Jordanien Maßnahme - Jordan measure

In der Mathematik ist das Peano-Jordan-Maß (auch als Jordan-Inhalt bekannt ) eine Erweiterung des Begriffs Größe ( Länge , Fläche , Volumen ) auf Formen, die komplizierter sind als beispielsweise ein Dreieck , eine Scheibe oder ein Parallelepiped .

Es stellt sich heraus, dass ein Set, um Jordanien messen zu lassen, sich in einem gewissen restriktiven Sinne gut benehmen sollte . Aus diesem Grund ist es heute üblicher, mit der Lebesgue-Maßnahme zu arbeiten , die eine Erweiterung der Jordan-Maßnahme auf eine größere Klasse von Mengen darstellt. Historisch gesehen stand die jordanische Maßnahme gegen Ende des 19. Jahrhunderts an erster Stelle. Aus historischen Gründen ist der Begriff Jordan-Maß mittlerweile gut etabliert, obwohl er in seiner modernen Definition kein echtes Maß ist, da Jordan-messbare Mengen keine σ-Algebra bilden. Zum Beispiel haben Singleton-Mengen in jedem ein Jordan-Maß von 0, während eine zählbare Vereinigung von ihnen nicht Jordan-messbar ist. Aus diesem Grund bevorzugen einige Autoren den Begriff Jordan-Inhalt (siehe Artikel zum Inhalt ) .

Die Peano-Jordan-Maßnahme ist nach ihren Urhebern, dem französischen Mathematiker Camille Jordan und dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano, benannt .

Jordanisches Maß für "einfache Mengen"

Eine einfache Menge ist per Definition eine Vereinigung von (möglicherweise überlappenden) Rechtecken.
Die einfache Menge von oben zerfiel als Vereinigung nicht überlappender Rechtecke.

Betrachten Sie den euklidischen Raum R n . Man beginnt mit der Betrachtung von Produkten mit begrenzten Intervallen

die am linken Ende geschlossen und am rechten Ende offen sind (halboffene Intervalle sind eine technische Wahl; wie wir unten sehen, können geschlossene oder offene Intervalle verwendet werden, wenn dies bevorzugt wird). Ein solcher Satz wird ein aufgerufen werden n - dimensionale Rechteck oder einfach ein Rechteck . Man definiert das Jordan-Maß eines solchen Rechtecks ​​als das Produkt der Länge der Intervalle:

Als nächstes betrachtet man einfache Mengen , manchmal auch Polyrechtecke genannt , die endliche Vereinigungen von Rechtecken sind.

für jedes  k  ≥ 1.

Man kann das Jordan-Maß von S nicht einfach als die Summe der Maße der einzelnen Rechtecke definieren, da eine solche Darstellung von S alles andere als eindeutig ist und es zu signifikanten Überlappungen zwischen den Rechtecken kommen kann.

Zum Glück, eine solche einfachen Satz S kann als eine Vereinigung von anderen endlichen Familie von Rechtecke neu geschrieben werden, Rechtecke , die diesmal für beide Seiten sind disjunkt , und dann definiert man die Jordan Maß m ( S ) als die Summe der Maßnahmen der disjoint Rechtecke.

Man kann zeigen, dass diese Definition des Jordan-Maßes von S unabhängig von der Darstellung von S als endliche Vereinigung disjunkter Rechtecke ist. Im "Umschreiben" -Schritt wird die Annahme verwendet, dass Rechtecke aus halboffenen Intervallen bestehen.

Erweiterung auf kompliziertere Sets

Eine Menge (im Bild durch den Bereich innerhalb der blauen Kurve dargestellt) ist Jordanien genau dann messbar, wenn sie durch einfache Mengen sowohl von innen als auch von außen gut angenähert werden kann (ihre Grenzen sind in dunkelgrün bzw. dunkelrosa dargestellt). .

Beachten Sie, dass eine Menge, die ein Produkt von geschlossenen Intervallen ist,

ist kein einfacher Satz und auch kein Ball . Daher ist die Menge der messbaren Mengen in Jordanien bislang noch sehr begrenzt. Der Schlüsselschritt besteht dann darin, eine begrenzte Menge als Jordan-messbar zu definieren, wenn sie durch einfache Mengen "gut angenähert" wird, genauso wie eine Funktion Riemann-integrierbar ist, wenn sie durch stückweise konstante Funktionen gut angenähert wird.

Formal definieren Sie für eine begrenzte Menge B ihr inneres Jordan-Maß als

und sein äußeres Maß als

wobei das Infimum und das Supremum über einfache Mengen S übernommen werden . Die Menge B wird als Jordan messbar bezeichnet, wenn das innere Maß von B gleich dem äußeren Maß ist. Der gemeinsame Wert der beiden Kennzahlen wird dann einfach als Jordan-Kennzahl von B bezeichnet .

Es stellt sich heraus, dass alle Rechtecke (offen oder geschlossen) sowie alle Kugeln, Simplexe usw. nach Jordanien messbar sind. Wenn man zwei stetige Funktionen betrachtet , ist die Menge der Punkte zwischen den Graphen dieser Funktionen Jordanien messbar, solange diese Menge begrenzt ist und die gemeinsame Domäne der beiden Funktionen Jordanien messbar ist. Jede endliche Vereinigung und Schnittmenge von Jordanien-messbaren Mengen ist Jordanien-messbar, ebenso wie die Mengendifferenz von zwei Jordanien-Messmengen. Ein kompaktes Set ist nicht unbedingt messbar. Zum Beispiel ist das fette Cantor-Set nicht. Seine innere Jordan Maßnahme verschwindet, da sein Komplement ist dicht ; Das äußere Jordanien-Maß verschwindet jedoch nicht, da es nicht kleiner sein kann als (tatsächlich gleich) dem Lebesgue-Maß. Auch eine begrenzte offene Menge ist nicht unbedingt messbar. Zum Beispiel ist das Komplement des fetten Cantor-Sets (innerhalb des Intervalls) nicht. Eine beschränkte Menge ist Jordan ermittelbar , wenn und nur wenn dessen Indikatorfunktion ist Riemann-integrierbare , und der Wert des Integrals ist seine Jordan Maßnahme. [1]

Entsprechend ist für eine begrenzte Menge B das innere Jordan-Maß von B das Lebesgue-Maß des Inneren von B und das äußere Jordan-Maß das Lebesgue-Maß des Verschlusses . Daraus folgt, dass eine begrenzte Menge Jordanien genau dann messbar ist, wenn ihre Grenze das Lebesgue-Maß Null hat. (Oder äquivalent, wenn die Grenze das Jordan-Maß Null hat; die Äquivalenz gilt aufgrund der Kompaktheit der Grenze.)

Die Lebesgue-Maßnahme

Diese letzte Eigenschaft schränkt die Arten von Mengen, die in Jordanien messbar sind, stark ein. Zum Beispiel ist die Menge der rationalen Zahlen, die in dem Intervall [0,1] enthalten sind, dann nicht jordanisch messbar, da ihre Grenze [0,1] ist, die nicht vom jordanischen Maß Null ist. Intuitiv ist die Menge der rationalen Zahlen jedoch eine "kleine" Menge, da sie zählbar ist und die "Größe" Null haben sollte. Das ist zwar wahr, aber nur, wenn man die Jordan-Maßnahme durch die Lebesgue-Maßnahme ersetzt . Das Lebesgue-Maß eines Satzes ist dasselbe wie das Jordan-Maß, solange dieses Set ein Jordan-Maß hat. Das Lebesgue-Maß ist jedoch für eine viel breitere Klasse von Mengen definiert, wie die Menge der rationalen Zahlen in einem zuvor erwähnten Intervall, und auch für Mengen, die unbegrenzt oder fraktal sein können . Außerdem ist das Lebesgue-Maß im Gegensatz zum Jordan-Maß ein echtes Maß , dh jede zählbare Vereinigung von Lebesgue-messbaren Mengen ist Lebesgue-messbar, während zählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen nicht Jordan-messbar sein müssen.

Verweise

  • Emmanuele DiBenedetto (2002). Echte Analyse . Basel, Schweiz: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
  • Richard Courant; Fritz John (1999). Einführung in die Analysis und Analyse Band II / 1: Kapitel 1–4 (Klassiker in der Mathematik) . Berlin: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

Externe Links