Verhältnismäßigkeit (Mathematik) - Proportionality (mathematics)

Die Variable y ist direkt proportional zur Variablen x mit einer Proportionalitätskonstante von ~0,6.
Die Variable y ist umgekehrt proportional zur Variablen x mit der Proportionalitätskonstante 1.

In der Mathematik sagt man , dass zwei verschiedene Größen in einem Verhältnis der Proportionalität stehen , multiplikativ mit einer Konstanten verbunden ; das heißt, wenn entweder ihr Verhältnis oder ihr Produkt eine Konstante ergibt. Der Wert dieser Konstanten wird als Proportionalitätskoeffizient oder Proportionalitätskonstante bezeichnet .

  • Wenn das Verhältnis ( ja/x) von zwei Variablen ( x und y ) ist gleich einer Konstanten ( k =ja/x) , dann kann die Variable im Zähler des Verhältnisses ( y ) das Produkt der anderen Variablen und der Konstanten ( y = k  ⋅  x ) sein . In diesem Fall wird y als direkt proportional zu x mit der Proportionalitätskonstante k bezeichnet . Äquivalent kann man x = . schreiben1/k ⋅  y ; das heißt, x ist direkt proportional zu y mit der Proportionalitätskonstante1/k (= x/ja) . Wird der Begriff proportional mit zwei Variablen ohne weitere Einschränkung verbunden, kann im Allgemeinen von einer direkten Proportionalität ausgegangen werden.
  • Wenn das Produkt von zwei Variablen ( x  ⋅  y ) gleich einer Konstanten ist ( k = x  ⋅  y ) , dann sind die beiden genannten sein , umgekehrt proportional mit der Proportionalitätskonstante zueinander k . Äquivalent sind beide Größen direkt proportional zum Kehrwert der jeweils anderen mit der Proportionalitätskonstante k ( x = k  ⋅ 1/jaund y = k  ⋅ 1/x).

Wenn mehrere Variablenpaare dieselbe direkte Proportionalitätskonstante haben, wird die Gleichung , die die Gleichheit dieser Verhältnisse ausdrückt, als Proportion bezeichnet , z.ein/B = x/ja= ⋯ = k (Details siehe Verhältnis ).

Direkte Verhältnismäßigkeit

Gegeben seien zwei Variablen x und y , y ist direkt proportional zu x , wenn es eine Nicht-Null - Konstante k derart , dass

Unicode- Zeichen
  • U+221D PROPORTIONAL ZU (HTML ∝  · ∝, ∝, ∝, ∝, ∝ )
  • U+007E ~ TILDE (HTML ~)
  • U+223C TILDE-BETREIBER (HTML ∼  · ∼, ∼, ∼, ∼ )
  • U+223A GEOMETRISCHES PROPORTION (HTML ∺  · ∺ )

Die Relation wird oft mit den Symbolen „∝“ (nicht zu verwechseln mit dem griechischen Buchstaben alpha ) oder „~“ bezeichnet:

 oder 

Denn die Proportionalitätskonstante kann ausgedrückt werden als Verhältnis

Sie wird auch als Variationskonstante oder Proportionalitätskonstante bezeichnet .

Eine direkte Proportionalität kann auch als lineare Gleichung in zwei Variablen mit einem y- Achsenabschnitt von 0 und einer Steigung von k betrachtet werden . Dies entspricht einem linearen Wachstum .

Beispiele

  • Wenn ein Objekt mit einer konstanten fährt Geschwindigkeit , dann ist die Distanz gereist ist direkt proportional zu der Zeit aufgewendet reisen, mit der Geschwindigkeit , die Proportionalitätskonstante ist.
  • Der Umfang eines Kreises ist direkt proportional zu seinem Durchmesser , wobei die Proportionalitätskonstante gleich π ist .
  • Auf einer Karte eines ausreichend kleinen geografischen Gebiets, die maßstabsgetreu gezeichnet ist , ist die Entfernung zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Karte direkt proportional zur Luftlinie zwischen den beiden durch diese Punkte repräsentierten Orten; die Proportionalitätskonstante ist der Maßstab der Karte.
  • Die Kraft , die auf ein kleines Objekt mit kleiner Masse durch eine nahe große ausgedehnte Masse aufgrund der Schwerkraft wirkt , ist direkt proportional zur Masse des Objekts; die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Masse wird als Erdbeschleunigung bezeichnet .
  • Die auf ein Objekt wirkende Nettokraft ist proportional zur Beschleunigung dieses Objekts in Bezug auf ein Trägheitsbezugssystem. Die Proportionalitätskonstante in diesem zweiten Newtonschen Gesetz ist die klassische Masse des Objekts.

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität mit einer Funktion von y = 1/ x

Das Konzept der umgekehrten Proportionalität kann der direkten Proportionalität gegenübergestellt werden . Betrachten Sie zwei Variablen, die als "umgekehrt proportional" zueinander bezeichnet werden. Wenn alle anderen Variablen konstant gehalten werden , nimmt der Betrag oder der Absolutwert einer umgekehrt proportionalen Variablen ab, wenn die andere Variable zunimmt, während ihr Produkt (die Proportionalitätskonstante k ) immer gleich ist. Beispielsweise ist die Fahrzeit umgekehrt proportional zur Fahrgeschwindigkeit.

Formal sind zwei Variablen umgekehrt proportional (auch umgekehrt variierend , inverser Variation , invers proportional , im reziproken Verhältnis genannt ), wenn jede der Variablen direkt proportional zum multiplikativen Inversen (Kehrwert) der anderen ist, oder äquivalent, wenn ihr Produkt . ist eine Konstante. Daraus folgt, dass die Variable y umgekehrt proportional zur Variablen x ist, wenn es eine von Null verschiedene Konstante k gibt, so dass

oder äquivalent, daher ist die Konstante " k " das Produkt von x und y .

Der Graph von zwei invers auf der kartesischen Koordinatenebene variierenden Variablen ist eine rechteckige Hyperbel . Das Produkt der x- und y- Werte jedes Punktes auf der Kurve entspricht der Proportionalitätskonstante ( k ). Da weder x noch y gleich Null sein können (weil k nicht Null ist), schneidet der Graph niemals eine der Achsen.

Hyperbolische Koordinaten

Die Konzepte der direkten und inversen Proportionen führen zur Lage der Punkte in der kartesischen Ebene durch hyperbolische Koordinaten ; die beiden Koordinaten entsprechen der direkten Proportionalitätskonstante, die einen Punkt als auf einem bestimmten Strahl liegend spezifiziert, und der inversen Proportionalitätskonstante, die einen Punkt als auf einer bestimmten Hyperbel liegend spezifiziert.

Siehe auch

Wachstum

Anmerkungen

Verweise

  • Ja. B. Zeldovich, I. M. Yaglom : Höhere Mathematik für Anfänger , p. 34–35 .
  • Brian Burrell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference . Merriam-Webster, 1998, ISBN  9780877796213 , p. 85–101 .
  • Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORTIONALITÄT: Ein vereinendes Thema für die Mittelstufe . Mathematikunterricht in der Mittelschule 8.8 (2003), S. 392–396.
  • Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: Ein Blick auf die Entwicklung von Kennzahlen, Raten und Proportionalität . Mathematikunterricht in der Mittelschule, 13.3, 2007, p. 140-142.
  • Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers-Marleen; Verschaffel Lieven : Übermäßiger Gebrauch der Proportionalität durch Schüler bei Problemen mit fehlenden Werten: Wie Zahlen Lösungen verändern können . Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, p. 187–211.