Umkehrfunktion - Inverse function
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In der Mathematik ist eine Umkehrfunktion (oder Antifunktion ) eine Funktion , die eine andere Funktion "umkehrt": Wenn die auf eine Eingabe x angewendete Funktion f ein Ergebnis von y ergibt , dann ergibt die Anwendung ihrer Umkehrfunktion g auf y das Ergebnis x , dh g ( y ) = x genau dann, wenn f ( x ) = y . Die Umkehrfunktion von f wird auch als bezeichnet .
Betrachten Sie als Beispiel die reellwertige Funktion einer reellen Variablen, gegeben durch f ( x ) = 5 x − 7 . Betrachten wir dies als eine Schritt-für-Schritt-Prozedur (nämlich eine Zahl x nehmen , mit 5 multiplizieren, dann 7 vom Ergebnis subtrahieren), um dies umzukehren und x von einem Ausgabewert, sagen wir y , zurückzubekommen, würden wir rückgängig machen jeden Schritt in umgekehrter Reihenfolge. In diesem Fall bedeutet dies, 7 zu y zu addieren und dann das Ergebnis durch 5 zu dividieren. In funktionaler Notation wäre diese Umkehrfunktion gegeben durch:
Mit y = 5 x − 7 gilt f ( x ) = y und g ( y ) = x .
Nicht alle Funktionen haben inverse Funktionen. Diejenigen, die dies tun, werden invertierbar genannt . Damit eine Funktion f : X → Y eine Inverse hat, muss sie die Eigenschaft haben, dass zu jedem y in Y genau ein x in X existiert, so dass f ( x ) = y . Diese Eigenschaft stellt sicher, dass eine Funktion g : Y → X mit der notwendigen Beziehung zu f existiert .
Definitionen
Sei f eine Funktion, deren Domäne die Menge X ist und deren Kodomäne die Menge Y ist . Dann f ist umkehrbar , wenn es eine Funktion existiert g mit Domäne Y und codomain X mit der Eigenschaft:
Wenn f umkehrbar ist, dann ist die Funktion g ist einzigartig , was bedeutet , dass es genau eine Funktion g diese Eigenschaft erfüllt. Darüber hinaus folgt auch, dass die Bereiche von g und f ihren jeweiligen Codomänen entsprechen. Die Funktion g wird die Umkehrung von f genannt und normalerweise als f −1 bezeichnet , eine Notation, die 1813 von John Frederick William Herschel eingeführt wurde.
Anders ausgedrückt, eine Funktion, die als binäre Beziehung betrachtet wird , hat genau dann eine inverse Beziehung , wenn die umgekehrte Beziehung eine Funktion auf der Kodomäne Y ist , in welchem Fall die umgekehrte Beziehung die inverse Funktion ist.
Nicht alle Funktionen haben eine Umkehrung. Damit eine Funktion eine Inverse hat, darf jedes Element y ∈ Y nicht mehr als einem x ∈ X entsprechen ; eine Funktion f mit dieser Eigenschaft heißt eins-zu-eins oder Injektion . Soll f −1 eine Funktion auf Y sein , dann muss jedes Element y ∈ Y einem x ∈ X entsprechen . Funktionen mit dieser Eigenschaft werden Surjektionen genannt . Diese Eigenschaft ist per Definition erfüllt, wenn Y das Bild von f ist, kann aber in einem allgemeineren Kontext nicht gelten. Um invertierbar zu sein, muss eine Funktion sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion sein. Solche Funktionen werden Bijektionen genannt . Die Inverse einer Injektion f : X → Y , die nicht eine Bijektion ist (dh, kein Surjektion ist), ist nur eine Teilfunktion auf Y , was bedeutet , dass für einige y ∈ Y , f -1 ( y ) ist nicht definiert. Wenn eine Funktion f invertierbar ist, dann sind sowohl sie als auch ihre Umkehrfunktion f −1 Bijektionen.
Eine andere Konvention wird bei der Definition von Funktionen verwendet, die als "mengentheoretische" oder "Graphen"-Definition bezeichnet wird, die geordnete Paare verwendet , was die Co-Domäne und das Bild der Funktion gleich macht. Nach dieser Konvention sind alle Funktionen surjektiv, also sind Bijektivität und Injektivität gleich. Autoren, die diese Konvention verwenden, können die Formulierung verwenden, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn es sich um eine Injektion handelt. Die beiden Konventionen brauchen keine Verwirrung zu stiften, solange man sich daran erinnert, dass in dieser alternativen Konvention die Kodomäne einer Funktion immer das Bild der Funktion ist.
Beispiel: Quadrieren und Quadratwurzelfunktionen
Die durch f ( x ) = x 2 gegebene Funktion f : R → [0,∞) ist nicht injektiv, da jedes mögliche Ergebnis y (außer 0) zwei verschiedenen Startpunkten in X entspricht – einem positiven und einem negativen, und so Diese Funktion ist nicht umkehrbar. Bei dieser Art von Funktion ist es unmöglich, aus ihrer Ausgabe eine (eindeutige) Eingabe abzuleiten. Eine solche Funktion wird als nicht- injektiv oder in einigen Anwendungen als informationsverlierend bezeichnet.
Wenn der Funktionsbereich der Funktion auf die nichtnegativen reellen Zahlen beschränkt ist, d. h. die Funktion wird mit der gleichen Regel wie zuvor zu f : [0, ∞) → [0, ∞) umdefiniert , dann ist die Funktion bijektiv und somit invertierbar. Die Umkehrfunktion wird hier als (positive) Quadratwurzelfunktion bezeichnet .
Umkehrungen und Komposition
Wenn f eine invertierbare Funktion mit Domäne X und Kodomäne Y ist , dann
- , für jeden ; und , für jeden .
Mit der Komposition von Funktionen können wir diese Aussage wie folgt umschreiben:
- und
wobei id X die Identitätsfunktion auf der Menge X ist ; dh die Funktion, die ihr Argument unverändert lässt. In der Kategorientheorie wird diese Aussage als Definition eines inversen Morphismus verwendet .
Die Berücksichtigung der Funktionskomposition hilft, die Notation f −1 zu verstehen . Das wiederholte Zusammensetzen einer Funktion mit sich selbst wird als Iteration bezeichnet . Wird f n- mal angewendet , beginnend mit dem Wert x , dann wird dies als f n ( x ) geschrieben ; also f 2 ( x ) = f ( f ( x )) , usw. Da f −1 ( f ( x )) = x , ergibt das Zusammensetzen von f −1 und f n f n −1 , was den Effekt von eins "aufhebt" Anwendung von f .
Notation
Während die Notation f −1 ( x ) missverstanden werden könnte, bezeichnet ( f ( x )) − 1 sicherlich die multiplikative Inverse von f ( x ) und hat nichts mit der Umkehrfunktion von f zu tun .
In Übereinstimmung mit der allgemeinen Schreibweise verwenden einige englische Autoren Ausdrücke wie sin −1 ( x ) , um die Umkehrung der auf x angewendeten Sinusfunktion zu bezeichnen (eigentlich eine partielle Umkehrung ; siehe unten). Andere Autoren meinen, dass dies mit der Notation für die multiplikative Inverse von sin ( x ) verwechselt werden kann, die als (sin ( x )) −1 bezeichnet werden kann . Um Verwechslungen zu vermeiden, wird eine inverse trigonometrische Funktion oft durch das Präfix „ Bogen “ (für lat. arcus ) angezeigt . Zum Beispiel wird die Umkehrung der Sinusfunktion typischerweise als Arkussinusfunktion bezeichnet, geschrieben als arcsin ( x ) . Ebenso wird die Umkehrung einer hyperbolischen Funktion durch das Präfix „ ar “ (für lateinisch ārea ) angezeigt . Zum Beispiel wird die Umkehrung der hyperbolischen Sinusfunktion typischerweise als arsinh ( x ) geschrieben . Andere inverse Sonderfunktionen werden manchmal mit dem Präfix "inv" vorangestellt, wenn die Mehrdeutigkeit der f −1- Notation vermieden werden soll.
Eigenschaften
Da es sich bei einer Funktion um eine spezielle Art binärer Relationen handelt , entsprechen viele Eigenschaften einer Umkehrfunktion den Eigenschaften umgekehrter Beziehungen .
Einzigartigkeit
Existiert zu einer gegebenen Funktion f eine Umkehrfunktion , dann ist sie eindeutig. Dies folgt, da die Umkehrfunktion die umgekehrte Beziehung sein muss, die vollständig durch f bestimmt ist .
Symmetrie
Zwischen einer Funktion und ihrer Inversen besteht eine Symmetrie. Genauer gesagt, wenn f eine invertierbare Funktion mit Domäne X und Kodomäne Y ist , dann hat ihre Inverse f −1 eine Domäne Y und ein Bild X , und die Inverse von f −1 ist die ursprüngliche Funktion f . In Symbolen gilt für Funktionen f : X → Y und f −1 : Y → X ,
- und
Diese Aussage ist eine Folge der Implikation, dass f , um invertierbar zu sein, bijektiv sein muss. Die involvierende Natur des Inversen kann kurz ausgedrückt werden durch
Die Umkehrung einer Zusammensetzung von Funktionen ist gegeben durch
Beachten Sie, dass die Reihenfolge von g und f umgekehrt wurde; um f rückgängig zu machen, gefolgt von g , müssen wir zuerst g rückgängig machen und dann f rückgängig machen .
Sei beispielsweise f ( x ) = 3 x und g ( x ) = x + 5 . Dann ist die Zusammensetzung g ∘ f die Funktion, die zuerst mit drei multipliziert und dann fünf addiert,
Um diesen Prozess umzukehren, müssen wir zuerst fünf subtrahieren und dann durch drei dividieren,
Dies ist die Zusammensetzung ( f −1 ∘ g −1 )( x ) .
Selbstinvers
Wenn X eine Menge ist, dann ist die Identitätsfunktion auf X ihre eigene Inverse:
Allgemeiner gesagt ist eine Funktion f : X → X genau dann gleich ihrer eigenen Inversen, wenn die Zusammensetzung f ∘ f gleich id X ist . Eine solche Funktion wird Involution genannt .
Inversen in der Analysis
Die Berechnung mit einer Variablen befasst sich hauptsächlich mit Funktionen, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbilden. Solche Funktionen werden oft durch Formeln definiert , wie zum Beispiel:
Eine surjektive Funktion f von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen besitzt eine Inverse, solange sie eins zu eins ist. Das heißt, der Graph von y = f ( x ) hat für jeden möglichen y- Wert nur einen entsprechenden x- Wert und besteht somit den Horizontallinientest .
Die folgende Tabelle zeigt einige Standardfunktionen und ihre Umkehrungen:
Funktion f ( x ) Inverse f −1 ( y ) Anmerkungen x + a y − a a − x a − y mx ja/m m ≠ 0 1/x(dh x −1 ) 1/ja(dh y −1 ) x , y 0 x 2 √ y (dh y 1/2 ) x , y nur 0 x 3 3 √ y (dh y 1/3 ) keine Einschränkung für x und y x p p √ y (dh y 1/ p ) x , y ≥ 0, wenn p gerade ist; ganze Zahl p > 0 2 x lb ja j > 0 e x ln y j > 0 10 x log dich ein j > 0 ein x log eine y y > 0 und a > 0 x e x W ( j ) x ≥ −1 und y ≥ −1/ e trigonometrische Funktionen inverse trigonometrische Funktionen verschiedene Einschränkungen (siehe Tabelle unten) hyperbolische Funktionen inverse hyperbolische Funktionen verschiedene Einschränkungen
Formel für die Umkehrung
Eine Möglichkeit, eine Formel für f −1 zu finden , falls vorhanden, besteht darin, die Gleichung y = f ( x ) nach x zu lösen . Ist beispielsweise f die Funktion
dann müssen wir die Gleichung y = (2 x + 8) 3 nach x lösen :
Damit ist die Umkehrfunktion f −1 gegeben durch die Formel
Manchmal kann die Umkehrung einer Funktion nicht durch eine Formel mit endlich vielen Termen ausgedrückt werden. Ist beispielsweise f die Funktion
dann ist f eine Bijektion und besitzt daher eine Umkehrfunktion f −1 . Die Formel für diese Umkehrung hat unendlich viele Terme:
Graph der Umkehrung
Wenn f invertierbar ist, dann ist der Graph der Funktion
ist das gleiche wie der Graph der Gleichung
Dies ist identisch mit der Gleichung y = f ( x ) , die den Graphen von f definiert , außer dass die Rollen von x und y vertauscht wurden. Somit kann der Graph von f –1 aus dem Graph von f durch Vertauschen der Positionen der x- und y- Achse erhalten werden. Dies entspricht der Spiegelung des Graphen über die Linie y = x .
Umkehrungen und Ableitungen
Eine stetige Funktion f ist auf ihrem Bereich (Bild) genau dann invertierbar, wenn sie entweder streng steigend oder fallend ist (ohne lokale Maxima oder Minima ). Zum Beispiel die Funktion
ist invertierbar, da die Ableitung f′ ( x ) = 3 x 2 + 1 immer positiv ist.
Wenn die Funktion f auf einem Intervall I differenzierbar ist und f′ ( x ) 0 für jedes x ∈ I , dann ist die Inverse f −1 auf f ( I ) differenzierbar . Falls y = f ( x ) , ist die Ableitung der Inversen durch den Umkehrfunktionssatz gegeben ,
Unter Verwendung der Leibniz-Notation kann die obige Formel geschrieben werden als
Dieses Ergebnis folgt aus der Kettenregel (siehe den Artikel über Umkehrfunktionen und Differentiation ).
Der Umkehrfunktionssatz kann auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert werden. Genauer gesagt, eine differenzierbare multivariable Funktion f : R n → R n invertierbar ist in einer Nachbarschaft eines Punktes p , solange die Jacobi - Matrix von f an p ist umkehrbar . In diesem Fall ist die Jacobilinie von f −1 bei f ( p ) die Matrixinverse der Jacobilinie von f bei p .
Beispiele aus der Praxis
- Sei f die Funktion, die eine Temperatur in Grad Celsius in eine Temperatur in Grad Fahrenheit umwandelt ,
- Angenommen, f weist jedem Kind in einer Familie sein Geburtsjahr zu. Eine Umkehrfunktion würde ausgeben, welches Kind in einem bestimmten Jahr geboren wurde. Wenn die Familie jedoch Kinder hat, die im selben Jahr geboren wurden (z. B. Zwillinge oder Drillinge usw.), kann der Output nicht ermittelt werden, wenn der Input das gemeinsame Geburtsjahr ist. Auch wenn ein Jahr angegeben ist, in dem kein Kind geboren wurde, kann kein Kind genannt werden. Aber wenn jedes Kind in einem eigenen Jahr geboren wurde und wir die Aufmerksamkeit auf die drei Jahre beschränken, in denen ein Kind geboren wurde, dann haben wir eine umgekehrte Funktion. Zum Beispiel,
- Sei R die Funktion, die zu einem x- prozentualen Anstieg einer bestimmten Größe führt, und F sei die Funktion, die einen x- prozentualen Abfall erzeugt. Angewandt auf $100 mit x = 10% stellen wir fest, dass die Anwendung der ersten Funktion gefolgt von der zweiten den ursprünglichen Wert von $100 nicht wiederherstellt, was die Tatsache zeigt, dass diese beiden Funktionen trotz des Anscheins nicht invers zueinander sind.
- Die Formel zur Berechnung des pH-Werts einer Lösung lautet pH=-log10[H+]. In vielen Fällen müssen wir die Säurekonzentration aus einer pH-Messung ermitteln. Es wird die Umkehrfunktion [H+]=10^-pH verwendet.
Verallgemeinerungen
Teilweise invers
Auch wenn eine Funktion f nicht eins zu eins ist, kann es möglich sein, eine partielle Umkehrung von f durch Beschränkung des Definitionsbereichs zu definieren . Zum Beispiel die Funktion
ist nicht eins zu eins, da x 2 = (− x ) 2 . Die Funktion wird jedoch eins zu eins, wenn wir auf das Gebiet x ≥ 0 beschränken , in welchem Fall
(Wenn wir stattdessen auf den Bereich x ≤ 0 beschränken , ist die Inverse das Negative der Quadratwurzel von y .) Alternativ besteht keine Notwendigkeit, den Bereich einzuschränken, wenn wir damit zufrieden sind, dass die Inverse eine mehrwertige Funktion ist :
Manchmal wird diese inverse mehrwertiges der gerufene volle inverse von f , und die Abschnitte (wie √ x und - √ x ) heißen Zweige . Der wichtigste Zweig einer mehrwertigen Funktion (zB die positive Quadratwurzel) wird als Hauptzweig bezeichnet , und sein Wert bei y wird als Hauptwert von f −1 ( y ) bezeichnet .
Für eine stetige Funktion auf der reellen Geraden ist zwischen jedem Paar lokaler Extrema eine Verzweigung erforderlich . Zum Beispiel hat die Inverse einer kubischen Funktion mit lokalem Maximum und lokalem Minimum drei Zweige (siehe nebenstehendes Bild).
Diese Überlegungen sind besonders wichtig für die Definition der Inversen trigonometrischer Funktionen . Zum Beispiel ist die Sinusfunktion nicht eins zu eins, da
für jedes reelle x (und allgemeiner sin( x + 2 π n ) = sin( x ) für jede ganze Zahl n ). Der Sinus ist jedoch eins zu eins auf dem Intervall [−π/2, π/2] , und die entsprechende partielle Umkehrung wird Arkussinus genannt . Dies wird als Hauptzweig des inversen Sinus betrachtet, daher liegt der Hauptwert des inversen Sinus immer zwischen −π/2 und π/2. Die folgende Tabelle beschreibt den Hauptzweig jeder inversen trigonometrischen Funktion:
Funktion Bereich des üblichen Kapitalwerts Arcsin −π/2≤ sin −1 ( x ) ≤π/2 arccos 0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π arctan −π/2< tan −1 ( x ) <π/2 arccot 0 < Kinderbett −1 ( x ) < π Bogensekunden 0 ≤ sek −1 ( x ) ≤ π arccsc −π/2≤ csc −1 ( x ) ≤π/2
Links und rechts invers
Links- und Rechtsinverse sind nicht unbedingt gleich. Wenn g eine linke inverse für ist f , dann g kann oder kann nicht eine Rechtsinverse für sein f ; und wenn g eine Rechtsinverse für f ist , dann ist g nicht notwendigerweise eine Linksinverse für f . Sei zum Beispiel f : R → [0, ∞) die Quadrierungsabbildung, so dass f ( x ) = x 2 für alle x in R , und g : [0, ∞) → R die Quadratwurzelabbildung, mit g ( x ) = √ x für alle x ≥ 0 . Dann f ( g ( x )) = x für alle x in [0, ∞) ; das heißt, g ist eine Rechtsinverse zu f . Jedoch g ist keine linke invers zu f , da beispielsweise g ( f (-1)) = 1 ≠ -1 .
Links invers
Falls f : X → Y , ist eine Linksinverse für f (oder eine Zurückziehung von f ) eine Funktion g : Y → X derart, dass das Zusammensetzen von f mit g von links die Identitätsfunktion ergibt:
Das heißt, die Funktion g erfüllt die Regel
- Wenn , dann
Somit muss g dem Kehrwert von f auf dem Bild von f entsprechen , kann jedoch beliebige Werte für Elemente von Y annehmen, die nicht im Bild enthalten sind.
Eine Funktion f ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse hat oder die leere Funktion ist.
- Wenn g die linke Inverse von f ist , dann ist f injektiv. Wenn f(x) = f(y) ist , dann .
- Falls f: X→Y injektiv ist, ist f entweder die leere Funktion ( X = ∅ ) oder hat eine Linksinverse g: Y → X ( X ≠ ∅) , die wie folgt konstruiert werden kann: für alle y ∈ Y , wenn y ist in dem Bild f (es existiert x ∈ x derart , dass f (x) = y ), lässt g (y) = x ( x ist einzigartig , weil f injektiv); andernfalls sei g(y) ein beliebiges Element von X . Für alle x ∈ X ist f(x) im Bild von f , also g(f(x)) = x nach oben, also ist g eine Linksinverse von f .
In der klassischen Mathematik hat jede injektive Funktion f mit einem nichtleeren Definitionsbereich notwendigerweise eine Linksinverse; dies kann jedoch in der konstruktiven Mathematik scheitern . Zum Beispiel verletzt eine Linksinverse der Inklusion {0,1} → R der zweielementigen Menge in den reellen Zahlen die Unzerlegbarkeit, indem sie eine Retraktion der reellen Geraden auf die Menge {0,1} gibt .
Rechts invers
Eine Rechtsinverse für f (oder ein Abschnitt von f ) ist eine Funktion h : Y → X mit
Das heißt, die Funktion h erfüllt die Regel
- Wenn , dann
Somit kann h ( y ) eines der Elemente von X sein , die unter f auf y abgebildet werden .
Eine Funktion f hat genau dann eine Rechtsinverse, wenn sie surjektiv ist (obwohl die Konstruktion einer solchen Inversen im Allgemeinen das Auswahlaxiom erfordert ).
- Wenn h die rechte Inverse von f ist , dann ist f surjektiv. Für alle gibt es solche .
- Wenn f surjektiv ist, hat f eine Rechtsinverse h , die wie folgt konstruiert werden kann: Für alle gibt es mindestens eine solche, dass (weil f surjektiv ist), also wählen wir eine als den Wert von h(y) .
Zweiseitige Umkehrungen
Eine Umkehrung, die sowohl eine linke als auch eine rechte Umkehrung (eine zweiseitige Umkehrung ) ist, muss, falls vorhanden, eindeutig sein. Wenn eine Funktion eine Linksinverse und eine Rechtsinverse hat, sind sie beide die gleiche zweiseitige Inverse, also kann sie als Inverse bezeichnet werden .
- If ist eine Linksinverse und eine Rechtsinverse von , für alle , .
Eine Funktion hat genau dann eine zweiseitige Inverse, wenn sie bijektiv ist.
- Eine bijektive Funktion f ist injektiv, hat also eine Linksinverse (wenn f die leere Funktion ist, ist sie ihre eigene Linksinverse). f ist surjektiv, hat also eine Rechtsinverse. Nach obigem sind die linke und rechte Inverse gleich.
- Wenn f eine zweiseitige Inverse g hat , dann ist g eine Linksinverse und eine Rechtsinverse von f , also ist f injektiv und surjektiv.
Vorbilder
Wenn f : X → Y eine beliebige Funktion ist (nicht unbedingt invertierbar), ist das Urbild (oder inverses Bild ) eines Elements y ∈ Y die Menge aller Elemente von X , die auf y abgebildet werden :
Das Urbild von y kann man sich als das Bild von y unter der (mehrwertigen) vollen Umkehrung der Funktion f vorstellen .
Wenn S eine Teilmenge von Y ist , ist das Urbild von S , bezeichnet mit , die Menge aller Elemente von X , die auf S abgebildet werden :
Nehmen wir zum Beispiel eine Funktion f : R → R , wobei f : x ↦ x 2 . Diese Funktion ist aus Gründen, die in § besprochen wurden, nicht invertierbar. Beispiel: Quadrieren und Quadratwurzelfunktionen . Dennoch können Urbilder für Teilmengen der Kodomäne definiert werden:
Das Urbild eines einzelnen Elements y ∈ Y – einer Singleton-Menge { y } – wird manchmal als Faser von y bezeichnet . Wenn Y die Menge der reellen Zahlen ist, ist es üblich, f −1 ({ y }) als Ebenenmenge zu bezeichnen .
Siehe auch
- Lagrange-Inversionssatz , gibt die Taylor-Reihenentwicklung der Umkehrfunktion einer analytischen Funktion
- Integral von Umkehrfunktionen
- Inverse Fourier-Transformation
- Reversibles Rechnen
Anmerkungen
Verweise
Literaturverzeichnis
- Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Infinitesimalrechnung / Frühe Transzendentalen Einzelvariable . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-66414-3.
- Devlin, Keith J. (2004). Mengen, Funktionen und Logik / Eine Einführung in die abstrakte Mathematik (3 Aufl.). Chapman & Hall / CRC Mathematik . ISBN 978-1-58488-449-1.
- Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Grundlagen der höheren Mathematik . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
- Lay, Steven R. (2006). Analysis / Mit einer Einführung in den Beweis (4 Aufl.). Pearson / Prentice Hall . ISBN 978-0-13-148101-5.
- Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. André, Richard (2006). Ein Übergang zur fortgeschrittenen Mathematik (6 Aufl.). Thompson Brooks/Cole . ISBN 978-0-534-39900-9.
- Thomas, Jr., George Brinton (1972). Infinitesimalrechnung und analytische Geometrie Teil 1: Funktionen einer Variablen und analytischer Geometrie (Alternative ed.). Addison-Wesley .
- Wolf, Robert S. (1998). Beweis, Logik und Vermutung / Der Werkzeugkasten des Mathematikers . WH Freeman und Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.
Weiterlesen
- Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). „Implizite Funktionen; Jacobi; Inverse Funktionen“. Advanced Calculus und seine Anwendungen in den Ingenieur- und Physikalischen Wissenschaften . New York: Wiley. S. 103 –120. ISBN 0-471-04934-4.
- Binmore, Ken G. (1983). "Inverse Funktionen". Kalkül . New York: Cambridge University Press . S. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
- Spivak, Michael (1994). Kalkül (3 Hrsg.). Veröffentlichen oder zugrunde gehen. ISBN 0-914098-89-6.
- Stewart, James (2002). Kalkül (5 Hrsg.). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.
Externe Links
- "Inverse Funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]