John Wallis- John Wallis

John Wallis
John Wallis von Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg
Geboren 3. Dezember [ OS 23. November] 1616
Ashford, Kent , England
Ist gestorben 8. November 1703 (1703-11-08)(im Alter von 86 Jahren) [ OS 28. Oktober 1703]
Oxford , Oxfordshire , England
Staatsangehörigkeit Englisch
Bildung Felsted School , Emmanuel College, Cambridge
Bekannt für Wallis-Produkt Die
Erfindung des Symbols
Erweiterung der Quadraturformel von Cavalieri Den
Begriff " Impuls " prägen
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik
Institutionen
Akademische Berater William Ouightred
Bemerkenswerte Studenten William Brouncker

John Wallis ( / w ɒ l ɪ s / ; lateinisch : Wallisius ; 3. Dezember [ O 23. November] 1616-8 November [ O 28. Oktober] 1703) war ein englischer Geistlicher und Mathematiker , der einen Teil des Kredit für die Entwicklung gegeben ist unendlich Kalkül . Zwischen 1643 und 1689 war er Chefkryptograph für das Parlament und später den königlichen Hof. Ihm wird die Einführung des Symbols ∞ zugeschrieben, um das Konzept der Unendlichkeit darzustellen . Ähnlich verwendete er 1/∞ für ein infinitesimales . John Wallis war ein Zeitgenosse Newtons und einer der größten Intellektuellen der frühen Renaissance der Mathematik .

Biografie

Bildungshintergrund

  • Cambridge, MA, Oxford, DD
  • Grammar School in Tenterden, Kent, 1625–31.
  • Schule von Martin Holbeach in Felsted, Essex, 1631-2.
  • Universität Cambridge, Emmanuel College, 1632–40; BA, 1637; MA, 1640.
  • DD in Oxford im Jahre 1654

Familie

Am 14. März 1645 heiratete er Susanna Glynde ( ca.  1600 – 16. März 1687). Sie hatten drei Kinder:

  1. Anne Blencoe (4. Juni 1656 – 5. April 1718), heiratete 1675 Sir John Blencowe (30. November 1642 – 6. Mai 1726), mit Ausgabe
  2. John Wallis (26. Dezember 1650 – 14. März 1717), Abgeordneter für Wallingford 1690–1695, heiratete Elizabeth Harris (gest. 1693) am 1. Februar 1682, mit Ausgabe: ein Sohn und zwei Töchter
  3. Elizabeth Wallis (1658–1703), verheiratet mit William Benson (1649–1691) aus Towcester, starb ohne Probleme

Leben

John Wallis wurde in Ashford, Kent, geboren . Er war das dritte von fünf Kindern von Reverend John Wallis und Joanna Chapman. Er wurde zunächst an einer Schule in Ashford erzogen, wechselte aber 1625 nach einem Ausbruch der Pest an die Schule von James Movat in Tenterden . Wallis wurde 1631 an der Felsted School (damals bekannt als Martin Holbeachs Schule in Felsted) erstmals mit Mathematik in Berührung gebracht; Mathe machte ihm Spaß, aber sein Studium war sprunghaft, da "Mathematik damals bei uns kaum als akademisches, sondern eher als mechanisches Studium angesehen wurde" ( Scriba 1970 ). An der Schule in Felsted lernte Wallis Latein sprechen und schreiben . Zu dieser Zeit beherrschte er auch Französisch , Griechisch und Hebräisch . Da er Arzt werden sollte, wurde er 1632 an das Emmanuel College in Cambridge geschickt . Dort hielt er ein Gesetz über die Lehre von der Zirkulation des Blutes ; das sei das erste Mal in Europa gewesen, bei dem diese Theorie öffentlich in einer Disputation vertreten wurde. Sein Interesse galt jedoch der Mathematik. Er erhielt 1637 seinen Bachelor of Arts und 1640 einen Master, danach trat er ins Priesteramt ein. Von 1643 bis 1649 diente er als nicht stimmberechtigter Schreiber bei der Westminster Assembly . Er wurde 1644 in ein Stipendium am Queens' College in Cambridge gewählt, von dem er nach seiner Heirat zurücktreten musste.

Während dieser Zeit stand Wallis der parlamentarischen Partei nahe, vielleicht aufgrund seiner Bekanntschaft mit Holbeach an der Felsted School. Er leistete ihnen eine große praktische Hilfe bei der Entzifferung royalistischer Depeschen. Die Qualität der Kryptographie war damals gemischt; Trotz der individuellen Erfolge von Mathematikern wie François Viète waren die Prinzipien, die dem Verschlüsselungsdesign und der Analyse zugrunde liegen, sehr schlecht verstanden. Die meisten Chiffren waren Ad-hoc-Methoden, die auf einem geheimen Algorithmus beruhten, im Gegensatz zu Systemen, die auf einem variablen Schlüssel basieren . Wallis erkannte, dass letztere weitaus sicherer waren – er bezeichnete sie sogar als "unzerbrechlich", obwohl er dieser Behauptung nicht sicher genug war, um aufschlussreiche kryptografische Algorithmen zu fördern. Er war auch besorgt über die Verwendung von Chiffren durch ausländische Mächte und lehnte beispielsweise die Anfrage von Gottfried Leibniz von 1697 ab, hannoversche Studenten in Kryptographie zu unterrichten .

Nach London zurückgekehrt – er war 1643 zum Kaplan in St. Gabriel Fenchurch ernannt worden – schloss sich Wallis der Gruppe von Wissenschaftlern an, die sich später zur Royal Society entwickeln sollte . Er war schließlich in der Lage , seine mathematischen Interessen zu frönen, Mastering William Oughtred ‚s Clavis Mathematicae in ein paar Wochen in 1647 bald begann er seine eigenen Abhandlungen zu schreiben, mit einer breiten Palette von Themen zu tun, die er für den Rest seines Lebens fortgesetzt . Wallis schrieb die erste Übersicht über mathematische Konzepte in England, in der er das hindu-arabische System diskutierte.

Wallis unterzeichnete gemeinsam mit den gemäßigten Presbyterianern die Remonstration gegen die Hinrichtung Karls I. , wodurch er sich die anhaltende Feindschaft der Unabhängigen zuzog. Trotz ihrer Opposition er im Jahr 1649 zur ernannt wurde Savilian Lehrstuhl für Geometrie an der Universität Oxford, wo er bis zu seinem Tod am 8. November [lebte OS 28. Oktober] 1703 1650 wurde Wallis als Minister ordiniert. Nach verbrachte er zwei Jahre mit Sir Richard Darley und Lady Vere als Privat Kaplan . 1661 war er einer von zwölf presbyterianischen Vertretern bei der Savoyer Konferenz .

Neben seinen mathematischen Werken schrieb er über Theologie , Logik , englische Grammatik und Philosophie, und er war an der Entwicklung eines Systems beteiligt, um einem gehörlosen Jungen das Sprechen im Littlecote House beizubringen . William Holder hatte zuvor einen gehörlosen Mann, Alexander Popham, gelehrt, „schlicht und deutlich und mit einem guten und anmutigen Ton“ zu sprechen. Wallis behauptete später, dies zu verdanken, was Holder dazu veranlasste, Wallis vorzuwerfen, "seine Nachbarn zu zerreißen und sich mit ihren Spoyls zu schmücken".

Wallis' Ernennung zum Savilian Professor of Geometry an der Oxford University

Die parlamentarische Visitation von Oxford , die 1647 begann, entfernte viele hochrangige Akademiker aus ihren Positionen, darunter (im November 1648) die Savilians-Professoren für Geometrie und Astronomie. 1649 wurde Wallis zum Savilianischen Professor für Geometrie ernannt. Wallis scheint hauptsächlich aus politischen Gründen gewählt worden zu sein (wie vielleicht auch sein royalistischer Vorgänger Peter Turner , der trotz seiner Berufung auf zwei Professuren nie mathematische Werke veröffentlichte); Während Wallis vielleicht der führende Kryptograf des Landes war und Teil einer informellen Gruppe von Wissenschaftlern war, die später zur Royal Society werden sollte , hatte er keinen besonderen Ruf als Mathematiker. Dennoch erwies sich Wallis' Ernennung durch seine spätere Tätigkeit in den 54 Jahren als Savilians-Professor als reichlich gerechtfertigt.

Beiträge zur Mathematik

Opera Mathematica , 1699

Wallis leistete bedeutende Beiträge zur Trigonometrie , Analysis , Geometrie und der Analyse unendlicher Reihen . In seiner Opera Mathematica I (1695) führte er den Begriff „ Kettenbruch “ ein.

Wallis lehnte die heute übliche Vorstellung von einer negativen Zahl als kleiner als nichts als absurd ab, akzeptierte jedoch die Ansicht, dass sie etwas Größeres als Unendlich ist. (Das Argument, dass negative Zahlen größer als unendlich sind, beinhaltet den Quotienten und die Berücksichtigung dessen, was passiert, wenn man sich nähert und dann den Punkt von der positiven Seite kreuzt .) Trotzdem wird er allgemein als der Begründer der Idee des Zahlenstrahls angesehen , in dem Zahlen werden geometrisch in einer Linie dargestellt, wobei die negativen Zahlen durch Längen dargestellt werden, die in entgegengesetzter Richtung zu Längen positiver Zahlen sind.

Analytische Geometrie

1655 veröffentlichte Wallis eine Abhandlung über Kegelschnitte, in der sie analytisch definiert wurden. Dies war das früheste Buch, in dem diese Kurven als Kurven zweiten Grades betrachtet und definiert wurden . Es half, einige der wahrgenommenen Schwierigkeiten und Unklarheiten von René Descartes ' Arbeit zur analytischen Geometrie zu beseitigen . In der Abhandlung über die Kegelschnitte popularisierte Wallis das Symbol ∞ für Unendlichkeit. Er schrieb: "Ich nehme an, dass jede Ebene (die der Geometrie der Unteilbaren von Cavalieri folgt ) aus einer unendlichen Anzahl paralleler Linien besteht, oder, wie ich es vorziehe, aus einer unendlichen Anzahl von Parallelogrammen gleicher Höhe; (lass die Höhe von jedem von ihnen sei ein unendlich kleiner Teil 1/∞ der gesamten Höhe, und das Symbol ∞ bezeichne die Unendlichkeit) und die Höhe aller, um die Höhe der Figur zu bilden."

Integralrechnung

Arithmetica Infinitorum , das wichtigste Werk Wallis, wurde 1656 veröffentlicht. In dieser Abhandlung wurden die Analysemethoden von Descartes und Cavalieri systematisiert und erweitert, einige Ideen waren jedoch kritikwürdig. Nach einem kurzen Abschnitt über Kegelschnitte begann er damit, die Standardnotation für Potenzen zu entwickeln und sie von positiven ganzen Zahlen zu rationalen Zahlen zu erweitern :

Verläßt die zahlreichen algebraischen Anwendungen dieser Entdeckung, er zu finden nächsten fort, durch Integration , die Fläche eingeschlossen zwischen der Kurve y = x m , x - Achse, und jedem Ordinate x = h , und er bewies , dass das Verhältnis von diesem Bereich zu die des Parallelogramms auf derselben Basis und derselben Höhe ist 1/( m  + 1), was die Quadraturformel von Cavalieri erweitert . Er nahm anscheinend an, dass das gleiche Ergebnis auch für die Kurve y = ax m gilt , wobei a eine beliebige Konstante und m eine beliebige Zahl positiv oder negativ ist, diskutierte aber nur den Fall der Parabel mit m = 2 und der Hyperbel wobei m = −1 ist. Im letzteren Fall ist seine Interpretation des Ergebnisses falsch. Er zeigte dann, dass ähnliche Ergebnisse für jede Kurve der Form

und damit, wenn die Ordinate y einer Kurve in Potenzen von x entwickelt werden kann, kann ihre Fläche bestimmt werden: also sagt er, wenn die Kurvengleichung y = x 0 + x 1 + x 2 + ... , seine Fläche wäre x + x 2 /2 + x 3 /3 + ... . Er wendete dies dann auf die Quadratur der Kurven y = ( xx 2 ) 0 , y = ( xx 2 ) 1 , y = ( xx 2 ) 2 usw. zwischen den Grenzen x  = 0 . an und x  = 1. Er zeigt, dass die Flächen jeweils 1, 1/6, 1/30, 1/140 usw. sind. Als nächstes betrachtete er Kurven der Form y = x 1/ m und stellte den Satz auf, dass die Fläche begrenzt durch diese Kurve und die Geraden x  = 0 und x  = 1 ist gleich der Fläche des Rechtecks ​​auf derselben Basis und derselben Höhe wie m  : m  + 1. Dies entspricht der Berechnung

Er veranschaulichte dies durch die Parabel, in der m = 2 ist. Er hat das entsprechende Ergebnis für eine Kurve der Form y = x p / q angegeben, aber nicht bewiesen .

Wallis bewies beträchtlichen Einfallsreichtum bei der Reduzierung der Kurvengleichungen auf die oben angegebenen Formen, aber da er mit dem Binomialsatz nicht vertraut war , konnte er die Quadratur des Kreises , deren Gleichung lautet , nicht bewirken , da er diese nicht in Potenzen erweitern konnte von x . Er legte jedoch das Prinzip der Interpolation fest . Somit ist , wie die Ordinate des Kreises ist der geometrische Mittelwert der Ordinaten der Kurve und , könnte angenommen werden , daß, als eine Annäherung, der Bereich des Halbkreises , der sie als das geometrische Mittel der Werte reduzieren kann,

das heißt, und ; dies entspricht der Annahme von oder 3,26... als Wert von π. Aber, argumentierte Wallis, wir haben tatsächlich eine Reihe ... und daher sollte der Begriff interpoliert zwischen und gewählt werden, um dem Gesetz dieser Reihe zu gehorchen. Dies führt nach einem aufwendigen Verfahren, das hier nicht im Detail beschrieben wird, zu einem Wert für den interpolierten Term, der äquivalent zu

(das jetzt als das Wallis-Produkt bekannt ist ).

In dieser Arbeit werden auch die Bildung und Eigenschaften von Kettenbrüchen diskutiert, wobei das Thema durch Brounckers Verwendung dieser Brüche in den Vordergrund gerückt wurde .

Einige Jahre später, 1659, veröffentlichte Wallis einen Traktat, der die von Blaise Pascal vorgeschlagene Lösung der Probleme an der Zykloide enthielt . Darin ist er übrigens erklärt , wie die in seinem festgelegten Grundsätze Arithmetica Infinitorum für die Beseitigung von algebraischen Kurven verwendet werden könnten , und gab eine Lösung des Problems zu beheben (dh findet die Länge) die Neilsche Parabel x 3 = ay 2 , das war 1657 von seinem Schüler William Neile entdeckt worden . Da alle Versuche, die Ellipse und Hyperbel zu korrigieren , (notwendigerweise) erfolglos gewesen waren, hatte man angenommen, dass keine Kurven korrigiert werden könnten, was Descartes mit Sicherheit behauptet hatte. Die logarithmische Spirale war von Evangelista Torricelli korrigiert worden und war die erste gekrümmte Linie (außer dem Kreis), deren Länge bestimmt wurde, aber die Verlängerung von Neile und Wallis zu einer algebraischen Kurve war neu. Die Zykloide war die nächste Kurve, die berichtigt wurde; Dies wurde 1658 von Christopher Wren durchgeführt .

Anfang 1658 machte van Heuraët eine ähnliche Entdeckung, unabhängig von der von Neile, und diese wurde von van Schooten in seiner Ausgabe von Descartes' Geometria 1659 veröffentlicht. Van Heuraëts Methode ist wie folgt. Er nimmt an, dass sich die Kurve auf rechtwinklige Achsen bezieht; wenn dies so ist und wenn ( x , y ) die Koordinaten eines beliebigen Punktes darauf sind und n die Länge der Normalen ist, und wenn ein anderer Punkt mit den Koordinaten ( x , η ) so genommen wird, dass η  : h = n  : y , wobei h eine Konstante ist; dann, wenn ds das Element der Länge der gewünschten Kurve ist, haben wir durch ähnliche Dreiecke ds  : dx = n  : y . Daher h ds = η dx . Wenn also der Bereich des locus des Punktes ( x , η ) gefunden werden kann, kann die erste Kurve korrigiert werden. Auf diese Weise bewirkte van Heuraët die Entzerrung der Kurve y 3 = ax 2 , fügte jedoch hinzu, dass die Entzerrung der Parabel y 2 = ax unmöglich ist, da sie die Quadratur der Hyperbel erfordert. Die Lösungen von Neile und Wallis sind denen von van Heuraët etwas ähnlich, obwohl keine allgemeine Regel ausgesprochen wird und die Analyse ungeschickt ist. Eine dritte Methode wurde 1660 von Fermat vorgeschlagen , die jedoch unelegant und mühsam ist.

Zusammenstoß von Körpern

Die Theorie der Kollision von Körpern wurde 1668 von der Royal Society für Mathematiker aufgestellt. Wallis, Christopher Wren und Christiaan Huygens schickten korrekte und ähnliche Lösungen, die alle von dem abhängen, was man heute Impulserhaltung nennt ; aber während Wren und Huygens ihre Theorie auf vollkommen elastische Körper beschränkten ( elastischer Stoß ), betrachtete Wallis auch unvollkommen elastische Körper ( unelastischer Stoß ). 1669 folgte eine Arbeit über Statik (Schwerpunkte) und 1670 eine über Dynamik : Diese bieten eine bequeme Zusammenfassung dessen, was damals über dieses Thema bekannt war.

Algebra

Im Jahr 1685 veröffentlichte Wallis Algebra , dem ein historischer Bericht über die Entwicklung des Fachs vorausging, der viele wertvolle Informationen enthält. Die 1693 erschienene zweite Ausgabe, die den zweiten Band seiner Oper bildete , wurde erheblich erweitert. Diese Algebra ist bemerkenswert, da sie die erste systematische Verwendung von Formeln enthält. Eine gegebene Größe wird hier durch das Zahlenverhältnis dargestellt, das sie zu der Einheit derselben Art von Größe hat: Wenn Wallis also zwei Längen vergleichen will, betrachtet er jede als so viele Längeneinheiten enthaltend. Dies wird vielleicht noch deutlicher, wenn man anmerkt, dass die Beziehung zwischen dem Raum, der jederzeit von einem sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegenden Teilchen beschrieben wird, von Wallis mit der Formel bezeichnet wird:

s = vt ,

wobei s die Zahl ist, die das Verhältnis des beschriebenen Raums zur Längeneinheit darstellt; während die vorherigen Autoren die gleiche Beziehung mit der Aussage bezeichnet hätten, was dem Satz entspricht

s 1  : s 2 = v 1 t 1  : v 2 t 2 .

Geometrie

Ihm wird normalerweise der Beweis des Satzes des Pythagoras mit ähnlichen Dreiecken zugeschrieben . Allerdings Thabit Ibn Qurra (AD 901), ein arabischer Mathematiker, hatte eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für alle Dreiecke sechs Jahrhunderte früher hergestellt. Es ist eine vernünftige Vermutung, dass Wallis Thabits Arbeit kannte.

Wallis wurde auch von den Werken des islamischen Mathematikers Sadr al-Tusi, dem Sohn von Nasir al-Din al-Tusi , inspiriert , insbesondere von al-Tusis 1298 geschriebenem Buch über das Parallelpostulat . Das Buch basierte auf den Gedanken seines Vaters und präsentierte eines der frühesten Argumente für eine nichteuklidische Hypothese, die dem Parallelpostulat entspricht. Nachdem er dies gelesen hatte, schrieb Wallis über seine Ideen, während er seine eigenen Gedanken über das Postulat entwickelte und versuchte, es auch mit ähnlichen Dreiecken zu beweisen.

Er stellte fest, dass das fünfte Postulat von Euklid dem derzeit nach ihm benannten "Wallis-Postulat" entspricht. Dieses Postulat besagt: „Auf einer gegebenen endlichen Geraden ist es immer möglich, ein Dreieck ähnlich einem gegebenen Dreieck zu konstruieren“. Dieses Ergebnis war in einen Trend eingebettet, der versuchte, Euklids Quinte aus den anderen vier Postulaten abzuleiten, was heute als unmöglich bekannt ist. Im Gegensatz zu anderen Autoren erkannte er, dass das unbegrenzte Wachstum eines Dreiecks durch die ersten vier Postulate nicht garantiert war.

Taschenrechner

Ein weiterer Aspekt von Wallis' mathematischen Fähigkeiten war seine Fähigkeit, mentale Berechnungen durchzuführen. Er schlief schlecht und rechnete oft im Kopf, wenn er wach in seinem Bett lag. Eines Nachts berechnete er in seinem Kopf die Quadratwurzel einer Zahl mit 53 Ziffern. Am Morgen diktierte er die 27-stellige Quadratwurzel der Zahl, noch ganz aus dem Gedächtnis. Es war eine Leistung, die als bemerkenswert galt, und Henry Oldenburg , der Sekretär der Royal Society, schickte einen Kollegen, um zu untersuchen, wie Wallis das gemacht hat. Es wurde als wichtig genug angesehen, um eine Diskussion in den Philosophical Transactions of the Royal Society von 1685 zu verdienen .

Musiktheorie

Wallis ins Lateinische übersetzte Werke von Ptolemäus und Bryennius sowie Porphyrius' Kommentar zu Ptolemäus. Er veröffentlichte auch drei Briefe an Henry Oldenburg bezüglich der Stimmung. Er billigte die gleichschwebende Stimmung , die in Englands Orgeln verwendet wurde.

Andere Arbeiten

Opera Mathematica , 1657

Seine 1687 veröffentlichte Institutio logicae war sehr beliebt. Die Grammatica linguae Anglicanae war ein Werk über die englische Grammatik , das bis weit ins 18. Jahrhundert im Druck blieb. Er veröffentlichte auch über Theologie.

Siehe auch

Fußnoten

Verweise

Externe Links

  • Medien im Zusammenhang mit John Wallis bei Wikimedia Commons