Irwin-Hall-Verteilung - Irwin–Hall distribution

Irwin-Hall-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	n ∈ N 0
Unterstützung	${\displaystyle x\in [0,n]}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor}(-1)^{k}{\binom {n}{k }}(xk)^{n-1}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(xk )^{n}}$
Bedeuten	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Median	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Modus	${\displaystyle {\begin{cases}{\text{beliebiger Wert in }}[0,1]&{\text{for }}n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text {sonst}}\end{cases}}}$
Abweichung	${\displaystyle {\frac {n}{12}}}$
Schiefe	0
Ex. kurtosis	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}$
MGF	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}}$
CF	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}}$

In der Wahrscheinlichkeits- und Statistik ist die Irwin-Hall-Verteilung , benannt nach Joseph Oscar Irwin und Philip Hall , eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable, die als Summe einer Reihe unabhängiger Zufallsvariablen definiert ist, von denen jede eine gleichmäßige Verteilung hat . Aus diesem Grund wird sie auch als gleichmäßige Summenverteilung bezeichnet .

Die Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen mit einer ungefähr normalen Verteilung wird manchmal durch Berechnen der Summe einer Anzahl von Pseudo-Zufallszahlen mit einer gleichmäßigen Verteilung erreicht; in der Regel aus Gründen der Einfachheit der Programmierung. Die Neuskalierung der Irwin-Hall-Verteilung liefert die genaue Verteilung der erzeugten Zufallsvariablen.

Diese Verteilung wird manchmal mit der Bates-Verteilung verwechselt, bei der es sich um den Mittelwert (nicht die Summe ) von n unabhängigen Zufallsvariablen handelt, die gleichmäßig von 0 bis 1 verteilt sind.

Definition

Die Irwin-Hall-Verteilung ist die stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten U (0, 1) -Zufallsvariablen:

${\displaystyle X=\sum_{k=1}^{n}U_{k}.}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) ist gegeben durch

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{ n \choose k}(xk)^{n-1}\operatorname {sgn}(xk)}$

wobei sgn( x − k ) die Vorzeichenfunktion bezeichnet :

${\displaystyle \operatorname {sgn}(xk)={\begin{cases}-1&x<k\\0&x=k\\1&x>k.\end{cases}}}$

Somit ist die pdf ein Spline (stückweise Polynomfunktion) vom Grad n  − 1 über den Knoten 0, 1, ..., n . Tatsächlich ist für x zwischen den Knoten bei k und k + 1 die pdf gleich

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n )x^{j}}$

wobei die Koeffizienten a _j ( k , n ) aus einer Rekursionsbeziehung über k . gefunden werden können

${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{cases}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1, n)+(-1)^{n+kj-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{nj-1}&k>0\end{cases}}}$

Die Koeffizienten sind auch A188816 in OEIS . Die Koeffizienten für die kumulierte Verteilung sind A188668 .

Der Mittelwert und die Varianz sind n /2 bzw. n /12.

Sonderfälle

• Für n = 1 folgt X einer Gleichverteilung :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

• Für n = 2 folgt X einer Dreiecksverteilung :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{cases}}}$

• Für n = 3,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2} }(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end {Fälle}}}$

• Für n = 4,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6} }(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2} +60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{cases}}}$

• Für n = 5,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24} }(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4} -60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}- 330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{Fälle} }}$

Ähnliche und verwandte Verteilungen

Die Irwin-Hall-Verteilung ist der Bates-Verteilung ähnlich , enthält aber weiterhin nur ganze Zahlen als Parameter. Eine Erweiterung auf reellwertige Parameter ist möglich, indem auch eine zufällige einheitliche Variable mit N  − trunc( N ) als Breite hinzugefügt wird .

Erweiterungen der Irwin-Hall-Verteilung

Bei der Verwendung der Irwin-Hall für Datenanpassungszwecke besteht ein Problem darin, dass der IH nicht sehr flexibel ist, da der Parameter n eine ganze Zahl sein muss. Anstatt n gleichmäßige Gleichverteilungen zu summieren , könnten wir jedoch auch zB U  + 0,5 U addieren , um auch den Fall n  = 1,5 zu behandeln (was eine trapezförmige Verteilung ergibt).

Die Symmetrie der Irwin-Hall kann behoben werden, indem das Ergebnis für die beiden Hälften, Werte unter dem Durchschnitt und Werte über dem Durchschnitt, linear skaliert wird.

Die Irwin-Hall-Verteilung hat eine Anwendung auf Strahlformung und Mustersynthese in Abbildung 1 der Referenz

Siehe auch

• Bates-Verteilung
• Normalverteilung
• Zentraler Grenzwertsatz
• Gleichmäßige Verteilung (kontinuierlich)
• Dreiecksverteilung

Anmerkungen

Verweise

• Halle, Philipp . (1927) "Die Verteilung der Mittelwerte für Stichproben der Größe N, die aus einer Population gezogen wurden, in der die Variate Werte zwischen 0 und 1 annimmt, wobei alle diese Werte gleich wahrscheinlich sind". Biometrie , Bd. 19, Nr. 3/4., S. 240–245. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR  2331961
• Irwin, JO (1927) "Über die Häufigkeitsverteilung der Mittelwerte von Stichproben aus einer Population mit einem beliebigen Häufigkeitsgesetz mit endlichen Momenten, mit besonderer Bezugnahme auf den Typ II von Pearson". Biometrie , Bd. 19, Nr. 3/4., S. 225–239. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR  2331960