Unendliche Teilbarkeit - Infinite divisibility
Unendliche Teilbarkeit entsteht auf unterschiedliche Weise in Philosophie , Physik , Ökonomie , Ordnungstheorie (ein Zweig der Mathematik) und Wahrscheinlichkeitstheorie (ebenfalls ein Zweig der Mathematik). Man kann von unendlicher Teilbarkeit oder deren Fehlen von Materie , Raum , Zeit , Geld oder abstrakten mathematischen Objekten wie dem Kontinuum sprechen .
In der Philosophie
Der Ursprung der Idee in der westlichen Tradition mit dem altgriechischen vorsokratischen Philosophen beginnend bis zum 5. Jahrhundert vor Christus zurückverfolgt wird Demokrit und seinen Lehrer Leukippos , die Teilbarkeit der theoretisierte Materie jenseits dem, was bei einer unteilbaren bis schließlich endet mit den Sinnen wahrgenommen werden Atom. Der indische Philosoph Kanada schlug auch eine atomistische Theorie vor, jedoch gibt es Unklarheiten darüber, wann dieser Philosoph lebte, zwischen dem 6. Jahrhundert und dem 2. Jahrhundert v. Atomismus in erforschte Plato ‚s Dialog Timaios und auch unterstützt wurde Aristoteles . Andrew Pyle gibt auf den ersten Seiten seines Atomism and its Critics einen klaren Bericht über die unendliche Teilbarkeit . Dort zeigt er, wie unendliche Teilbarkeit die Idee beinhaltet, dass es einen ausgedehnten Gegenstand gibt , wie beispielsweise einen Apfel, der unendlich viele Male geteilt werden kann, wobei man nie auf einen Punkt oder auf irgendwelche Atome herunterteilt. Viele professionelle Philosophen behaupten, dass die unendliche Teilbarkeit entweder eine Sammlung einer unendlichen Anzahl von Elementen beinhaltet (da es unendlich viele Unterteilungen gibt, muss es eine unendliche Sammlung von Objekten geben) oder (seltener) punktgroße Elemente oder beides. Pyle stellt fest, dass die Mathematik der unendlich teilbaren Erweiterungen keines von beiden beinhaltet – dass es unendliche Unterteilungen gibt, sondern nur endliche Sammlungen von Objekten und sie werden niemals auf punktausdehnungslose Elemente heruntergeteilt.
Zeno stellte die Frage, wie sich ein Pfeil bewegen kann, wenn er in einem Moment hier und regungslos ist und in einem späteren Moment woanders und regungslos ist.
Zenos Argumentation ist jedoch irreführend, wenn er sagt, wenn alles, wenn es einen gleichen Raum einnimmt, ruht, und wenn das, was sich in Bewegung befindet, immer einen solchen Raum einnimmt, dann ist der fliegende Pfeil also bewegungslos. Das ist falsch, denn die Zeit besteht ebensowenig aus unteilbaren Momenten wie jede andere Größe aus unteilbaren Momenten besteht.
— Aristoteles, Physik VI:9, 239b5
In Bezug auf Zenos Paradox des fliegenden Pfeils schreibt Alfred North Whitehead , dass "eine unendliche Anzahl von Werdensakten in endlicher Zeit stattfinden kann, wenn jeder nachfolgende Akt in einer konvergenten Reihe kleiner ist":
Das Argument, soweit es gültig ist, entlockt den beiden Prämissen einen Widerspruch: (i) dass in einem Werden etwas ( res vera ) wird, und (ii) dass jeder Akt des Werdens in frühere und spätere Abschnitte zerlegbar ist, die selbst Akte des Werdens. Betrachten Sie zum Beispiel einen Akt des Werdens während einer Sekunde. Der Akt ist in zwei Akte teilbar, einen in der ersten Hälfte des zweiten, den anderen in der späteren Hälfte des zweiten. Das, was während der ganzen Sekunde wird, setzt also das voraus, was während der ersten halben Sekunde wird. Analog setzt das, was während der ersten halben Sekunde wird, das voraus, was während der ersten Viertelsekunde wird, und so weiter auf unbestimmte Zeit. Betrachten wir also den Vorgang des Werdens bis zum Beginn des zweiten fraglichen und fragen, was dann wird, kann keine Antwort gegeben werden. Denn jedes Geschöpf, das wir bezeichnen, setzt ein früheres Geschöpf voraus, das nach dem Beginn des zweiten und dem bezeichneten Geschöpf vorausgegangen ist. Es gibt also nichts, was wird, um einen Übergang in die betreffende Sekunde zu bewirken.
— AN Whitehead, Prozess und Realität
In der Quantenphysik
Bis zur Entdeckung der Quantenmechanik , wurde kein Unterschied zwischen der Frage, ob Materie unendlich teilbar und der Frage, ob Materie wird geschnitten in kleinere Teilen ad infinitum .
Infolgedessen wird das griechische Wort átomos ( ἄτομος ), das wörtlich „unschneidbar“ bedeutet, meist mit „unteilbar“ übersetzt. Während das moderne Atom in der Tat teilbar ist, ist es tatsächlich nicht schneidbar: Es gibt keine Raumaufteilung , so dass seine Teile materiellen Teilen des Atoms entsprechen. Mit anderen Worten, die quantenmechanische Beschreibung von Materie entspricht nicht mehr dem Ausstecher-Paradigma. Dies wirft ein neues Licht auf das alte Rätsel der Teilbarkeit der Materie. Die Mannigfaltigkeit eines materiellen Objekts – die Anzahl seiner Teile – hängt nicht von der Existenz begrenzender Flächen, sondern von inneren räumlichen Beziehungen (relative Positionen zwischen Teilen) ab, denen bestimmte Werte fehlen. Nach dem Standardmodell der Teilchenphysik sind die Teilchen, aus denen ein Atom besteht – Quarks und Elektronen – Punktteilchen : Sie nehmen keinen Raum ein. Was ein Atom dennoch dazu bringt, Raum einzunehmen, ist nicht irgendein räumlich ausgedehntes "Zeug", das "Raum einnimmt", und das in immer kleinere Stücke zerteilt werden könnte, sondern die Unbestimmtheit seiner inneren räumlichen Verhältnisse.
Der physikalische Raum wird oft als unendlich teilbar angesehen: Es wird angenommen, dass jede noch so kleine Region im Raum weiter aufgespalten werden könnte. Auch die Zeit gilt als unendlich teilbar.
Die bahnbrechenden Arbeiten von Max Planck (1858–1947) auf dem Gebiet der Quantenphysik legen jedoch nahe, dass es tatsächlich eine minimale messbare Distanz gibt (heute Planck-Länge genannt , 1,616229(38)×10 −35 Meter) und daher ein minimales Zeitintervall (die Zeit, die Licht benötigt, um diese Strecke im Vakuum zurückzulegen, 5.39116(13) × 10 –44 Sekunden, bekannt als die Planck-Zeit ) kleiner, als das eine sinnvolle Messung unmöglich ist.
In Wirtschaft
Ein Dollar oder ein Euro ist in 100 Cent unterteilt; man kann nur in Cent-Schritten bezahlen. Es ist durchaus üblich, dass die Preise für einige Rohstoffe wie Benzin in Schritten von einem Zehntel Cent pro Gallone oder pro Liter liegen. Wenn Benzin 3,979 Dollar pro Gallone kostet und man 10 Gallonen kauft, dann sind die "zusätzlichen" 9/10 Cent das Zehnfache: "zusätzliche" 9 Cent, also der Cent wird in diesem Fall bezahlt. Geld ist in dem Sinne unendlich teilbar, dass es auf dem reellen Zahlensystem basiert. Moderne Münzen sind jedoch nicht teilbar (in der Vergangenheit wurden einige Münzen bei jeder Transaktion gewogen und galten ohne besondere Begrenzung als teilbar). Bei jeder Transaktion gibt es einen Punkt der Präzision, der nutzlos ist, weil so kleine Geldbeträge für den Menschen unbedeutend sind. Je mehr der Preis multipliziert wird, desto wichtiger könnte die Präzision sein. Wenn Sie beispielsweise eine Million Aktien kaufen, interessieren sich Käufer und Verkäufer möglicherweise für einen Preisunterschied von einem Zehntel Cent, aber es ist nur eine Wahl. Alles andere bei der Messung und Auswahl von Unternehmen ist in ähnlicher Weise in dem Maße teilbar, in dem die Parteien interessiert sind. Finanzberichte können beispielsweise jährlich, vierteljährlich oder monatlich gemeldet werden. Einige Geschäftsleiter führen Cashflow-Berichte mehr als einmal pro Tag aus.
Obwohl die Zeit unendlich teilbar sein kann, werden Daten zu Wertpapierkursen zu diskreten Zeitpunkten gemeldet. Wenn man sich zum Beispiel Aufzeichnungen von Aktienkursen in den 1920er Jahren ansieht, kann man die Kurse am Ende jedes Tages finden, aber vielleicht nicht drei Hundertstelsekunden nach 12:47 Uhr. Eine neue Methode könnte jedoch theoretisch doppelt so schnell berichten, was eine weitere Erhöhung der Meldegeschwindigkeit nicht verhindern würde. Paradoxerweise ist die auf Finanzmärkte angewandte technische Mathematik oft einfacher, wenn als Näherung unendlich teilbare Zeit verwendet wird. Auch in diesen Fällen wird eine Genauigkeit gewählt, mit der gearbeitet werden soll, und die Messungen werden auf diese Näherung gerundet. In der menschlichen Interaktion sind Geld und Zeit teilbar, aber nur bis zu einem Punkt, an dem eine weitere Teilung keinen Wert hat, der nicht genau bestimmt werden kann.
In Ordnung Theorie
Zu sagen, dass der Körper der rationalen Zahlen unendlich teilbar (dh ordnungstheoretisch dicht ) ist, bedeutet, dass zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen eine weitere rationale Zahl liegt. Im Gegensatz dazu ist der Ring der ganzen Zahlen nicht unendlich teilbar.
Unendliche Teilbarkeit impliziert keine Lückenlosigkeit: die rationalen Zahlen genießen nicht die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke . Das bedeutet , dass , wenn man waren partitionieren die rationals in zwei nicht-leere Sätze A und B , wo A alle rationals kleiner als eine irrationale Zahl enthält ( π , sagen wir) und B alle rationals größer als sie, dann A keine größte Mitglied hat und B hat kein kleinstes Mitglied. Der Körper der reellen Zahlen hingegen ist sowohl unendlich teilbar als auch lückenlos. Jede linear geordnete Menge , die unendlich teilbar und lückenlos ist und mehr als ein Glied hat, ist überabzählbar unendlich . Einen Beweis finden Sie in Cantors erstem Unzählbarkeitsbeweis . Unendliche Teilbarkeit allein impliziert Unendlichkeit, aber nicht Unzählbarkeit, wie die rationalen Zahlen veranschaulichen.
In Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zu sagen , dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F auf der reellen Achse ist unendlich teilbar bedeutet, wenn X ist eine beliebige Zufallsvariable , deren Verteilung ist F , dann für jede positive ganze Zahl n gibt es n unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen X 1 , ..., X n deren Summe gleich verteilt ist wie X (diese n anderen Zufallsvariablen haben normalerweise nicht die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung wie X ).
Die Poisson-Verteilung , die Stotter-Poisson-Verteilung, die negative Binomialverteilung und die Gamma-Verteilung sind Beispiele für unendlich teilbare Verteilungen – ebenso wie die Normalverteilung , die Cauchy-Verteilung und alle anderen Mitglieder der Familie der stabilen Verteilungen . Die schiefe Normalverteilung ist ein Beispiel für eine nicht unendlich teilbare Verteilung. (Siehe Domínguez-Molina und Rocha Arteaga (2007).)
Jede unendlich teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht auf natürliche Weise einem Lévy-Prozess , dh einem stochastischen Prozess { X t : t ≥ 0 } mit stationären unabhängigen Inkrementen ( stationär bedeutet, dass für s < t die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X t − X s hängt nur von t − s ab ; unabhängige Inkremente bedeutet, dass diese Differenz unabhängig von der entsprechenden Differenz in jedem Intervall ist, das sich nicht mit [ s , t ] überlappt , und ähnlich für jede endliche Anzahl von Intervallen).
Dieses Konzept der unendlichen Teilbarkeit von Wahrscheinlichkeitsverteilungen wurde 1929 von Bruno de Finetti eingeführt .
Siehe auch
- Teilbare Gruppe , eine mathematische Gruppe, in der jedes Element ein beliebiges Vielfaches eines anderen Elements ist
- Unzersetzbare Verteilung
- Salami schneiden
- Zenos Paradoxien
Verweise
- ^ Bildung, Pearson (2016). Das Wissenschaftssprungbrett 9. . ISBN 9789332585164.
- ^ Aristoteles. "Physik" . Das Internet-Klassiker-Archiv .
- ^ a b Ross, SD (1983). Perspektive in Whiteheads Metaphysik . Suny-Reihe in systematischer Philosophie. State University of New York Press. S. 182 –183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN 82008332 .
- ^ Ulrich Mohrhoff (2000). „Quantenmechanik und das Cookie-Cutter-Paradigma“. arXiv : quant-ph/0009001v2 .
- Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) „Über die unendliche Teilbarkeit einiger schiefer symmetrischer Verteilungen“. Statistik und Wahrscheinlichkeitsbuchstaben , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014