Johannes von Neumann- John von Neumann

John von Neumann
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John von Neumann in den 1940er Jahren
Geboren
Neumann János Lajos

( 1903-12-28 )28. Dezember 1903
Ist gestorben 8. Februar 1957 (1957-02-08)(im Alter von 53)
Staatsbürgerschaft Ungarn
Vereinigte Staaten
Alma Mater Pázmány Péter Universität
ETH Zürich
Universität Göttingen
Bekannt für
+79 weitere
Ehepartner Marietta Kövesi
Klara Dan
Kinder Marina von Neumann Whitman
Auszeichnungen Bôcher Memorial Prize (1938)
Navy Distinguished Civilian Service Award (1946)
Medal for Merit (1946)
Medal of Freedom (1956)
Enrico Fermi Award (1956)
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik , Physik , Statistik , Wirtschaftswissenschaften , Informatik
Institutionen Universität Berlin
Princeton University
Institute for Advanced Study
Los Alamos Laboratory
These Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése (Axiomatische Konstruktion der allgemeinen Mengenlehre)  (1925)
Doktoratsberater Lipót Fejér
Andere Studienberater László Rátz
David Hilbert
Doktoranden Donald B. Gillies
Israel Halperin
Friederich Mautner
Andere bemerkenswerte Studenten Paul Halmos
Clifford Hugh Dowker
Benoit Mandelbrot
Unterschrift
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John von Neumann ( / v ɒ n n ɔɪ m ə n / ; ungarisch : Neumann János Lajos , ausgesprochen  [nɒjmɒn jaːnoʃ lɒjoʃ] ; 28. Dezember 1903 - 8. Februar 1957) war ein ungarisch-amerikanischen Mathematiker , Physiker , Informatiker , Ingenieur und Universalgelehrter . Von Neumann galt allgemein als der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit und galt als „letzter Vertreter der großen Mathematiker“. Er integrierte reine und angewandte Wissenschaften .

Von Neumann leistete wichtige Beiträge zu vielen Gebieten, darunter Mathematik ( Grundlagen der Mathematik , Funktionalanalyse , Ergodentheorie , Gruppentheorie , Darstellungstheorie , Operatoralgebren , Geometrie , Topologie und numerische Analyse ), Physik ( Quantenmechanik , Hydrodynamik und Quantenstatistik). Mechanik ), Ökonomie ( Spieltheorie ), Computer ( Von-Neumann-Architektur , lineare Programmierung , selbstreplizierende Maschinen , stochastisches Rechnen ) und Statistik . Er war ein Pionier der Anwendung der Operatortheorie auf die Quantenmechanik bei der Entwicklung der Funktionsanalyse und eine Schlüsselfigur in der Entwicklung der Spieltheorie und der Konzepte zellulärer Automaten , des universellen Konstruktors und des digitalen Computers .

Von Neumann veröffentlichte in seinem Leben über 150 Aufsätze: etwa 60 in reiner Mathematik, 60 in angewandter Mathematik, 20 in Physik und der Rest über spezielle mathematische oder nichtmathematische Fächer. Sein letztes Werk, ein unvollendetes Manuskript, das während seines Krankenhausaufenthalts geschrieben wurde, wurde später in Buchform als The Computer and the Brain veröffentlicht .

Seine Analyse der Struktur der Selbstreplikation ging der Entdeckung der DNA- Struktur voraus . In einer Auswahlliste mit Fakten über sein Leben, die er der Nationalen Akademie der Wissenschaften vorlegte , schrieb er: "Der Teil meiner Arbeit, den ich für den wesentlichsten halte, ist der über die Quantenmechanik, die 1926 in Göttingen und dann 1927 in Berlin entwickelt wurde. 1929. Auch meine Arbeiten zu verschiedenen Formen der Operatortheorie, Berlin 1930 und Princeton 1935–1939; zum Ergodensatz, Princeton, 1931–1932.“

Während des Zweiten Weltkriegs arbeitete von Neumann am Manhattan-Projekt zusammen mit dem theoretischen Physiker Edward Teller , dem Mathematiker Stanislaw Ulam und anderen an der Lösung von Schlüsselschritten in der Kernphysik, die an thermonuklearen Reaktionen und der Wasserstoffbombe beteiligt sind. Er entwickelte die mathematischen Modelle hinter den Sprenglinsen, die in der Kernwaffe vom Implosionstyp verwendet werden, und prägte den Begriff "Kiloton" (von TNT ) als Maß für die erzeugte Sprengkraft. Nach dem Krieg war er Mitglied des General Advisory Committee der United States Atomic Energy Commission und beriet Organisationen wie die United States Air Force , das Ballistic Research Laboratory der Army , das Armed Forces Special Weapons Project und das Lawrence Livermore National Laboratory . Als ungarischer Emigrant, der besorgt war, dass die Sowjets die nukleare Überlegenheit erlangen würden, entwarf und förderte er die Politik der gegenseitig zugesicherten Zerstörung , um das Wettrüsten zu begrenzen.

Frühes Leben und Ausbildung

Familienhintergrund

Von Neumanns Geburtshaus, Báthory-Straße 16, Budapest. Seit 1968 beherbergt es die John von Neumann Computer Society .

Von Neumann wurde als Neumann János Lajos in eine wohlhabende, kultivierte und nicht aufmerksame jüdische Familie geboren. Im Ungarischen steht der Familienname an erster Stelle, und seine Vornamen entsprechen im Englischen John Louis.

Von Neumann wurde in Budapest , Königreich Ungarn, geboren , das damals Teil der österreichisch-ungarischen Monarchie war . Er war der älteste von drei Brüdern; seine beiden jüngeren Geschwister waren Mihály (englisch: Michael von Neumann; 1907–1989) und Miklós (Nicholas von Neumann, 1911–2011). Sein Vater Neumann Miksa (Max von Neumann, 1873–1928) war Bankier und promovierter Jurist . Er war Ende der 1880er Jahre von Pécs nach Budapest gezogen. Miksas Vater und Großvater wurden beide in Ond (heute Teil der Stadt Szerencs ), Komitat Zemplén , Nordungarn, geboren. Johns Mutter war Kann Margit (Englisch: Margaret Kann); ihre Eltern waren Jakab Kann und Katalin Meisels von der Familie Meisels . Drei Generationen der Familie Kann lebten in geräumigen Wohnungen über den Kann-Heller-Büros in Budapest; Im Dachgeschoss bewohnte die Familie von Neumann eine 18-Zimmer-Wohnung.

Am 20. Februar 1913 erhob Kaiser Franz Joseph seinen Vater für seine Verdienste um die österreichisch-ungarische Monarchie in den ungarischen Adelsstand. Die Familie Neumann erwarb damit die erbliche Appellation Margittai , was „von Margitta“ (heute Marghita , Rumänien ) bedeutet. Die Familie hatte keine Verbindung zur Stadt; die Bezeichnung wurde in Anlehnung an Margarete gewählt, ebenso wie ihr gewähltes Wappen, das drei Margeriten darstellt . Aus Neumann János wurde Margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), die er später in den Deutschen Johann von Neumann änderte.

Wunderkind

Von Neumann war ein Wunderkind . Als er sechs Jahre alt war, konnte er im Kopf zwei achtstellige Zahlen teilen und sich auf Altgriechisch unterhalten . Als der sechsjährige von Neumann seine Mutter dabei erwischte, wie sie ziellos starrte, fragte er sie: "Was rechnest du?".

In jungen Jahren unterrichteten Gouvernanten von Neumann, seine Brüder und seine Cousins. Von Neumanns Vater glaubte, dass die Kenntnis anderer Sprachen als ihrer Muttersprache Ungarisch unerlässlich sei, und so erhielten die Kinder Nachhilfe in Englisch , Französisch , Deutsch und Italienisch . Im Alter von acht Jahren war von Neumann mit Differential- und Integralrechnung vertraut , interessierte sich jedoch besonders für Geschichte. Er las seinen Weg durch Wilhelm Oncken ‚s 46-Volumen Weltgeschichte Serie Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( Allgemeine Geschichte in Monographien ). Ein Exemplar befand sich in einer von Max erworbenen Privatbibliothek. Einer der Räume der Wohnung wurde in eine Bibliothek und einen Lesesaal umgewandelt, mit Bücherregalen von der Decke bis zum Boden.

Von Neumann trat 1914 in das lutherische Fasori Evangélikus Gimnázium ein. Eugene Wigner war an der Lutherischen Schule ein Jahr vor von Neumann und wurde bald sein Freund. Dies war eine der besten Schulen in Budapest und war Teil eines brillanten Bildungssystems für die Elite. Nach dem ungarischen System erhielten die Kinder ihre gesamte Ausbildung in einer einzigen Turnhalle . Das ungarische Schulsystem brachte eine Generation hervor, die für intellektuelle Leistungen bekannt war, darunter Theodore von Kármán (geboren 1881), George de Hevesy (geboren 1885), Michael Polanyi (geboren 1891), Leó Szilárd (geboren 1898), Dennis Gabor (geboren 1900) , Eugene Wigner (geb. 1902), Edward Teller (geb. 1908) und Paul Erdős (geb. 1913). Zusammen wurden sie manchmal als „ Die Marsmenschen “ bezeichnet.

Obwohl von Neumanns Vater darauf bestand, dass von Neumann eine seinem Alter entsprechende Schulstufe besuchte, stimmte er zu, Privatlehrer einzustellen, um von Neumann in den Bereichen, in denen er eine Begabung gezeigt hatte, weiterführenden Unterricht zu geben. Im Alter von 15 Jahren begann er unter dem renommierten Analytiker Gábor Szegő fortgeschrittene Infinitesimalrechnung zu studieren . Bei ihrer ersten Begegnung war Szegő so erstaunt über das mathematische Talent des Jungen, dass er zu Tränen rührte. Einige von Neumanns sofortigen Lösungen für die Probleme, die Szegő in der Infinitesimalrechnung stellte, sind auf dem Briefpapier seines Vaters skizziert und sind noch heute im von Neumann-Archiv in Budapest ausgestellt. Im Alter von 19 Jahren hatte von Neumann zwei bedeutende mathematische Arbeiten veröffentlicht, von denen die zweite die moderne Definition der Ordnungszahlen enthielt , die die Definition von Georg Cantor ablöste. Am Ende seiner Ausbildung am Gymnasium saß von Neumann für und gewann den Eötvös-Preis, einen nationalen Preis für Mathematik.

Universitäts Studien

Laut seinem Freund Theodore von Kármán wollte von Neumanns Vater, dass John ihm in die Industrie folgte und dadurch seine Zeit in ein finanziell nützlicheres Unterfangen als in die Mathematik investierte. Tatsächlich bat sein Vater von Kármán, seinen Sohn davon zu überzeugen, Mathematik nicht als Hauptfach zu studieren. Von Neumann und sein Vater entschieden, dass der beste Karriereweg darin bestand, Chemieingenieur zu werden . Da von Neumann nicht viel Ahnung hatte, wurde ihm ein zweijähriges Chemiestudium ohne Abschluss an der Universität Berlin arrangiert , danach legte er die Aufnahmeprüfung an der renommierten ETH Zürich ab , das er im September 1923 ablegte. Zur gleichen Zeit trat von Neumann auch als Ph.D. an die Pázmány Péter Universität in Budapest ein . Kandidat in Mathematik . Für seine Dissertation wählte er eine Axiomatisierung von Cantors Mengenlehre . 1926 schloss er sein Studium als Chemieingenieur an der ETH Zürich ab (wobei Wigner sagt, dass von Neumann dem Fach Chemie nie sehr zugetan war) und legte die Abschlussprüfung zum Ph.D. ab. in Mathematik zeitgleich mit seinem Chemieingenieur-Studium, über das Wigner schrieb: "Eine Dissertation und eine Prüfung waren offensichtlich kein nennenswerter Aufwand." Anschließend ging er mit einem Stipendium der Rockefeller Foundation an die Universität Göttingen , um bei David Hilbert Mathematik zu studieren .

Frühe Karriere und Privatleben

Auszug aus den Universitätskalendern 1928 und 1928/29 der Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin , in denen Neumanns Vorlesungen über axiomatische Mengenlehre und mathematische Logik, neue Arbeiten zur Quantenmechanik und spezielle Funktionen der mathematischen Physik angekündigt werden.

Von Neumann habilitierte sich am 13. Dezember 1927, 1928 begann er als Privatdozent an der Universität Berlin zu lehren. Er war der jüngste jemals gewählte Privatdozent in der Geschichte der Universität in einem Fach. Bis Ende 1927 veröffentlichte von Neumann 12 Hauptarbeiten in Mathematik und bis Ende 1929 32, eine Rate von fast einer Hauptarbeit pro Monat. Seine Erinnerungsfähigkeit ermöglichte es ihm, sich die Seiten von Telefonbüchern schnell zu merken und die darin enthaltenen Namen, Adressen und Nummern zu rezitieren. 1929 wurde er kurzzeitig Privatdozent an der Universität Hamburg , wo die Aussichten auf eine ordentliche Professur besser waren, doch im Oktober desselben Jahres bot sich ein besseres Angebot, als er an die Princeton University eingeladen wurde .

Am Neujahrstag 1930 heiratete von Neumann Marietta Kövesi, die an der Universität Budapest Wirtschaftswissenschaften studiert hatte. Von Neumann und Marietta hatten ein Kind, eine Tochter, Marina , geboren 1935. Marina ist seit 2021 eine angesehene emeritierte Professorin für Betriebswirtschaftslehre und öffentliche Ordnung an der University of Michigan . Das Paar ließ sich 1937 scheiden. Im Oktober 1938 heiratete von Neumann Klara Dan , die er auf seinen letzten Reisen nach Budapest vor Ausbruch des Zweiten Weltkriegs kennengelernt hatte .

1930, bevor er Marietta heiratete, wurde von Neumann in die katholische Kirche getauft . Von Neumanns Vater Max war 1929 gestorben. Keiner der Familie war zu Lebzeiten von Max zum Christentum übergetreten, aber alle taten es danach.

1933 wurde ihm eine lebenslange Professur am Institute for Advanced Study in New Jersey angeboten, als der Plan dieser Institution, Hermann Weyl zu berufen, scheiterte. Dort blieb er bis zu seinem Tod als Mathematikprofessor, obwohl er angekündigt hatte, zurückzutreten und Professor an der University of California in Los Angeles zu werden . Seine Mutter, Brüder und Schwiegereltern folgten von Neumann 1939 in die Vereinigten Staaten. Von Neumann änderte seinen Vornamen zu John und behielt den deutsch-aristokratischen Nachnamen von Neumann bei. Seine Brüder wechselten zu "Neumann" und "Vonneumann". Von Neumann wurde 1937 eingebürgerter Staatsbürger der Vereinigten Staaten und versuchte sofort, Leutnant im Offiziers-Reservekorps der US-Armee zu werden . Er bestand die Prüfungen problemlos, wurde aber wegen seines Alters abgelehnt. Seine Vorkriegsanalyse, wie sich Frankreich gegen Deutschland behaupten würde, wird oft zitiert: "Oh, Frankreich spielt keine Rolle."

Klara und John von Neumann engagierten sich sozial in der lokalen akademischen Gemeinschaft. Sein weißes Schindelhaus in der Westcott Road 26 war eines der größten Privathäuser von Princeton. Er trug immer formelle Anzüge. Einmal trug er einen dreiteiligen Nadelstreifen, als er auf einem Maultier den Grand Canyon hinunterritt . Hilbert soll gefragt haben: "Beten Sie, wer ist der Schneider des Kandidaten?" bei der Doktorprüfung 1926 von Neumann, da er noch nie so schöne Abendkleider gesehen hatte.

Von Neumann hatte eine lebenslange Leidenschaft für die alte Geschichte und war für sein historisches Wissen bekannt. Ein Professor für byzantinische Geschichte in Princeton sagte einmal, dass von Neumann mehr Sachkenntnis in der byzantinischen Geschichte habe als er.

Von Neumann aß und trank gern; seine Frau Klara sagte, er könne alles außer Kalorien zählen. Er genoss jiddischen und "off-color" -Humor (insbesondere Limericks ). Er war Nichtraucher. In Princeton erhielt er Beschwerden, weil er regelmäßig extrem laute deutsche Marschmusik auf seinem Phonographen spielte , die die in benachbarten Büros, darunter Albert Einstein , von ihrer Arbeit ablenkte . Von Neumann leistete in lauter, chaotischer Umgebung einige seiner besten Arbeiten und ermahnte einmal seine Frau, dass sie ein ruhiges Arbeitszimmer für ihn vorbereitet hatte. Er benutzte es nie und zog es vor, das Wohnzimmer des Paares mit lautem Fernseher zu nutzen. Obwohl er ein notorisch schlechter Fahrer war, genoss er das Autofahren – häufig beim Lesen eines Buches – und es kam zu zahlreichen Verhaftungen und Unfällen. Als Cuthbert Hurd ihn als Berater für IBM anheuerte , zahlte Hurd oft im Stillen die Strafen für seine Strafzettel.

Von Neumanns engster Freund in den USA war der Mathematiker Stanislaw Ulam . Ein späterer Freund von Ulam, Gian-Carlo Rota , schrieb: "Sie verbrachten Stunden damit, zu klatschen und zu kichern, jüdische Witze auszutauschen und sich in mathematisches Gerede ein- und auszuschalten." Als von Neumann im Krankenhaus im Sterben lag, brachte er jedes Mal, wenn Ulam ihn besuchte, eine neue Sammlung von Witzen, um ihn aufzuheitern. Von Neumann glaubte, dass ein Großteil seines mathematischen Denkens intuitiv geschah; er schlief oft mit einem ungelösten Problem ein und wusste die Antwort beim Aufwachen. Ulam bemerkte, dass von Neumanns Denkweise möglicherweise nicht visuell, sondern eher akustisch ist.

Mathematik

Mengenlehre

Geschichte der Ansätze, die zur NBG-Mengentheorie führten

Die Axiomatisierung der Mathematik, der auf dem Modell von Euklid ‚s Elements , hatte am Ende des 19. Jahrhunderts eines neues Maß an Strenge und Breite erreicht, vor allem in der Arithmetik, dank das Axiom - Schema von Richard Dedekind und Charles Sanders Peirce , und in der Geometrie , dank Hilberts Axiomen . Doch zu Beginn des 20. Jahrhunderts erlitten die Bemühungen, die Mathematik auf die naive Mengenlehre zu stützen, einen Rückschlag aufgrund des Russellschen Paradoxons (auf die Menge aller Mengen, die nicht ihr selbst gehören). Das Problem einer adäquaten Axiomatisierung der Mengenlehre wurde etwa zwanzig Jahre später implizit von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel gelöst . Die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie lieferte eine Reihe von Prinzipien, die die Konstruktion der in der alltäglichen mathematischen Praxis verwendeten Mengen ermöglichten, aber die Möglichkeit der Existenz einer ihr gehörenden Menge nicht explizit ausschloss. In seiner Dissertation von 1925 demonstrierte von Neumann zwei Techniken, um solche Mengen auszuschließen – das Gründungsaxiom und den Klassenbegriff .

Das Gründungsaxiom schlug vor, dass jede Menge von unten nach oben in einer geordneten Abfolge von Schritten nach den Prinzipien von Zermelo und Fraenkel aufgebaut werden kann. Wenn eine Menge zu einer anderen gehört, muss die erste in der Folge notwendigerweise vor der zweiten stehen. Dies schließt die Möglichkeit aus, dass ein Set zu sich selbst gehört. Um zu zeigen, dass die Hinzufügung dieses neuen Axioms zu den anderen keine Widersprüche hervorbrachte, führte von Neumann eine Demonstrationsmethode ein, die als Methode der inneren Modelle bezeichnet wird und zu einem wesentlichen Instrument der Mengenlehre wurde.

Der zweite Ansatz für das Problem der zu sich gehörenden Mengen basiert auf dem Begriff der Klasse und definiert eine Menge als eine Klasse, die zu anderen Klassen gehört, während eine echte Klasse als eine Klasse definiert ist, die nicht zu anderen Klassen gehört. Beim Zermelo-Fraenkel-Ansatz verhindern die Axiome die Konstruktion einer Menge aller Mengen, die nicht zu sich selbst gehören. Im Gegensatz dazu kann nach von Neumanns Ansatz die Klasse aller Mengen konstruiert werden, die nicht zu sich selbst gehören, aber es ist eine echte Klasse , keine Menge.

Insgesamt war von Neumanns größte Leistung in der Mengenlehre eine „Axiomatisierung der Mengenlehre und (damit verbunden) elegante Theorie der Ordnungs- und Kardinalzahlen sowie die erste strikte Formulierung von Definitionsprinzipien durch die transfinite Induktion “.

Von Neumann-Paradoxon

Aufbauend auf der Arbeit von Felix Hausdorff , im Jahr 1924 Stefan Banach und Alfred Tarski bewiesen , dass ein solide gegebenen Ball in 3-dimensionalem Raum, gibt es eine Zerlegung des Balls in eine endliche Anzahl von disjunkten Teilmengen , die zusammen in einer anderen Art und Weise zusammengesetzt werden können um zwei identische Kopien der ursprünglichen Kugel zu erhalten. Banach und Tarski bewiesen, dass das Ergebnis des Zerlegens und Wiederzusammensetzens einer zweidimensionalen Figur unter Verwendung isometrischer Transformationen notwendigerweise die gleiche Fläche wie das Original haben würde. Dies würde es unmöglich machen, zwei Einheitsquadrate aus einem zu erstellen. Aber in einer Arbeit von 1929 bewies von Neumann, dass paradoxe Zerlegungen eine Gruppe von Transformationen verwenden können, die als Untergruppe eine freie Gruppe mit zwei Generatoren enthalten. Die Gruppe der flächenerhaltenden Transformationen enthält solche Untergruppen, was die Möglichkeit eröffnet, mit diesen Untergruppen paradoxe Zerlegungen durchzuführen. Die Klasse von Gruppen, die von Neumann in seiner Arbeit über Banach-Tarski-Zerlegungen isolierte, war in vielen Bereichen der Mathematik sehr wichtig, einschließlich von Neumanns eigener späterer Arbeit in der Maßtheorie (siehe unten).

Beweistheorie

Das axiomatische System der Mengenlehre vermied mit den oben erwähnten Beiträgen von Neumann zu Mengen die Widersprüche früherer Systeme und wurde trotz fehlendem Konsistenzbeweis als Grundlage für die Mathematik nutzbar . Die nächste Frage war, ob sie definitive Antworten auf alle mathematischen Fragen lieferte, die in ihr gestellt werden konnten, oder ob sie durch das Hinzufügen stärkerer Axiome verbessert werden könnte, die zum Beweis einer breiteren Klasse von Theoremen verwendet werden könnten.

Aufbauend auf der Arbeit von Ackermann begann von Neumann zu versuchen, die Konsistenz der Arithmetik erster Ordnung zu beweisen (unter Verwendung der finistischen Methoden der Hilbertschen Schule ) . Es gelang ihm, die Konsistenz eines Bruchstücks der Arithmetik natürlicher Zahlen (durch Induktionsbeschränkungen) zu beweisen. Er suchte weiter nach einem allgemeineren Beweis für die Konsistenz der klassischen Mathematik mit Methoden der Beweistheorie .

Eine stark verneinende Antwort darauf, ob es endgültig sei, kam im September 1930 auf der historischen Zweiten Konferenz zur Erkenntnistheorie der exakten Wissenschaften in Königsberg , in der Kurt Gödel seinen ersten Satz der Unvollständigkeit verkündete : Die üblichen axiomatischen Systeme sind unvollständig in dem Sinne, dass sie können nicht jede in ihrer Sprache ausdrückbare Wahrheit beweisen. Außerdem bleibt jede konsequente Erweiterung dieser Systeme notwendigerweise unvollständig.

Weniger als einen Monat später teilte von Neumann, der an der Konferenz teilgenommen hatte, Gödel eine interessante Konsequenz seines Theorems mit: dass die üblichen axiomatischen Systeme ihre eigene Konsistenz nicht beweisen können. Gödel hatte diese Konsequenz, die heute als sein zweiter Unvollständigkeitssatz bekannt ist , bereits entdeckt und von Neumann einen Vorabdruck seines Artikels mit beiden Sätzen geschickt. Von Neumann räumte Gödels Priorität in seinem nächsten Brief ein. Er hielt nie viel von "dem amerikanischen System, das persönliche Priorität für alles beansprucht". Allerdings unterschied sich von Neumanns Beweismethode von Gödels Beweismethode, da er Polynome verwendete, um die Konsistenz zu erklären. Mit dieser Entdeckung stellte von Neumann seine Arbeit in mathematischer Logik und Grundlagen der Mathematik ein und widmete sich stattdessen Problemen im Zusammenhang mit Anwendungen.

Ergodische Theorie

In einer Reihe von 1932 veröffentlichten Artikeln leistete von Neumann grundlegende Beiträge zur Ergodentheorie , einem Zweig der Mathematik, der die Zustände dynamischer Systeme mit einem invarianten Maß umfasst . Von den Arbeiten von 1932 zur Ergodentheorie schrieb Paul Halmos , dass selbst wenn von Neumann nie etwas anderes getan hätte, sie ausgereicht hätten, um ihm mathematische Unsterblichkeit zu garantieren. Zu diesem Zeitpunkt hatte von Neumann bereits seine Artikel über die Operatorentheorie geschrieben , und die Anwendung dieser Arbeit war maßgeblich am von Neumanns mittleren Ergodensatzes beteiligt .

Theorie messen

In der Maßtheorie kann das "Maßproblem" für einen n- dimensionalen euklidischen Raum R n formuliert werden als: "Gibt es eine positive, normalisierte, invariante und additive Mengenfunktion auf die Klasse aller Teilmengen von R n ?" Die Arbeit von Felix Hausdorff und Stefan Banach hatte impliziert, dass das Maßproblem eine positive Lösung hat, wenn n = 1 oder n = 2 ist, und eine negative Lösung (wegen des Banach-Tarski-Paradoxons ) in allen anderen Fällen. Von Neumanns Arbeit argumentierte, dass das "Problem im Wesentlichen gruppentheoretischen Charakter hat": Die Existenz eines Maßes könnte durch Betrachtung der Eigenschaften der Transformationsgruppe des gegebenen Raums bestimmt werden. Die positive Lösung für Räume der Dimension höchstens zwei und die negative Lösung für höhere Dimensionen kommt daher, dass die euklidische Gruppe eine auflösbare Gruppe für die Dimension höchstens zwei und für höhere Dimensionen nicht auflösbar ist. "Daher macht laut von Neumann der Gruppenwechsel den Unterschied, nicht der Raumwechsel."

In einer Reihe von Arbeiten von Neumann werden die von ihm verwendeten Argumentationsmethoden als noch bedeutsamer angesehen als die Ergebnisse. Im Vorgriff auf sein späteres Studium der Dimensionstheorie in Algebren von Operatoren verwendete von Neumann Ergebnisse zur Äquivalenz durch endliche Zerlegung und formulierte das Problem des Maßes in Form von Funktionen neu. Ein wichtiger Beitrag von Neumann zur Maßtheorie war das Ergebnis eines Aufsatzes, der geschrieben wurde, um eine Frage von Haar zu beantworten, ob es eine Algebra aller beschränkten Funktionen auf der reellen Zahlengeraden gibt, so dass sie "ein vollständiges System von Repräsentanten der Klassen" bilden von fast überall gleichen messbaren beschränkten Funktionen". Er bewies dies positiv und diskutierte in späteren Arbeiten mit Stone verschiedene Verallgemeinerungen und algebraische Aspekte dieses Problems. Er bewies auch mit neuen Methoden die Existenz von Desintegrationen für verschiedene allgemeine Arten von Maßnahmen. Einen neuen Beweis für die Eindeutigkeit von Haar-Maßnahmen lieferte von Neumann auch mit Hilfe der Mittelwerte von Funktionen, obwohl diese Methode nur für kompakte Gruppen funktionierte . Er musste völlig neue Techniken entwickeln, um dies auf lokal kompakte Gruppen anzuwenden . Er gab auch einen neuen Beweis für das Radon-Nikodym-Theorem . Seine Vorlesungsnotizen zur Maßtheorie am Institute for Advanced Study waren damals eine wichtige Quelle für Wissen auf diesem Gebiet in Amerika und wurden später veröffentlicht.

Topologische Gruppen

Unter Verwendung seiner früheren Arbeiten zur Maßtheorie leistete von Neumann mehrere Beiträge zur Theorie topologischer Gruppen , beginnend mit einer Arbeit über fast periodische Funktionen auf Gruppen, in der von Neumann Bohrs Theorie fast periodischer Funktionen auf beliebige Gruppen ausdehnte . Er setzte diese Arbeit mit einer weiteren Arbeit in Zusammenarbeit mit Bochner fort , die die Theorie der Fast-Periodizität verbesserte, um Funktionen einzubeziehen , die Elemente linearer Räume als Werte und nicht als Zahlen annahmen. 1938 erhielt er den Bôcher-Gedächtnispreis für seine analytische Arbeit in Bezug auf diese Arbeiten.

In einer Arbeit von 1933 verwendete er das neu entdeckte Haar-Maß bei der Lösung von Hilberts fünften Problem für den Fall kompakter Gruppen. Die grundlegende Idee dahinter war einige Jahre zuvor entdeckt , als von Neumann ein Papier auf den analytischen Eigenschaften von Gruppen von linearen Transformationen veröffentlicht und festgestellt , dass geschlossene Untergruppen einer allgemeinen linearen Gruppe sind Lie - Gruppen . Dies wurde später von Cartan in Form des Satzes der geschlossenen Untergruppen auf beliebige Lie-Gruppen erweitert .

Funktionsanalyse

Von Neumann war der erste, der formal und axiomatisch einen „abstrakten“ Hilbert-Raum konzipierte . Er wurde als komplexer Vektorraum mit einem hermiteschen Skalarprodukt definiert , wobei die entsprechende Norm sowohl separierbar als auch vollständig ist. Die Entwicklung der Spektraltheorie der Operatoren im Hilbertraum führte er in 3 bahnbrechenden Arbeiten zwischen 1929 und 1932 fort. Zwanzig Jahre lang galt von Neumann als „unumstrittener Meister“ dieses Gebietes. Diese Entwicklungen wurden hauptsächlich durch Bedürfnisse in der Quantenmechanik ausgelöst, wo von Neumann die Notwendigkeit erkannte, die Spektraltheorie hermitescher Operatoren vom beschränkten auf den unbeschränkten Fall zu erweitern. Andere wichtige Errungenschaften in diesen Papieren sind eine vollständige Erläuterung der Spektraltheorie für Normaloperatoren, eine Verallgemeinerung von Riesz ' Darstellung der damaligen Spektraltheoreme von Hilbert und die Entdeckung hermitescher Operatoren in einem Hilbert-Raum, im Unterschied zu selbst- adjungierte Operatoren , die es ihm ermöglichten, alle hermiteschen Operatoren zu beschreiben, die einen gegebenen hermiteschen Operator erweitern. Darüber hinaus schrieb er einen Artikel, in dem er darlegte, wie die damals in der Spektraltheorie übliche Verwendung unendlicher Matrizen als Darstellung für hermitesche Operatoren unzureichend war. Seine Arbeiten zur Operatortheorie führten zu seiner tiefgreifendsten Erfindung in der reinen Mathematik, dem Studium der von Neumann-Algebren und allgemein der Operatoralgebren .

In anderen Arbeiten in der Funktionalanalysis war von Neumann auch der erste Mathematiker, der neue topologische Ideen von Hausdorff auf Hilberträume anwendete . Er gab auch die erste allgemeine Definition von lokal konvexen Räumen . Seine späteren Arbeiten über Ringe von Operatoren führten dazu, dass er seine früheren Arbeiten zur Spektraltheorie erneut aufgriff und eine neue Art der Durcharbeitung des geometrischen Inhalts der Spektraltheorie durch die Verwendung direkter Integrale von Hilbert-Räumen bereitstellte.

Operatoralgebren

Von Neumann begründete das Studium der Ringe von Operatoren durch die von Neumann-Algebren . Eine von Neumann-Algebra ist eine *-Algebra von beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum , die in der schwachen Operatortopologie abgeschlossen ist und den Identitätsoperator enthält . Das bikommutante Theorem von Neumann zeigt, dass die analytische Definition einer rein algebraischen Definition als gleich der Bikommutante äquivalent ist. Nachdem er das Studium des kommutativen Algebra-Falls aufgeklärt hatte , begann von Neumann 1936, unter teilweiser Mitarbeit von FJ Murray , den nicht- kommutativen Fall, das allgemeine Studium der Faktorenklassifikation der von-Neumann-Algebren. Die sechs Hauptarbeiten, in denen er diese Theorie zwischen 1936 und 1940 entwickelte, "zählen zu den Meisterwerken der Analyse des 20. Jahrhunderts". Das direkte Integral wurde später 1949 von John von Neumann für seine Arbeiten zur Operatortheorie eingeführt. Seine Arbeit hier führt zu den nächsten beiden großen Themen.

Geometrie

Von Neumann begründete das Gebiet der kontinuierlichen Geometrie . Es folgte seiner bahnbrechenden Arbeit an Ringen von Operatoren. In der Mathematik ist die kontinuierliche Geometrie ein Ersatz für die komplexe projektive Geometrie , bei der die Dimension eines Unterraums nicht in einer diskreten Menge 0, 1, ..., n liegt , sondern ein Element des Einheitsintervalls [0,1] sein kann. . Zuvor hatten Menger und Birkhoff die komplexe projektive Geometrie im Hinblick auf die Eigenschaften ihres Gitters aus linearen Unterräumen axiomatisiert. Von Neumann schwächte nach seiner Arbeit über Ringe von Operatoren diese Axiome ab, um eine breitere Klasse von Gittern, die stetigen Geometrien, zu beschreiben. Während die Dimensionen der Unterräume projektiver Geometrien eine diskrete Menge sind (die nicht-negativen ganzen Zahlen), können sich die Dimensionen der Elemente einer kontinuierlichen Geometrie kontinuierlich über das Einheitsintervall [0,1] erstrecken. Von Neumann wurde durch seine Entdeckung von von Neumann-Algebren mit einer Dimensionsfunktion motiviert, die einen kontinuierlichen Dimensionsbereich annimmt, und das erste Beispiel einer kontinuierlichen Geometrie außer dem projektiven Raum waren die Projektionen des hyperfiniten Typ-II-Faktors .

Gittertheorie

Zwischen 1937 und 1939 arbeitete von Neumann an der Gittertheorie , der Theorie der teilgeordneten Mengen, bei der alle zwei Elemente eine größte untere und eine kleinste obere Schranke haben. Garrett Birkhoff schreibt: „John von Neumanns brillanter Geist blitzte wie ein Meteor über die Gittertheorie“.

Von Neumann bot eine abstrakte Erforschung der Dimension abgeschlossen ergänzte modular topologischen Gitter (Eigenschaften , die in den entstehen Gittern von Unterräumen von Prähilbertraum ): „Dimension bestimmt wird, bis zu einer positiven linearen Transformation, die durch die folgenden zwei Eigenschaften Es konserviert ist. durch perspektivische Abbildungen ("Perspektivitäten") und geordnet nach Inklusion. Der tiefste Teil des Beweises betrifft die Äquivalenz von Perspektivität mit "Projektivität durch Zerlegung" - von der eine logische Folge die Transitivität der Perspektivität ist."

Außerdem hat "[I]n der allgemeine Fall von Neumann den folgenden grundlegenden Darstellungssatz bewiesen. Jedes komplementierte modulare Gitter L mit einer "Basis" von n ≥ 4 paarweisen perspektivischen Elementen ist isomorph mit dem Gitter ℛ( R ) aller Prinzipale Rechtsideale eines passenden regelmäßigen Rings R. Diese Schlussfolgerung ist der Höhepunkt von 140 Seiten brillanter und prägnanter Algebra mit völlig neuartigen Axiomen. Wer sich einen unvergesslichen Eindruck von der Rasiermesserschneide von von Neumanns Gedanken machen möchte, muss es nur versuchen Kette der genauen Argumentation für sich selbst - er merkte, dass oft fünf Seiten davon vor dem Frühstück niedergeschrieben wurden, im Bademantel am Schreibtisch im Wohnzimmer sitzend.

Mathematische Formulierung der Quantenmechanik

Von Neumann war der erste , der in seinem Werk Mathematical Foundations of Quantum Mechanics von 1932 einen strengen mathematischen Rahmen für die Quantenmechanik , bekannt als die Dirac-von-Neumann-Axiome , etablierte . Nachdem er die Axiomatisierung der Mengenlehre abgeschlossen hatte, begann er sich mit der Axiomatisierung der Quantenmechanik auseinanderzusetzen. Er erkannte 1926, dass ein Zustand eines Quantensystems durch einen Punkt in einem (komplexen) Hilbert-Raum dargestellt werden kann, der im Allgemeinen sogar für ein einzelnes Teilchen unendlichdimensional sein kann. In diesem Formalismus der Quantenmechanik werden beobachtbare Größen wie Ort oder Impuls als lineare Operatoren dargestellt, die auf den zum Quantensystem gehörenden Hilbertraum wirken.

Die Physik der Quantenmechanik wurde dabei auf die Mathematik von Hilberträumen und darauf wirkenden linearen Operatoren reduziert . Beispielsweise wird die Unschärferelation , nach der die Ortsbestimmung eines Teilchens die Bestimmung seines Impulses verhindert und umgekehrt, in die Nichtkommutativität der beiden entsprechenden Operatoren übersetzt. Diese neue mathematische Formulierung umfasste als Sonderfälle die Formulierungen sowohl von Heisenberg als auch von Schrödinger. Als Heisenberg erfuhr, dass von Neumann den Unterschied zwischen einem unbeschränkten Operator, der ein selbstadjungierter Operator ist, und einem, der nur symmetrisch ist, geklärt hatte , antwortete Heisenberg: "Äh? Was ist der Unterschied?"

Von Neumanns abstrakte Behandlung ermöglichte es ihm, sich auch der grundlegenden Frage des Determinismus gegenüber dem Nicht-Determinismus zu stellen, und in dem Buch präsentierte er einen Beweis dafür, dass die statistischen Ergebnisse der Quantenmechanik unmöglich Durchschnitte einer zugrunde liegenden Menge von bestimmten "verborgenen Variablen" sein können. wie in der klassischen statistischen Mechanik. 1935 veröffentlichte Grete Hermann ein Papier, in dem sie argumentierte, dass der Beweis einen konzeptionellen Fehler enthalte und daher ungültig sei. Hermanns wurde Arbeit weitgehend ignoriert , bis nach John S. Bell machte im wesentlichen das gleiche Argument in 1966. Im Jahr 2010 Jeffrey Bub argumentiert , dass Glocke von Neumanns Beweis falsch verstanden hatte, und wies darauf hin , dass der Beweis, wenn auch nicht gültig für alle versteckten variablen Theorien , tut eine wohldefinierte und wichtige Teilmenge ausschließen. Bub weist auch darauf hin, dass von Neumann sich dieser Einschränkung bewusst war und nicht behauptete, dass sein Beweis versteckte Variablentheorien vollständig ausschloss. Die Gültigkeit von Bubs Argument ist wiederum umstritten. Auf jeden Fall füllt der Satz von Gleason von 1957 die Lücken in von Neumanns Ansatz.

Von Neumanns Beweis leitete eine Forschungslinie ein, die schließlich durch Bells Theorem und die Experimente von Alain Aspect 1982 zu dem Nachweis führte, dass die Quantenphysik entweder eine Vorstellung von Realität erfordert, die sich wesentlich von der der klassischen Physik unterscheidet, oder Nichtlokalität in scheinbare einschließen muss Verletzung der speziellen Relativitätstheorie.

In einem Kapitel von The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics hat von Neumann das sogenannte Messproblem eingehend analysiert . Er kam zu dem Schluss, dass das gesamte physikalische Universum der universellen Wellenfunktion unterworfen werden könnte . Da etwas "außerhalb der Berechnung" erforderlich war, um die Wellenfunktion zu kollabieren, schloss von Neumann, dass der Kollaps durch das Bewusstsein des Experimentators verursacht wurde. Er argumentierte, dass es die Mathematik der Quantenmechanik erlaubt, den Kollaps der Wellenfunktion an jede beliebige Stelle in der Kausalkette vom Messgerät bis zum „subjektiven Bewusstsein“ des menschlichen Beobachters zu setzen. Obwohl diese Ansicht von Eugene Wigner akzeptiert wurde, hat sich die Von Neumann-Wigner-Interpretation bei der Mehrheit der Physiker nie durchgesetzt. Die Von Neumann-Wigner-Interpretation wurde wie folgt zusammengefasst:

Die Regeln der Quantenmechanik sind richtig, aber es gibt nur ein System, das mit der Quantenmechanik behandelt werden kann, nämlich die gesamte materielle Welt. Es gibt externe Beobachter, die innerhalb der Quantenmechanik nicht behandelt werden können, nämlich der menschliche (und vielleicht tierische) Geist , der Messungen am Gehirn durchführt und den Zusammenbruch der Wellenfunktion verursacht.

Obwohl sich die Theorien der Quantenmechanik ständig weiterentwickeln, gibt es einen grundlegenden Rahmen für den mathematischen Formalismus von Problemen in der Quantenmechanik, der den meisten Ansätzen zugrunde liegt, der auf die mathematischen Formalismen und Techniken zurückgeführt werden kann, die zuerst von Neumann verwendet wurden. Mit anderen Worten, Diskussionen über die Interpretation der Theorie und deren Erweiterungen werden heute meist auf der Grundlage gemeinsamer Annahmen über die mathematischen Grundlagen geführt.

Von Neumann-Entropie

Von Neumann-Entropie wird in verschiedenen Formen ( bedingte Entropie , relative Entropie usw.) im Rahmen der Quanteninformationstheorie ausgiebig verwendet . Verschränkungsmaße basieren auf einer Größe, die direkt mit der von-Neumann-Entropie in Beziehung steht. Ein gegebenes statistisches Ensemble quantenmechanischer Systeme mit der Dichtematrix ist gegeben durch Viele der gleichen Entropiemaße in der klassischen Informationstheorie können auch auf den Quantenfall verallgemeinert werden, wie die Holevo-Entropie und die bedingte Quantenentropie .

Quantengegenseitige Information

Die Quanteninformationstheorie beschäftigt sich hauptsächlich mit der Interpretation und Verwendung der von-Neumann-Entropie. Die von Neumann-Entropie ist der Eckpfeiler in der Entwicklung der Quanteninformationstheorie, während die Shannon-Entropie für die klassische Informationstheorie gilt. Dies wird als historische Anomalie angesehen, da man erwarten könnte, dass die Shannon-Entropie vor der Von-Neumann-Entropie entdeckt wird, da letztere weit verbreiteter auf die Quanteninformationstheorie angewendet wird. Aber von Neumann entdeckte zuerst die von-Neumann-Entropie und wandte sie auf Fragen der statistischen Physik an. Jahrzehnte später entwickelte Shannon eine informationstheoretische Formel zur Verwendung in der klassischen Informationstheorie und fragte von Neumann, wie man sie nennen soll. Von Neumann sagte, man soll es Shannon-Entropie nennen, da es ein Sonderfall der von-Neumann-Entropie war.

Dichtematrix

Der Formalismus von Dichteoperatoren und Matrizen wurde 1927 von Neumann und unabhängig, aber weniger systematisch von Lev Landau und Felix Bloch 1927 bzw. 1946 eingeführt. Die Dichtematrix ist eine alternative Möglichkeit, den Zustand eines Quantensystems darzustellen, der ansonsten mit der Wellenfunktion dargestellt werden könnte. Die Dichtematrix ermöglicht die Lösung bestimmter zeitabhängiger Probleme der Quantenmechanik.

Von Neumann-Messschema

Das von Neumann-Messschema , der Urahn der Quanten- Dekohärenz- Theorie, stellt Messungen projektiv unter Berücksichtigung der Messapparatur dar, die auch als Quantenobjekt behandelt wird. Das von Neumann eingeführte Schema der "projektiven Messung" führte zur Entwicklung von Quanten-Dekohärenz-Theorien.

Quantenlogik

Von Neumann schlug erstmals eine Quantenlogik in seiner Abhandlung Mathematical Foundations of Quantum Mechanics von 1932 vor , in der er feststellte, dass Projektionen auf einen Hilbert-Raum als Aussagen über physikalische Observablen angesehen werden können. Das Gebiet der Quantenlogik wurde anschließend in einer berühmten Veröffentlichung von 1936 von Neumann und Garrett Birkhoff eröffnet, der ersten Arbeit, die jemals die Quantenlogik einführte, in der von Neumann und Birkhoff erstmals bewiesen, dass die Quantenmechanik einen Aussagenkalkül erfordert , der sich wesentlich von allen klassischen unterscheidet Logik und isolierten rigoros eine neue algebraische Struktur für die Quantenlogik. Das Konzept der Erstellung eines Aussagenkalküls für die Quantenlogik wurde erstmals in einem kurzen Abschnitt in von Neumanns Arbeit von 1932 skizziert, aber 1936 wurde die Notwendigkeit des neuen Aussagenkalküls durch mehrere Beweise demonstriert. Zum Beispiel können Photonen nicht zwei aufeinander folgende Filter passieren, die senkrecht ( zB horizontal und vertikal) polarisiert sind , und daher können sie erst recht nicht passieren, wenn ein dritter diagonal polarisierter Filter zu den anderen beiden hinzugefügt wird, entweder vor oder nach ihnen in nacheinander, aber wenn der dritte Filter zwischen den beiden anderen hinzugefügt wird , werden die Photonen tatsächlich durchgelassen. Diese experimentelle Tatsache lässt sich als Nicht-Kommutativität der Konjunktion in die Logik übersetzen . Es wurde auch gezeigt, dass die Verteilungsgesetze der klassischen Logik und , für die Quantentheorie nicht gültig sind.

Der Grund dafür ist, dass eine Quantendisjunktion im Gegensatz zur klassischen Disjunktion auch dann wahr sein kann, wenn beide Disjunkten falsch sind und dies wiederum darauf zurückzuführen ist, dass in der Quantenmechanik häufig ein Paar von Alternativen sind semantisch bestimmt, während jedes ihrer Mitglieder notwendigerweise unbestimmt ist. Diese letztere Eigenschaft kann durch ein einfaches Beispiel veranschaulicht werden. Angenommen, wir haben es mit Teilchen (z. B. Elektronen) mit halbintegralem Spin (Spindrehimpuls) zu tun, für die es nur zwei mögliche Werte gibt: positiv oder negativ. Dann stellt ein Unbestimmtheitsprinzip fest, dass der Spin relativ zu zwei verschiedenen Richtungen (zB x und y ) zu einem Paar inkompatibler Größen führt. Angenommen, der Zustand ɸ eines bestimmten Elektrons bestätigt die Aussage "der Spin des Elektrons in x- Richtung ist positiv". Nach dem Unbestimmtheitsprinzip ist der Wert des Spins in Richtung y für ɸ völlig unbestimmt . Somit kann ɸ weder den Satz „der Spin in Richtung von y ist positiv“ noch den Satz „der Spin in Richtung von y ist negativ“ verifizieren . Trotzdem muss für ɸ die Disjunktion der Sätze "der Spin in Richtung von y ist positiv oder der Spin in Richtung von y ist negativ" gelten . Bei der Verteilung kann es daher vorkommen, dass , während .

Wie Hilary Putnam schreibt, ersetzte von Neumann die klassische Logik durch eine Logik, die in orthomodularen Gittern aufgebaut ist (isomorph zum Gitter der Unterräume des Hilbert-Raums eines gegebenen physikalischen Systems).

Spieltheorie

Von Neumann begründete die Spieltheorie als mathematische Disziplin. Sein Minimax-Theorem bewies er 1928. Es stellt fest, dass es in Nullsummenspielen mit perfekter Information (dh bei denen die Spieler zu jedem Zeitpunkt alle bisher stattgefundenen Züge kennen) für beide Spieler ein Strategiepaar gibt , das es ermöglicht jeder, um seine maximalen Verluste zu minimieren. Bei der Untersuchung jeder möglichen Strategie muss ein Spieler alle möglichen Reaktionen seines Gegners berücksichtigen. Der Spieler spielt dann die Strategie aus, die zur Minimierung seines maximalen Verlustes führt.

Solche Strategien, die den maximalen Verlust für jeden Spieler minimieren, werden als optimal bezeichnet. Von Neumann zeigte, dass ihre Minimaxe gleich (im absoluten Wert) und gegensätzlich (im Vorzeichen) sind. Er verbesserte und erweiterte das Minimax-Theorem, um Spiele mit unvollkommener Information und Spiele mit mehr als zwei Spielern einzuschließen, und veröffentlichte dieses Ergebnis in seiner 1944 zusammen mit Oskar Morgenstern verfassten Theory of Games and Economic Behavior . Morgenstern schrieb einen Aufsatz über Spieltheorie und dachte, er würde ihn von Neumann wegen seines Interesses an diesem Thema zeigen. Er las es und sagte zu Morgenstern, er solle mehr hineinstecken. Dies wurde ein paar Mal wiederholt, und dann wurde von Neumann Co-Autor und die Arbeit wurde 100 Seiten lang. Dann wurde daraus ein Buch. Das öffentliche Interesse an dieser Arbeit war so groß, dass die New York Times eine Titelgeschichte veröffentlichte. In diesem Buch erklärte von Neumann, dass die Wirtschaftstheorie die Funktionalanalyse , insbesondere konvexe Mengen und den topologischen Fixpunktsatz , anstelle der traditionellen Differentialrechnung verwenden muss, da der Maximumoperator keine differenzierbaren Funktionen beibehält.

Unabhängig davon konzentrierte sich Leonid Kantorowitschs funktionsanalytische Arbeit zur mathematischen Ökonomie auch auf Optimierungstheorie, Nichtdifferenzierbarkeit und Vektorgitter . Von Neumanns funktionalanalytische Techniken – die Verwendung von Dualitätspaarungen reeller Vektorräume zur Darstellung von Preisen und Mengen, die Verwendung von unterstützenden und trennenden Hyperebenen und konvexen Mengen sowie die Fixpunkttheorie – sind seither die wichtigsten Werkzeuge der mathematischen Ökonomie.

Mathematische Wirtschaftswissenschaften

Von Neumann hob in mehreren einflussreichen Publikationen das intellektuelle und mathematische Niveau der Wirtschaftswissenschaften an. Für sein Modell einer expandierenden Ökonomie bewies er mit seiner Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes die Existenz und Eindeutigkeit eines Gleichgewichts . Von Neumanns Modell einer expandierenden Ökonomie betrachtete den Matrizenstift  A  − λ B mit nichtnegativen Matrizen  A und B ; von Neumann gesucht Wahrscheinlichkeitsvektoren p und  q und eine positive Zahl  λ , der die lösen würde Komplementarität Gleichung  

zusammen mit zwei Ungleichheitssystemen, die wirtschaftliche Effizienz ausdrücken. In diesem Modell repräsentiert der ( umgesetzte ) Wahrscheinlichkeitsvektor p die Preise der Waren, während der Wahrscheinlichkeitsvektor q die „Intensität“ darstellt, mit der der Produktionsprozess ablaufen würde. Die eindeutige Lösung λ stellt den Wachstumsfaktor dar, der 1 plus die Wachstumsrate der Wirtschaft beträgt ; die Wachstumsrate ist gleich dem Zinssatz .

Von Neumanns Ergebnisse wurden als Sonderfall der linearen Programmierung angesehen , bei dem sein Modell nur nichtnegative Matrizen verwendet. Das Studium seines Modells einer expandierenden Ökonomie interessiert weiterhin mathematische Ökonomen mit Interesse an Computational Economics. Dieses Papier wurde von mehreren Autoren als das beste Papier in der mathematischen Ökonomie bezeichnet, die seine Einführung von Fixkommasätzen , linearen Ungleichungen , komplementärem Spiel und Sattelpunktdualität erkannten . Im Protokoll einer Konferenz über von Neumanns Wachstumsmodell sagte Paul Samuelson, dass viele Mathematiker Methoden entwickelt hätten, die für Ökonomen nützlich seien, dass von Neumann jedoch einzigartig sei, weil er bedeutende Beiträge zur Wirtschaftstheorie selbst geleistet habe.

Von Neumanns berühmtes 9-seitiges Papier begann als Vortrag in Princeton und wurde dann zu einem Papier auf Deutsch, das schließlich ins Englische übersetzt wurde. Sein Interesse für Wirtschaftswissenschaften, das zu dieser Zeitung führte, begann während seiner Vorlesungen in Berlin in den Jahren 1928 und 1929. Er verbrachte seine Sommer in Budapest, ebenso wie der Ökonom Nicholas Kaldor , und sie verstanden sich. Kaldor empfahl von Neumann, ein Buch des mathematischen Ökonomen Léon Walras zu lesen . Von Neumann fand einige Fehler in dem Buch und korrigierte sie – zum Beispiel das Ersetzen von Gleichungen durch Ungleichungen. Er bemerkte, dass die allgemeine Gleichgewichtstheorie von Walras und das Walras-Gesetz , die zu Systemen simultaner linearer Gleichungen führten, das absurde Ergebnis produzieren konnten, dass der Gewinn durch die Produktion und den Verkauf einer negativen Menge eines Produkts maximiert werden konnte. Er ersetzte die Gleichungen durch Ungleichungen, führte unter anderem dynamische Gleichgewichte ein und erstellte schließlich die Arbeit.

Lineares Programmieren

Aufbauend auf seinen Ergebnissen zu Matrixspielen und seinem Modell einer expandierenden Ökonomie erfand von Neumann die Theorie der Dualität in der linearen Programmierung, als George Dantzig in wenigen Minuten seine Arbeit beschrieb und ein ungeduldig von Neumann ihn bat, auf den Punkt zu kommen. Dantzig hörte dann verblüfft zu, während von Neumann einen einstündigen Vortrag über konvexe Mengen, Fixpunkttheorie und Dualität hielt und die Äquivalenz zwischen Matrixspielen und linearer Programmierung vermutete.

Später schlug von Neumann eine neue Methode der linearen Programmierung unter Verwendung des homogenen linearen Systems von Paul Gordan (1873) vor, das später durch Karmarkars Algorithmus populär gemacht wurde . Von Neumanns Methode verwendet einen Pivot-Algorithmus zwischen Simplizes, wobei die Pivot-Entscheidung durch ein nichtnegatives Teilproblem der kleinsten Quadrate mit einer Konvexitätsbeschränkung ( Projizieren des Nullvektors auf die konvexe Hülle des aktiven Simplex ) bestimmt wird. Der Algorithmus von Von Neumann war die erste Methode mit inneren Punkten der linearen Programmierung.

Mathematische Statistik

Von Neumann leistete grundlegende Beiträge zur mathematischen Statistik . 1941 leitete er die exakte Verteilung des Verhältnisses des mittleren Quadrats von aufeinanderfolgenden Differenzen zur Stichprobenvarianz für unabhängige und identisch normalverteilte Variablen ab. Dieses Verhältnis wurde auf die Residuen von Regressionsmodellen angewendet und ist allgemein als Durbin-Watson-Statistik bekannt, um die Nullhypothese zu testen, dass die Fehler seriell unabhängig von der Alternative sind, dass sie einer stationären Autoregression erster Ordnung folgen .

Anschließend erweiterten Denis Sargan und Alok Bhargava die Ergebnisse zum Testen, ob die Fehler eines Regressionsmodells einem Gaußschen Random Walk folgen ( dh eine Einheitswurzel besitzen ) gegen die Alternative, dass es sich um eine stationäre Autoregression erster Ordnung handelt.

Flüssigkeitsdynamik

Von Neumann leistete grundlegende Beiträge auf dem Gebiet der Fluiddynamik .

Von Neumanns Beiträge zur Fluiddynamik umfassten seine Entdeckung der klassischen Strömungslösung für Druckwellen und die gemeinsame Entdeckung (unabhängig von Yakov Borisovich Zel'dovich und Werner Döring ) des ZND-Detonationsmodells von Sprengstoffen. In den 1930er Jahren wurde von Neumann zu einer Autorität auf dem Gebiet der Mathematik von Hohlladungen .

Später entwickelte von Neumann zusammen mit Robert D. Richtmyer einen Algorithmus zur Definition der künstlichen Viskosität , der das Verständnis von Stoßwellen verbesserte . Als Computer hydrodynamische oder aerodynamische Probleme lösten, versuchten sie, zu viele Rechengitterpunkte an Regionen scharfer Diskontinuität (Stoßwellen) zu platzieren. Die Mathematik der künstlichen Viskosität glättete den Schockübergang, ohne die grundlegende Physik zu opfern.

Von Neumann wandte die Computermodellierung bald auf das Feld an und entwickelte Software für seine ballistischen Forschungen. Während des Zweiten Weltkriegs traf er eines Tages im Büro von RH Kent, dem Direktor des Ballistic Research Laboratory der US-Armee , mit einem Computerprogramm ein, das er entwickelt hatte, um ein eindimensionales Modell von 100 Molekülen zu berechnen, um eine Stoßwelle zu simulieren. Von Neumann hielt dann ein Seminar über sein Computerprogramm vor einem Publikum, zu dem auch sein Freund Theodore von Kármán gehörte . Nachdem von Neumann fertig war, sagte von Kármán: "Nun, Johnny, das ist sehr interessant. Sie wissen natürlich, dass Lagrange auch digitale Modelle verwendet hat, um die Kontinuumsmechanik zu simulieren ." Aus dem Gesicht von Neumann war ersichtlich, dass er Lagranges Mécanique analytique nicht kannte .

Beherrschung der Mathematik

Stan Ulam, der auch von Neumann kannte, beschrieb seine Beherrschung der Mathematik auf diese Weise: „ Die meisten Mathematiker eine Methode kennen zum Beispiel. Norbert Wiener gemeistert hatte Fourier - Transformationen Einige Mathematiker zwei Methoden beherrschen und vielleicht wirklich impress jemanden, der kennt nur eine von. John von Neumann beherrschte drei Methoden." Er fuhr fort zu erklären, dass die drei Methoden waren:

  1. Eine Einrichtung mit der symbolischen Manipulation von linearen Operatoren;
  2. Ein intuitives Gefühl für die logische Struktur jeder neuen mathematischen Theorie;
  3. Ein intuitives Gespür für den kombinatorischen Überbau neuer Theorien.

Edward Teller schrieb: "Niemand kennt alle Wissenschaften, nicht einmal von Neumann. Aber was die Mathematik angeht, hat er zu jedem Teil davon beigetragen, außer Zahlentheorie und Topologie.

Von Neumann wurde gebeten, für den Laien einen Aufsatz zu schreiben, der beschreibt, was Mathematik ist, und er erstellte eine schöne Analyse. Er erklärte, dass die Mathematik die Welt zwischen dem Empirischen und dem Logischen überspannt, und argumentierte, dass die Geometrie ursprünglich empirisch war, Euklid jedoch eine logische, deduktive Theorie konstruierte. Er argumentierte jedoch, dass immer die Gefahr besteht, sich zu weit von der realen Welt zu entfernen und zu irrelevanter Sophistik zu werden.

Atomwaffen

Von Neumanns Ausweisfoto aus der Kriegszeit in Los Alamos

Manhattan-Projekt

Ab den späten 1930er Jahren entwickelte von Neumann eine Expertise für Explosionen – Phänomene, die mathematisch schwer zu modellieren sind. In dieser Zeit war von Neumann die führende Autorität der Mathematik der Hohlladungen . Dies führte ihn zu einer Vielzahl von Militärberatungen, vor allem für die Navy, was wiederum zu seiner Beteiligung am Manhattan-Projekt führte . Die Beteiligung umfasste häufige Zugfahrten zu den geheimen Forschungseinrichtungen des Projekts im Los Alamos Laboratory in einem abgelegenen Teil von New Mexico.

Von Neumann leistete seinen Hauptbeitrag zur Atombombe im Konzept und Design der explosiven Linsen , die benötigt wurden, um den Plutoniumkern der Fat Man- Waffe zu komprimieren, die später auf Nagasaki abgeworfen wurde . Obwohl von Neumann das Konzept der " Implosion " nicht hervorbrachte , war er einer seiner hartnäckigsten Befürworter und förderte seine Weiterentwicklung gegen den Instinkt vieler seiner Kollegen, die ein solches Konzept für nicht praktikabel hielten. Er kam schließlich auch auf die Idee, stärkere Hohlladungen und weniger spaltbares Material zu verwenden, um die Geschwindigkeit der "Montage" erheblich zu erhöhen.

Als sich herausstellte, dass es nicht genug Uran-235 geben würde , um mehr als eine Bombe zu bauen, wurde das Projekt der implosiven Linse stark erweitert und von Neumanns Idee umgesetzt. Die Implosion war die einzige Methode, die mit dem Plutonium-239 verwendet werden konnte , das vom Standort Hanford erhältlich war . Er legte das Design der erforderlichen Sprengstofflinsen fest , aber es blieben Bedenken hinsichtlich "Randeffekten" und Unvollkommenheiten in den Sprengstoffen. Seine Berechnungen zeigten, dass Implosion funktionieren würde, wenn sie nicht um mehr als 5% von der Kugelsymmetrie abweicht. Nach einer Reihe gescheiterter Versuche mit Modellen gelang dies George Kistiakowsky , und der Bau der Trinity-Bombe wurde im Juli 1945 abgeschlossen.

Bei einem Besuch in Los Alamos im September 1944 zeigte von Neumann, dass der Druckanstieg durch die Reflexion von Explosionsstoßwellen von festen Objekten größer war als bisher angenommen, wenn der Einfallswinkel der Stoßwelle zwischen 90° und einem Grenzwinkel lag. Als Ergebnis wurde festgestellt, dass die Wirksamkeit einer Atombombe durch eine Detonation einige Kilometer über dem Ziel und nicht in Bodennähe erhöht würde.

Implosionsmechanismus

Von Neumann, vier weitere Wissenschaftler und verschiedene Militärangehörige wurden in das Zielauswahlkomitee aufgenommen, das für die Auswahl der japanischen Städte Hiroshima und Nagasaki als erste Ziele der Atombombe verantwortlich war . Von Neumann beaufsichtigte Berechnungen bezüglich der erwarteten Größe der Bombenexplosionen, der geschätzten Zahl der Todesopfer und der Entfernung über dem Boden, in der die Bomben für eine optimale Stoßwellenausbreitung und damit maximale Wirkung gezündet werden sollten. Die Kulturhauptstadt Kyoto , die von den Bombenangriffen auf militärisch bedeutende Städte verschont geblieben war , war von Neumanns erste Wahl, die von Manhattan-Projektleiter General Leslie Groves sekundiert wurde . Dieses Ziel wurde jedoch von Kriegsminister Henry L. Stimson abgewiesen .

Am 16. Juli 1945 waren von Neumann und zahlreiche andere Mitarbeiter des Manhattan-Projekts Augenzeugen des ersten Tests einer Atombombendetonation mit dem Codenamen Trinity . Die Veranstaltung wurde als Test der Implosionsmethode auf dem Bombenangriffsplatz in der Nähe des Alamogordo Army Airfield , 35 Meilen (56 km) südöstlich von Socorro, New Mexico, durchgeführt . Allein aufgrund seiner Beobachtung schätzte von Neumann, dass der Test zu einer Explosion geführt hatte, die 5 Kilotonnen TNT (21  TJ ) entsprach, aber Enrico Fermi erstellte eine genauere Schätzung von 10 Kilotonnen, indem er zerrissene Papierfetzen fallen ließ, als die Stoßwelle vorbei war seinen Standort und beobachtete, wie weit sie sich verstreut hatten. Die tatsächliche Explosionskraft lag zwischen 20 und 22 Kilotonnen. In von Neumanns Papieren von 1944 tauchte zum ersten Mal der Ausdruck "Kiloton" auf. Nach dem Krieg bemerkte Robert Oppenheimer , dass die an dem Manhattan-Projekt beteiligten Physiker "bekannte Sünde" hätten. Von Neumanns Antwort war, dass "manchmal jemand eine Sünde bekennt, um sich das anzurechnen".

Von Neumann setzte seine Arbeit unbeirrt fort und wurde neben Edward Teller einer der Befürworter des Wasserstoffbombenprojekts . Er arbeitete mit Klaus Fuchs an der Weiterentwicklung der Bombe zusammen, und 1946 reichten die beiden ein geheimes Patent zur "Verbesserung der Methoden und Mittel zur Nutzung der Kernenergie" ein, das ein Schema für die Verwendung einer Spaltbombe zur Komprimierung von Fusionsbrennstoff zur Initiierung von Kernenergie skizzierte Fusion . Das Fuchs-von-Neumann-Patent verwendete Strahlungsimplosion , aber nicht auf die gleiche Weise wie in der endgültigen Wasserstoffbombe, dem Teller-Ulam-Design . Ihre Arbeit wurde jedoch in die "George" -Aufnahme von Operation Greenhouse integriert , die aufschlussreich war, um Konzepte zu testen, die in das endgültige Design einflossen . Das Fuchs-von-Neumann-Werk wurde von Fuchs im Rahmen seiner Nuklearspionage an die Sowjetunion weitergegeben , aber nicht in der sowjetischen eigenen, unabhängigen Entwicklung des Teller-Ulam-Designs verwendet. Der Historiker Jeremy Bernstein hat ironischerweise darauf hingewiesen, dass "John von Neumann und Klaus Fuchs 1946 eine brillante Erfindung hervorbrachten, die den gesamten Verlauf der Entwicklung der Wasserstoffbombe hätte verändern können, aber erst nach der Bombe vollständig verstanden wurde". erfolgreich gemacht."

Für seine Kriegsverdienste erhielt von Neumann im Juli 1946 den Navy Distinguished Civilian Service Award und im Oktober 1946 die Medal for Merit .

Atomenergiekommission

1950 wurde von Neumann Berater der Weapons Systems Evaluation Group (WSEG), deren Aufgabe es war, die Joint Chiefs of Staff und den US-Verteidigungsminister bei der Entwicklung und Nutzung neuer Technologien zu beraten . Er wurde auch Berater des Armed Forces Special Weapons Project (AFSWP), das für die militärischen Aspekte von Atomwaffen zuständig war. In den folgenden zwei Jahren wurde er Berater der Central Intelligence Agency (CIA), Mitglied des einflussreichen General Advisory Committee der Atomic Energy Commission , Berater des neu gegründeten Lawrence Livermore National Laboratory und Mitglied des Scientific Beratungsgruppe der US-Luftwaffe .

1955 wurde von Neumann Kommissar der AEC. Er nahm diese Position an und nutzte sie, um die Produktion kompakter Wasserstoffbomben voranzutreiben, die für die Lieferung von Interkontinentalraketen (ICBM) geeignet sind . Er beteiligte sich an der Behebung des gravierenden Mangels an Tritium und Lithium-6 , der für diese kompakten Waffen benötigt wurde, und sprach sich dagegen aus, sich mit den von der Armee gewünschten Mittelstreckenraketen zufrieden zu geben. Er bestand darauf, dass H-Bomben, die von einer Interkontinentalrakete in das Herz des feindlichen Territoriums abgefeuert werden, die effektivste Waffe sein würden und dass die relative Ungenauigkeit der Rakete bei einer H-Bombe kein Problem darstellen würde. Er sagte, die Russen würden wahrscheinlich ein ähnliches Waffensystem bauen, was sich als der Fall herausstellte. Trotz seiner Meinungsverschiedenheiten mit Oppenheimer über die Notwendigkeit eines Absturzprogramms zur Entwicklung der Wasserstoffbombe sagte er in dessen Namen bei der Oppenheimer-Sicherheitsanhörung 1954 aus , bei der er beteuerte, dass Oppenheimer loyal sei, und lobte ihn für seine Hilfsbereitschaft, als das Programm auslief voaus.

Kurz vor seinem Krebstod leitete von Neumann das streng geheime Interkontinentalraketen-Komitee der US-Regierung, das manchmal in seinem Haus tagte. Ihr Zweck war es, über die Machbarkeit des Baus einer Interkontinentalrakete zu entscheiden, die groß genug ist, um eine thermonukleare Waffe zu tragen. Von Neumann hatte lange argumentiert, dass die technischen Hindernisse zwar beträchtlich seien, aber mit der Zeit überwunden werden könnten. Der SM-65 Atlas bestand seinen ersten voll funktionsfähigen Test 1959, zwei Jahre nach seinem Tod. Die Machbarkeit einer Interkontinentalrakete verdankte sowohl verbesserten, kleineren Sprengköpfen als auch Entwicklungen in der Raketentechnik, und sein Verständnis der ersteren machte seinen Rat von unschätzbarem Wert.

Gegenseitige zugesicherte Zerstörung

Nukleartest Operation Redwing im Juli 1956

Von Neumann wird die Entwicklung der Gleichgewichtsstrategie der gegenseitigen sicheren Zerstörung (MAD) zugeschrieben. Er hat auch "Himmel und Erde bewegt", um MAD hervorzubringen. Sein Ziel war es, schnell Interkontinentalraketen und die kompakten Wasserstoffbomben zu entwickeln, die sie an die UdSSR liefern konnten, und er wusste, dass die Sowjets ähnliche Arbeit leisteten, weil die CIA deutsche Raketenwissenschaftler interviewte, die nach Deutschland zurückkehren durften, und von Neumann hatte eine Dutzend technische Leute in der CIA. Die Sowjets waren der Ansicht, dass Bomber bald verwundbar sein würden, und sie teilten von Neumanns Ansicht, dass eine H-Bombe in einer Interkontinentalrakete das Nonplusultra unter den Waffen sei; sie glaubten, dass wer auch immer die Überlegenheit bei diesen Waffen hatte, die Welt erobern würde, ohne sie unbedingt einzusetzen. Er hatte Angst vor einer "Raketenlücke" und unternahm mehrere weitere Schritte, um sein Ziel zu erreichen, mit den Sowjets mitzuhalten:

  • Er modifizierte die ENIAC, indem er sie programmierbar machte, und schrieb dann Programme für sie, um die H-Bomben-Berechnungen durchzuführen, die die Machbarkeit des Teller-Ulam-Designs überprüften und weiter entwickelten.
  • Durch die Atomic Energy Commission förderte er die Entwicklung einer kompakten H-Bombe, die in eine Interkontinentalrakete passen würde.
  • Er setzte sich persönlich dafür ein, die Produktion von Lithium-6 und Tritium zu beschleunigen, die für die kompakten Bomben benötigt werden.
  • Er veranlasste den Start mehrerer separater Raketenprojekte, da er der Meinung war, dass Wettbewerb in Kombination mit Zusammenarbeit die besten Ergebnisse erzielt.

Von Neumanns damals als pessimistisch geltende Einschätzung der Sowjets in der Raketentechnik erwies sich in der Sputnik-Krise als richtig .

Von Neumann trat in den Staatsdienst in erster Linie ein, weil er der Meinung war, dass die Vereinigten Staaten, wenn Freiheit und Zivilisation überleben sollten, über den Totalitarismus des Nationalsozialismus , Faschismus und Sowjetkommunismus triumphieren würden . Während einer Anhörung im Senatsausschuss beschrieb er seine politische Ideologie als "gewaltsam antikommunistisch und viel militaristischer als die Norm". Er wurde 1950 mit der Bemerkung zitiert: "Wenn Sie sagen, warum nicht morgen [die Sowjets] bombardieren, sage ich, warum nicht heute? Wenn Sie heute um fünf Uhr sagen, sage ich, warum nicht ein Uhr?"

Am 15. Februar 1956 wurde von Neumann von Präsident Dwight D. Eisenhower die Medal of Freedom überreicht . Sein Zitat lautete:

Dr. von Neumann hat in einer Reihe von wissenschaftlichen Studienprojekten von großer nationaler Bedeutung den wissenschaftlichen Fortschritt dieses Landes auf dem Gebiet der Rüstung wesentlich gesteigert. Durch seine Arbeit an verschiedenen hochgradig geheimen Missionen, die außerhalb der kontinentalen Grenzen der Vereinigten Staaten in Verbindung mit kritisch wichtigen internationalen Programmen durchgeführt wurden, hat Dr. von Neumann einige der schwierigsten technischen Probleme der Landesverteidigung gelöst.

Computer

Von Neumann war eine der Gründerfiguren der Informatik . Von Neumann war 1945 der Erfinder des Merge-Sort- Algorithmus, bei dem die erste und die zweite Hälfte eines Arrays jeweils rekursiv sortiert und dann zusammengeführt werden. Von Neumann hat das 23 Seiten lange Sortierprogramm für die EDVAC in Tinte geschrieben. Auf der ersten Seite sind noch Spuren des mit Bleistift geschriebenen und später gelöschten Satzes "TOP SECRET" zu sehen. Er arbeitete auch mit Alan Turing an der Philosophie der künstlichen Intelligenz, als dieser in den 1930er Jahren Princeton besuchte.

Von Neumanns Wasserstoffbombenarbeit spielte sich im Bereich der Computer ab, wo er und Stanisław Ulam Simulationen auf von Neumanns Digitalcomputern für die hydrodynamischen Berechnungen entwickelten. Während dieser Zeit trug er zur Entwicklung der Monte-Carlo-Methode bei , die es erlaubte, Lösungen für komplizierte Probleme mit Hilfe von Zufallszahlen anzunähern .

Flussdiagramm aus von Neumanns "Planung und Kodierung von Problemen für ein elektronisches Recheninstrument", veröffentlicht 1947.

Der Algorithmus von Von Neumann zum Simulieren einer fairen Münze mit einer voreingenommenen Münze wird in der "Software-Whitening"-Stufe einiger Hardware-Zufallszahlengeneratoren verwendet . Da die Verwendung von Listen mit "echten" Zufallszahlen extrem langsam war, entwickelte von Neumann eine Form der Erstellung von Pseudozufallszahlen mit der Methode der mittleren Quadrate . Obwohl diese Methode als grob kritisiert wurde, war sich von Neumann dessen bewusst: Er begründete sie als schneller als jede andere ihm zur Verfügung stehende Methode und schrieb: der Sünde." Von Neumann bemerkte auch, dass diese Methode, wenn sie schief ging, dies offensichtlich tat, im Gegensatz zu anderen Methoden, die subtil falsch sein könnten.

Während er die Moore School of Electrical Engineering an der University of Pennsylvania zum EDVAC-Projekt beriet , verfasste von Neumann einen unvollständigen ersten Entwurf eines Berichts über den EDVAC . Das Papier, dessen vorzeitige Verbreitung die Patentansprüche der EDVAC-Designer J. Presper Eckert und John Mauchly zunichte machte , beschrieb eine Computerarchitektur, bei der die Daten und das Programm beide im Speicher des Computers im gleichen Adressraum gespeichert sind. Diese Architektur ist die Grundlage der meisten modernen Computerdesigns, im Gegensatz zu den frühesten Computern, die mit einem separaten Speichergerät wie einem Papierband oder einem Steckbrett "programmiert" wurden . Obwohl die Single-Memory-, Stored-Program-Architektur allgemein als von Neumann-Architektur bezeichnet wird, basierte die Architektur auf der Arbeit von Eckert und Mauchly, den Erfindern des ENIAC- Computers an der University of Pennsylvania.

John von Neumann beriet das ballistische Forschungslabor der Armee , insbesondere beim ENIAC-Projekt, als Mitglied seines wissenschaftlichen Beirats. Die Elektronik des neuen ENIAC lief mit einem Sechstel der Geschwindigkeit, was die Leistung des ENIAC jedoch in keiner Weise beeinträchtigte, da es noch vollständig I/O-gebunden war . Komplizierte Programme konnten in Tagen entwickelt und debuggt werden, anstatt in den Wochen, die für das Plugboarden des alten ENIAC erforderlich waren. Einige der frühen Computerprogramme von Neumann sind erhalten geblieben.

Der nächste Computer, den von Neumann entwarf, war die IAS-Maschine am Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey. Er arrangierte die Finanzierung, und die Komponenten wurden im nahegelegenen RCA-Forschungslabor entworfen und gebaut . John von Neumann empfahl, dass der IBM 701 , der den Spitznamen Verteidigungscomputer trägt , eine Magnettrommel enthält. Es war eine schnellere Version der IAS-Maschine und bildete die Grundlage für die kommerziell erfolgreiche IBM 704 .

Stochastisches Rechnen wurde erstmals 1953 in einer bahnbrechenden Arbeit von von Neumann vorgestellt. Die Theorie konnte jedoch erst in den 1960er Jahren mit den Fortschritten in der Informatik umgesetzt werden.

Zelluläre Automaten, DNA und der universelle Konstruktor

Die erste Implementierung des sich selbst reproduzierenden Universalkonstruktors von Neumann. Gezeigt werden drei Maschinengenerationen: Die zweite hat die dritte fast fertig gebaut. Die rechts verlaufenden Zeilen sind die Bänder mit genetischen Anweisungen, die zusammen mit dem Körper der Maschinen kopiert werden.
Eine einfache Konfiguration in von Neumanns zellularem Automaten. Ein binäres Signal wird wiederholt durch die blaue Drahtschleife geleitet, wobei angeregte und ruhende normale Übertragungszustände verwendet werden . Eine konfluente Zelle dupliziert das Signal auf ein rotes Kabel, das aus speziellen Übertragungszuständen besteht . Das Signal geht über diesen Draht und baut am Ende eine neue Zelle auf. Dieses spezielle Signal (1011) kodiert für einen nach Osten gerichteten speziellen Übertragungszustand, wodurch die rote Leitung jedes Mal um eine Zelle verlängert wird. Während des Baus durchläuft die neue Zelle mehrere sensibilisierte Zustände, die von der binären Sequenz gesteuert werden.

Von Neumanns rigorose mathematische Analyse der Struktur der Selbstreplikation (der semiotischen Beziehung zwischen Konstrukteur, Beschreibung und dem, was konstruiert wird) ging der Entdeckung der DNA-Struktur voraus.

Von Neumann erschuf das Gebiet der zellularen Automaten ohne die Hilfe von Computern und konstruierte die ersten sich selbst replizierenden Automaten mit Bleistift und Millimeterpapier.

Der detaillierte Vorschlag für ein physikalisch nicht-biologisches selbstreplizierendes System wurde erstmals in den 1948 und 1949 gehaltenen Vorträgen von Neumann unterbreitet, als er zunächst nur einen kinematischen selbstreplizierenden Automaten vorschlug . Obwohl qualitativ solide, war von Neumann mit diesem Modell eines Selbstreplikators offensichtlich unzufrieden, weil es schwierig war, es mit mathematischer Strenge zu analysieren. Er fuhr fort, stattdessen einen abstrakteren Modell-Selbstreplikator zu entwickeln, der auf seinem ursprünglichen Konzept von zellulären Automaten basiert .

Anschließend wurde das Konzept des von Neumann-Universalkonstruktors basierend auf dem zellulären Automaten von Neumann in seinen posthum veröffentlichten Vorlesungen Theory of Self Reproduction Automata konkretisiert . Ulam und von Neumann entwickelten in den 1950er Jahren eine Methode zur Berechnung von Flüssigkeitsbewegungen. Das treibende Konzept der Methode bestand darin, eine Flüssigkeit als eine Gruppe diskreter Einheiten zu betrachten und deren Bewegung auf der Grundlage des Verhaltens ihrer Nachbarn zu berechnen. Wie Ulams Gitternetz sind von Neumanns zelluläre Automaten zweidimensional, sein Selbstreplikator algorithmisch implementiert. Das Ergebnis war ein universeller Kopierer und Konstruktor , der innerhalb eines zellulären Automaten mit kleiner Nachbarschaft (nur die Zellen, die sich berühren, sind Nachbarn; für von Neumanns zellulären Automaten nur orthogonale Zellen) und mit 29 Zuständen pro Zelle arbeitet. Von Neumann lieferte einen Existenzbeweis dafür, dass ein bestimmtes Muster innerhalb des gegebenen zellulären Universums unendlich viele Kopien von sich selbst anfertigen würde, indem er eine 200.000-Zellkonfiguration entwarf, die dies tun konnte.

[D]hier existiert eine kritische Größe, unterhalb derer der Syntheseprozess degenerativ ist, oberhalb derer aber das Synthesephänomen bei richtiger Anordnung explosiv werden kann, d. h. wo Synthesen von Automaten so ablaufen können, dass jeder Automat andere Automaten produzieren, die komplexer sind und höhere Möglichkeiten haben als sie selbst.

—von Neumann, 1948

Von Neumann thematisierte das evolutionäre Wachstum der Komplexität seiner selbstreplizierenden Maschinen. Seine "Proof-of-Principle"-Entwürfe zeigten, wie es logisch möglich ist, durch die Verwendung eines universellen programmierbaren ("universalen") Konstruktors eine unbegrenzt große Klasse von Selbstreplikatoren darzustellen, die einen weiten Komplexitätsbereich abdecken und durch ein Netzwerk potenzieller Mutationswege, einschließlich der Wege von den einfachsten bis zu den komplexesten. Dies ist ein wichtiges Ergebnis, da zuvor vermutet werden konnte, dass es eine grundlegende logische Barriere für die Existenz solcher Wege gibt; in diesem Fall könnten biologische Organismen, die solche Pfade unterstützen, keine "Maschinen" sein, wie sie herkömmlich verstanden werden. Von Neumann betrachtet das Konfliktpotential zwischen seinen sich selbst reproduzierenden Maschinen und stellt fest, dass "unsere Modelle zu solchen Konfliktsituationen führen" und weist dies als weiteres Studienfeld auf.

Die Kybernetik- Bewegung stellte die Frage, was für eine autonome Selbstreproduktion erforderlich ist, und 1952 entwarf John von Neumann einen ausgeklügelten 2D- Zellularautomaten , der automatisch eine Kopie seiner ursprünglichen Zellkonfiguration erstellt. Die von Neumann-Nachbarschaft , in der jede Zelle in einem zweidimensionalen Gitter die vier orthogonal benachbarten Gitterzellen als Nachbarn hat, wird weiterhin für andere zellulare Automaten verwendet. Von Neumann bewies, dass der effektivste Weg, um groß angelegte Bergbauoperationen wie den Abbau eines ganzen Mondes oder Asteroidengürtels durchzuführen, darin besteht, sich selbst replizierende Raumfahrzeuge zu verwenden und ihr exponentielles Wachstum zu nutzen .

Von Neumann ging der Frage nach, ob die Modellierung der Evolution auf einem digitalen Computer das Komplexitätsproblem in der Programmierung lösen könnte.

Ab 1949 gilt von Neumanns Entwurf für ein sich selbst reproduzierendes Computerprogramm als erster Computervirus der Welt und er gilt als theoretischer Vater der Computervirologie.

Wettersysteme und globale Erwärmung

Im Rahmen seiner Forschungen zur Wettervorhersage gründete von Neumann 1946 in Princeton das "Meteorological Program" und sicherte sich damit die Finanzierung seines Projekts durch die US Navy. Von Neumann und seine ernannte Assistentin bei diesem Projekt, Jule Gregory Charney , schrieben die weltweit erste Klimamodellierungssoftware und verwendeten sie, um die weltweit ersten numerischen Wettervorhersagen auf dem ENIAC-Computer durchzuführen ; Die Ergebnisse veröffentlichten von Neumann und sein Team 1950 als Numerical Integration of the Barotrop Vorticity Equation . Als Forschungsprogramm zur Klimamodellierung schlug von Neumann vor: „Der Ansatz besteht darin, zunächst kurzfristige Vorhersagen zu versuchen, dann langfristige Vorhersagen derjenigen Eigenschaften der Zirkulation, die sich über beliebig lange Zeiträume verewigen können, und erst schließlich zu versuchen Vorhersagen für mittellange Zeiträume, die zu lang sind, um mit der einfachen hydrodynamischen Theorie behandelt zu werden, und zu kurz, um mit dem allgemeinen Prinzip der Gleichgewichtstheorie behandelt zu werden."

Von Neumanns Forschungen zu Wettersystemen und meteorologischen Vorhersagen führten ihn zu dem Vorschlag, die Umwelt zu manipulieren, indem Farbstoffe auf den polaren Eiskappen verteilt werden , um die Absorption der Sonnenstrahlung (durch Verringerung der Albedo ) zu verbessern und dadurch die globale Erwärmung zu induzieren . Von Neumann schlug eine Theorie der globalen Erwärmung als Ergebnis der Aktivität des Menschen vor und stellte fest, dass die Erde während der letzten Eiszeit nur 6 ° F (3,3 ° C) kälter war , schrieb er 1955: „ Kohlendioxid, das in die Atmosphäre freigesetzt wurde durch die industrielle Verbrennung von Kohle und Öl - mehr als die Hälfte davon während der letzten Generation - könnte die Zusammensetzung der Atmosphäre ausreichend verändert haben, um eine allgemeine Erwärmung der Welt um etwa ein Grad Fahrenheit zu erklären." Doch von Neumann ein gewissen Maß an Vorsicht in jedem Programm vorsätzlicher menschliches Wetter Herstellung drängte: „Was könnte , natürlich getan wird, ist kein Index zu dem, was sollte getan werden ... In der Tat, die letzten Konsequenzen entweder ein allgemeinen zu bewerten eine Abkühlung oder eine allgemeine Erwärmung wäre eine komplexe Angelegenheit.Änderungen würden den Meeresspiegel und damit die Bewohnbarkeit der kontinentalen Küstenschelfe beeinflussen, die Verdunstung der Meere und damit die allgemeinen Niederschlags- und Vergletscherungsraten usw. Aber es besteht kein Zweifel, dass man die notwendigen Analysen durchführen könnte , um die Ergebnisse vorherzusagen, in jedem gewünschten Umfang einzugreifen und am Ende ziemlich fantastische Ergebnisse zu erzielen."

„Die Technologie, die sich jetzt entwickelt und die die nächsten Jahrzehnte dominieren wird, steht im Widerspruch zu traditionellen und im Wesentlichen derzeit noch gültigen geografischen und politischen Einheiten und Konzepten. Dies ist eine reifende Krise der Technologie... Die Antwort ist, dass die menschliche Spezies bereits ähnlichen Tests unterzogen wurde und eine angeborene Fähigkeit zu haben scheint, nach unterschiedlich vielen Schwierigkeiten durchzukommen."

—von Neumann, 1955

Technologische Singularitätshypothese

Die erste Verwendung des Begriffs einer Singularität im technologischen Kontext wird von Neumann zugeschrieben, der nach Ulam den "sich immer schneller werdenden technischen Fortschritt und die Veränderungen der menschlichen Lebensweise, die den Anschein erwecken, sich einer wesentlichen Singularität zu nähern" die Geschichte der Rasse, über die die menschlichen Angelegenheiten, wie wir sie kennen, nicht weitergehen konnten." Dieses Konzept wurde später in dem Buch Future Shock von Alvin Toffler konkretisiert .

Erkennung

Kognitive Fähigkeiten

Nobelpreisträger Hans Bethe sagte: "Ich habe mich manchmal gefragt, ob ein Gehirn wie das von Neumann nicht eine dem Menschen überlegene Spezies anzeigt", und später schrieb Bethe, dass "[von Neumanns] Gehirn eine neue Spezies anzeigte, eine Evolution jenseits des Menschen". Wenn man von Neumanns Gedanken bei der Arbeit sah, schrieb Eugene Wigner , "hatte man den Eindruck eines perfekten Instruments, dessen Zahnräder so bearbeitet waren, dass sie auf einen Tausendstel Zoll genau kämmten." Paul Halmos sagt, dass "von Neumanns Geschwindigkeit beeindruckend war." Israel Halperin sagte: "Es war ... unmöglich, mit ihm Schritt zu halten. Man hatte das Gefühl, auf einem Dreirad einem Rennwagen nachzujagen." Edward Teller gab zu, dass er "nie mit ihm mithalten konnte". Teller sagte auch: "von Neumann würde ein Gespräch mit meinem 3-jährigen Sohn führen, und die beiden redeten auf Augenhöhe, und ich fragte mich manchmal, ob er das gleiche Prinzip anwendete, wenn er mit uns anderen sprach." Peter Lax schrieb: "Von Neumann war süchtig nach Denken und insbesondere nach Denken über Mathematik".

Als George Dantzig von Neumann ein ungelöstes Problem der linearen Programmierung "wie ich es einem gewöhnlichen Sterblichen tun würde" vorbrachte, zu dem es keine veröffentlichte Literatur gegeben hatte, war er erstaunt, als von Neumann sagte "Oh, das!", bevor er beiläufig einen Vortrag hielt von über einer Stunde und erklärt, wie das Problem mit der bisher unkonzipierten Theorie der Dualität zu lösen ist .

Lothar Wolfgang Nordheim beschrieb von Neumann als den "schnellsten Geist, den ich je getroffen habe", und Jacob Bronowski schrieb: "Er war ausnahmslos der klügste Mann, den ich je gekannt habe. Er war ein Genie." George Pólya , dessen Vorlesungen an der ETH Zürich von Neumann als Student besuchte, sagte: „Johnny war der einzige Student, vor dem ich jemals Angst hatte am Ende der Vorlesung mit der vollständigen Lösung auf einen Zettel gekritzelt." Eugene Wigner schreibt: "'Jancsi' könnte ich sagen, 'Ist der Drehimpuls immer eine ganze Zahl von h ? ' Er würde einen Tag später mit einer entschiedenen Antwort zurückkehren: 'Ja, wenn alle Teilchen in Ruhe sind.'... Wir hatten alle Ehrfurcht vor Jancsi von Neumann". Enrico Fermi sagte dem Physiker Herbert L. Anderson : "Weißt du, Herb, Johnny kann zehnmal so schnell wie ich kann in seinem Kopf rechnen! Und ich kann sie zehnmal so schnell wie du kannst, Herb, damit du siehst, wie beeindruckend ist Johnny!"

Halmos erzählt eine Geschichte von Nicholas Metropolis über die Geschwindigkeit von Neumanns Berechnungen, als jemand von Neumann bat, das berühmte Fliegenrätsel zu lösen:

Zwei Radfahrer starten 20 Meilen voneinander entfernt und fahren aufeinander zu, jeder mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10 Meilen pro Stunde. Zur gleichen Zeit beginnt eine Fliege, die mit einer konstanten Geschwindigkeit von 24 km/h fliegt, vom Vorderrad des nach Süden gehenden Fahrrads und fliegt zum Vorderrad des nach Norden gerichteten Fahrrads, dreht sich dann um und fliegt wieder zum Vorderrad des nach Süden gehenden Fahrrads und fährt fort auf diese Weise, bis er zwischen den beiden Vorderrädern zerquetscht wird. Frage: Welche Gesamtstrecke hat die Fliege zurückgelegt? Der langsame Weg, um die Antwort zu finden, besteht darin, zu berechnen, welche Entfernung die Fliege auf der ersten, nach Süden gerichteten Etappe der Reise zurücklegt, dann auf der zweiten, nach Norden gerichteten Etappe, dann auf der dritten usw. usw. um die so erhaltene unendliche Reihe zu summieren .

Der schnelle Weg besteht darin, zu beobachten, dass sich die Fahrräder genau eine Stunde nach ihrem Start treffen, so dass die Fliege nur eine Stunde für ihre Fahrten hatte; die Antwort muss daher 15 Meilen lauten.

Als die Frage an von Neumann gestellt wurde, löste er sie augenblicklich und enttäuschte dabei den Fragesteller: "Ach, den Trick müssen Sie schon gehört haben!" "Welcher Trick?" fragte von Neumann: "Ich habe nur die geometrische Reihe summiert ."

Eugene Wigner erzählte eine ähnliche Geschichte, nur mit einer Schwalbe statt einer Fliege, und sagt, es sei Max Born gewesen , der in den 1920er Jahren von Neumann die Frage gestellt habe.

Fotografisches Gedächtnis

Von Neumann wurde auch für sein eidetisches Gedächtnis (manchmal auch als fotografisches Gedächtnis bezeichnet) bekannt. Hermann Goldstine schrieb:

Eine seiner bemerkenswerten Fähigkeiten war seine absolute Rückrufkraft. Soweit ich das beurteilen konnte, konnte von Neumann einmal ein Buch oder einen Artikel lesen, um es wörtlich zu zitieren; außerdem konnte er es Jahre später bedenkenlos tun. Er konnte es auch ohne Geschwindigkeitsverlust aus der Originalsprache ins Englische übersetzen. Bei einer Gelegenheit testete ich seine Fähigkeiten, indem ich ihn bat, mir zu erzählen, wie A Tale of Two Cities begann. Daraufhin begann er ohne Pause sofort das erste Kapitel zu rezitieren und fuhr fort, bis er nach etwa zehn oder fünfzehn Minuten aufgefordert wurde, aufzuhören.

Von Neumann soll sich angeblich die Seiten von Telefonbüchern merken können. Er unterhielt Freunde, indem er sie aufforderte, nach dem Zufallsprinzip Seitenzahlen zu nennen; dann rezitierte er die Namen, Adressen und Nummern darin.

Mathematisches Erbe

"Man kann mit Recht sagen, dass John von Neumann wahrscheinlich der einflussreichste Mathematiker war, der je gelebt hat, wenn der Einfluss eines Wissenschaftlers weit genug ausgelegt wird, um Auswirkungen auf Bereiche außerhalb der eigentlichen Wissenschaft zu erfassen", schrieb Miklós Rédei in John von Neumann: Selected Briefe . James Glimm schrieb: „Er gilt als einer der Giganten der modernen Mathematik“. Der Mathematiker Jean Dieudonné sagte, dass von Neumann „der letzte Vertreter einer einst blühenden und zahlreichen Gruppe gewesen sein könnte, der großen Mathematiker, die in der reinen und der angewandten Mathematik gleichermaßen zu Hause waren und während ihrer gesamten Karriere eine stetige Produktion in beide Richtungen aufrechterhielten“. , während Peter Lax ihn als den „schillerndsten Intellekt dieses Jahrhunderts“ beschrieb. Im Vorwort zu Miklós Rédeis Ausgewählten Briefen schrieb Peter Lax: „Um ein Maß für von Neumanns Leistungen zu gewinnen, bedenke, dass er, wenn er eine normale Zeitspanne gelebt hätte, sicherlich einen Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften erhalten hätte gab es Nobelpreise in Informatik und Mathematik, auch diese wären ihm eine Ehre erwiesen worden, also ist der Verfasser dieser Briefe als dreifacher Nobelpreisträger oder vielleicht als 3+12- facher Gewinner für seine Arbeiten in der Physik, insbesondere der Quantenmechanik".

Krankheit und Tod

Von Neumanns Grabstein

1955 wurde bei von Neumann entweder Knochen- , Bauchspeicheldrüsen- oder Prostatakrebs diagnostiziert, nachdem er von Ärzten auf einen Sturz untersucht wurde, woraufhin sie eine in der Nähe seines Schlüsselbeins wachsende Masse inspizierten. Der Krebs wurde möglicherweise durch seine Strahlenbelastung während seiner Zeit im Los Alamos National Laboratory verursacht . Er konnte die Nähe seines eigenen Untergangs nicht akzeptieren, und der Schatten des bevorstehenden Todes flößte ihm große Angst ein. Er lud einen katholischen Priester, Pater Anselm Strittmatter OSB , zu einer Beratung ein. Von Neumann soll gesagt haben: "Solange es die Möglichkeit der ewigen Verdammnis für Ungläubige gibt, ist es logischer, am Ende ein Gläubiger zu sein", und bezog sich dabei auf Pascals Wette . Zuvor hatte er seiner Mutter anvertraut: "Es muss wohl einen Gott geben. Vieles lässt sich leichter erklären, als wenn er nicht existiert." Pater Strittmatter vollzog ihm die letzten Riten . Einige Freunde von Neumann, wie Abraham Pais und Oskar Morgenstern, sagten, sie hätten ihn immer für "völlig Agnostiker" gehalten. Von dieser Bekehrung am Sterbebett erzählte Morgenstern Heims: "Er war natürlich sein ganzes Leben lang völlig agnostisch, und dann wurde er plötzlich katholisch - das stimmt mit seiner Einstellung, seiner Einstellung und seinem Denken, als er gesund war, überhaupt nicht überein." Pater Strittmatter erinnerte daran, dass von Neumann auch nach seiner Bekehrung nicht viel Ruhe und Trost davon bekam, da er immer noch Todesangst hatte.

Von Neumann lag auf dem Sterbebett, als er seinen Bruder unterhielt, indem er die ersten Zeilen jeder Seite von Goethes Faust auswendig und wörtlich rezitierte . Auf seinem Sterbebett wurden seine geistigen Fähigkeiten zu einem Bruchteil dessen, was sie vorher waren, was ihm große Qualen bereitete; zeitweise vergaß von Neumann sogar die Zeilen, die sein Bruder aus Goethes Faust rezitierte . Er starb im Alter von 53 Jahren am 8. Februar 1957 im Walter Reed Army Medical Center in Washington, DC , unter militärischer Sicherheit, damit er keine militärischen Geheimnisse preisgab, während er stark medikamentös behandelt wurde. Er wurde auf dem Princeton Cemetery in Princeton, Mercer County, New Jersey beigesetzt .

Ehrungen

Der von Neumann-Krater auf der anderen Seite des Mondes.

Ausgewählte Werke

  • 1923. Zur Einführung der transfiniten Zahlen , 346–54.
  • 1925. Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , 393–413.
  • 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik , Beyer, RT, trans., Princeton Univ. Drücken Sie. Ausgabe 1996: ISBN  0-691-02893-1 .
  • 1937. von Neumann, John (1981). Halperin, Israel (Hrsg.). Kontinuierliche Geometrien mit einer Übergangswahrscheinlichkeit . Memoiren der American Mathematical Society . 34 . ISBN 978-0-8218-2252-4. MR  0.634.656 .
  • 1944. Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten , mit Morgenstern, O., Princeton Univ. Presse, online unter archive.org . Ausgabe 2007: ISBN  978-0-691-13061-3 .
  • 1945. Erster Entwurf eines Berichts über die EDVAC
  • 1948. "The General and Logical Theory of Automata", in Cerebral Mechanisms in Behavior: The Hixon Symposium, Jeffress, LA Hrsg., John Wiley & Sons, New York, N. Y, 1951, S. 1–31, MR 0045446 .
  • 1960. von Neumann, John (1998). Kontinuierliche Geometrie . Princeton Wahrzeichen in Mathematik. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-05893-1. MR  0120174 .
  • 1963. Gesammelte Werke von John von Neumann , Taub, AH, Hrsg., Pergamon Press. ISBN  0-08-009566-6
  • 1966. Theorie der selbstreproduzierenden Automaten , Burks, AW , Hrsg., University of Illinois Press. ISBN  0-598-37798-0

Siehe auch

Doktoranden

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

Bücher

Beliebte Zeitschriften

  • Good Housekeeping Magazine , September 1956, „Verheiratet mit einem Mann, der glaubt, dass der Verstand die Welt bewegen kann“

Video

Externe Links