einer Potenzmenge kann indiziert werden, was zu einer indizierten Familie von Mengen führt . Folgen sind eine Art von Familien, da eine Folge als Funktion mit dem spezifischen Bereich definiert ist (ein Intervall von ganzen Zahlen, die Menge der natürlichen Zahlen oder die Menge der ersten n natürlichen Zahlen, je nachdem, welche Folge definiert ist und welche Definition verwendet wird ).

Beispiele

Indizierte Vektoren

Betrachten Sie zum Beispiel den folgenden Satz:

Die Vektoren v 1 , …, v n sind linear unabhängig.

Hier bezeichnet ( v i ) i ∈ {1, …, n } eine Familie von Vektoren. Der i- te Vektor v i macht nur in Bezug auf diese Familie Sinn, da Mengen ungeordnet sind, es also keinen i- ten Vektor einer Menge gibt. Darüber hinaus wird lineare Unabhängigkeit als Eigenschaft einer Sammlung definiert; es ist daher wichtig, ob diese Vektoren als Menge oder als Familie linear unabhängig sind. Betrachten wir zum Beispiel n = 2 und v 1 = v 2 = (1, 0) als denselben Vektor, dann besteht die Menge von ihnen nur aus einem Element (da eine Menge eine Sammlung ungeordneter unterschiedlicher Elemente ist) und ist linear unabhängig, aber die Familie enthält das gleiche Element zweimal (da unterschiedlich indiziert) und ist linear abhängig (gleiche Vektoren sind linear abhängig).

Matrizen

Angenommen, in einem Text steht Folgendes:

Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind.

Wie im vorherigen Beispiel ist es wichtig, dass die Zeilen von A als Familie und nicht als Menge linear unabhängig sind. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix

Der Satz der Reihen aus einem einzelnen Elemente (1, 1) als eine Reihe von einzigartigen Elementen hergestellt ist , so dass es linear unabhängig ist, aber die Matrix ist nicht umkehrbar , wie die Matrix Determinante 0. Auf der anderen Hand ist, ist die Familie von Die Zeilen enthalten zwei unterschiedlich indizierte Elemente wie die 1. Zeile (1, 1) und die 2. Zeile ( 1, 1 ), so dass sie linear abhängig ist. Die Aussage ist also richtig, wenn sie sich auf die Zeilenfamilie bezieht, aber falsch, wenn sie sich auf die Zeilenmenge bezieht. (Die Aussage ist auch richtig, wenn "the rows" als Verweis auf ein Multiset interpretiert wird , in dem die Elemente ebenfalls getrennt gehalten werden, dem jedoch etwas von der Struktur einer indizierten Familie fehlt.)

Andere Beispiele

Sei n die endliche Menge {1, 2, …, n } , wobei n eine positive ganze Zahl ist .

  • Ein geordnetes Paar (2- Tupel ) ist eine Familie, die durch die Menge von zwei Elementen indiziert ist, 2 = {1, 2} ; jedes Element des geordneten Paares wird durch jedes Element der Menge 2 indiziert .
  • Ein n- Tupel ist eine Familie, die durch die Menge n indiziert ist .
  • Eine unendliche Folge ist eine Familie, die durch die natürlichen Zahlen indiziert ist .
  • Eine Liste ist ein n- Tupel für ein nicht spezifiziertes n oder eine unendliche Folge.
  • Eine n × m- Matrix ist eine Familie, die durch das kartesische Produkt n × m indiziert ist, deren Elemente geordnete Paare sind, zB (2, 5), die das Matrixelement in der 2. Reihe und der 5. Spalte indiziert.
  • Ein Netz ist eine Familie, die durch eine gerichtete Menge indiziert ist .

Operationen an indizierten Familien

Indexsätze werden häufig in Summen und ähnlichen Operationen verwendet. Wenn zum Beispiel ( a i ) iI eine indizierte Zahlenfamilie ist, wird die Summe all dieser Zahlen bezeichnet mit

Wenn ( A i ) iI eine Familie von Mengen ist , wird die Vereinigung aller dieser Mengen bezeichnet mit

Ebenso für Kreuzungen und kartesische Produkte .

Indizierte Unterfamilie

Eine indizierte Familie ( B i ) iJ ist eine Unterfamilie einer indizierten Familie ( A i ) iI , genau dann, wenn J eine Teilmenge von I ist und B i = A i für alle i in J gilt .

Verwendung in der Kategorientheorie

Das analoge Konzept in der Kategorientheorie wird als Diagramm bezeichnet . Ein Diagramm ist ein Funktor , der zu einer indizierten Familie von Objekten in einer Kategorie C führt , die durch eine andere Kategorie J indiziert ist und durch Morphismen in Abhängigkeit von zwei Indizes in Beziehung steht .

Siehe auch

Verweise

  • Mathematical Society of Japan , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , 2. Auflage, 2 Bde., Kiyosi Itô (Hrsg.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Zitiert als EDM (Band).