Inneres Modell - Inner model

In der Mengenlehre , einem Zweig der mathematischen Logik , ist ein inneres Modell für eine Theorie T eine Unterstruktur eines Modells M einer Mengenlehre , die sowohl ein Modell für T ist als auch alle Ordnungszahlen von M enthält .

Definition

Sei die Sprache der Mengenlehre. Sei S eine bestimmte Mengenlehre, zum Beispiel die ZFC- Axiome, und sei T (möglicherweise das gleiche wie S ) auch eine Theorie in . ${\ displaystyle L = \ langle \ in \ rangle}$${\ displaystyle L}$

Wenn M ein Modell für S ist und N eine solche Struktur ist, dass ${\ displaystyle L}$

1. N ist eine Unterstruktur von M , dh die Interpretation von in N ist ${\ displaystyle \ in _ {N}}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ in _ {M}} \ cap N ^ {2}}$
2. N ist ein Modell für T.
3. Die Domäne von N ist eine transitive Klasse von M.
4. N enthält alle Ordnungszahlen von M.

dann sagen wir, dass N ein inneres Modell von T ist (in M ). Normalerweise ist T gleich (oder subsumiert) S , so dass N ein Modell für S 'innerhalb' des Modells M von S ist .

Wenn nur die Bedingungen 1 und 2 halten, N ist ein sogenanntes Standardmodell von T (in M ), ein Standard - Submodell von T (wenn S  =  T und) N ist ein Satz in M . Ein Modell N von T in M wird als transitiv bezeichnet, wenn es Standard ist und Bedingung 3 gilt. Wenn das Axiom der Stiftung nicht angenommen wird (das ist nicht in S ) alle drei dieser Konzepte sind die zusätzliche Bedingung, dass N sein fundierter . Daher sind innere Modelle transitiv, transitive Modelle Standard und Standardmodelle begründet.

Die Annahme, dass es ein Standard-Submodell von ZFC gibt (in einem bestimmten Universum), ist stärker als die Annahme, dass es ein Modell gibt. Wenn es ein Standard-Submodell gibt, gibt es tatsächlich ein kleinstes Standard-Submodell, das als Minimalmodell bezeichnet wird und in allen Standard-Submodellen enthalten ist. Das minimale Submodell enthält kein Standard-Submodell (da es minimal ist), aber (unter der Annahme der Konsistenz von ZFC) enthält es ein Modell von ZFC nach dem Gödel-Vollständigkeitssatz . Dieses Modell ist notwendigerweise nicht begründet, sonst wäre sein Mostowski-Zusammenbruch ein Standard-Submodell. (Es ist als Beziehung im Universum nicht begründet, obwohl es das Axiom der Grundlage erfüllt, so dass es "intern" begründet ist. Begründet zu sein ist keine absolute Eigenschaft.) Insbesondere im minimalen Submodell gibt es eine Modell von ZFC, aber es gibt kein Standard-Submodell von ZFC.

Benutzen

Wenn man über innere Modelle einer Theorie spricht, ist die Theorie, die man diskutiert, normalerweise ZFC oder eine Erweiterung von ZFC (wie ZFC +  ein messbarer Kardinal ). Wenn keine Theorie erwähnt wird, wird normalerweise angenommen, dass das diskutierte Modell ein inneres Modell von ZFC ist. Es ist jedoch nicht ungewöhnlich, auch über innere Modelle von Untertheorien von ZFC (wie ZF oder KP ) zu sprechen . ${\ displaystyle \ existiert}$

Verwandte Ideen

Kurt Gödel hat bewiesen, dass jedes Modell von ZF ein am wenigsten inneres Modell von ZF hat (das auch ein inneres Modell von ZFC +  GCH ist ), das als konstruierbares Universum oder  L bezeichnet wird .

Es gibt einen Zweig der Mengenlehre, die als innere Modelltheorie bezeichnet wird und Möglichkeiten untersucht, kleinste innere Modelle von Theorien zu konstruieren, die ZF erweitern. Die Theorie des inneren Modells hat zur Entdeckung der genauen Konsistenzstärke vieler wichtiger satztheoretischer Eigenschaften geführt.

Siehe auch

• Zählbare transitive Modelle und generische Filter

Verweise