Königssatz (Mengenlehre) - König's theorem (set theory)

In der Mengenlehre , Satz von König , dass die Staaten , wenn das Axiom der Wahl hält, ich ist ein Satz , und sind Kardinalzahlen für jeden i in I , und für jeden i in I , dann

Die Summe hier ist die Kardinalität der disjunkten Vereinigung der Mengen m i , und das Produkt ist die Kardinalität des kartesischen Produkts . Ohne die Verwendung des Axioms der Wahl können die Summe und das Produkt jedoch nicht als Kardinalzahlen definiert werden, und die Bedeutung des Ungleichheitszeichens müsste geklärt werden.

Der Satz von König wurde von König  ( 1904 ) in der etwas schwächeren Form eingeführt, dass die Summe einer streng ansteigenden Folge von Kardinalzahlen ungleich Null geringer ist als ihr Produkt.

Einzelheiten

Die genaue Aussage des Ergebnisses: Wenn ich eine Menge bin , sind A i und B i Mengen für jedes i in I und für jedes i in I , dann

wobei < streng weniger bedeutet als in der Kardinalität , dh es gibt eine injizierende Funktion von A i nach B i , aber keine, die in die andere Richtung geht. Die betroffene Gewerkschaft muss nicht disjunkt sein (eine nicht disjunkte Gewerkschaft kann nicht größer sein als die disjunkte Version, auch unter der Annahme des Axioms der Wahl ). In dieser Formulierung entspricht der Satz von König dem Axiom der Wahl .

(Natürlich Satz von König ist trivial , wenn die Kardinalzahlen m i und n i sind endlich und der Index gesetzt ich endlich ist. Wenn ich bin leer , dann die linke Summe die leere Summe und damit 0, während das richtige Produkt das ist leeres Produkt und daher 1).

Der Satz von König ist bemerkenswert wegen der strengen Ungleichheit in der Schlussfolgerung. Es gibt viele einfache Regeln für die Arithmetik unendlicher Summen und Produkte von Kardinälen, in denen man nur auf eine schwache Ungleichung ≤ schließen kann, zum Beispiel: Wenn für alle i in I , dann kann man nur schließen

da zum Beispiel die Einstellung und , wobei die Indexmenge I die natürlichen Zahlen ist, die Summe für beide Seiten ergibt und wir eine Gleichheit haben.

Folgerungen aus dem Satz von König

  • Wenn es ein Kardinal ist, dann .

Wenn wir für jedes i in κ m i = 1 und n i = 2 nehmen , dann ist die linke Seite der obigen Ungleichung nur κ, während die rechte Seite 2 κ ist , die Kardinalität der Funktionen von κ bis {0, 1 }, dh die Kardinalität der Potenzmenge von κ. Der Satz von König gibt uns also einen alternativen Beweis für den Satz von Cantor . (Historisch gesehen wurde Cantors Theorem natürlich viel früher bewiesen.)

Axiom der Wahl

Eine Möglichkeit, das Axiom der Wahl zu formulieren, ist "ein beliebiges kartesisches Produkt nicht leerer Mengen ist nicht leer". Lassen B i für jeden eine nicht leere Menge sein i in I . Let A i = {} für jeden i in I . Nach dem Satz von König haben wir also:

  • Wenn ja , dann .

Das heißt, das kartesische Produkt der gegebenen nicht leeren Mengen B i hat eine größere Kardinalität als die Summe der leeren Mengen. Somit ist es nicht leer, was genau das Axiom der Wahl besagt. Da das Axiom der Wahl aus dem Satz von König folgt, werden wir das Axiom der Wahl frei und implizit verwenden, wenn wir die Konsequenzen des Satzes diskutieren.

Königssatz und Kofinalität

Der Satz von König hat auch wichtige Konsequenzen für die Kofinalität von Kardinalzahlen.

  • Wenn ja , dann .

Wählen Sie eine streng ansteigende cf (κ) -Sequenz von Ordnungszahlen, die sich κ nähern. Jeder von ihnen ist kleiner als κ, daher ist ihre Summe, die κ ist, kleiner als das Produkt von cf (κ) -Kopien von κ.

Nach dem Satz von Easton ist die nächste Konsequenz des Satzes von König die einzige nichttriviale Einschränkung der Kontinuumsfunktion für reguläre Kardinäle .

  • Wenn und dann .

Lass . Nehmen wir an, dass entgegen dieser Folgerung , . Dann unter Verwendung der vorherigen Folgerung ein Widerspruch.

Ein Beweis für den Satz von König

Unter der Annahme der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre , insbesondere des Axioms der Wahl , können wir den Satz beweisen. Denken Sie daran, dass uns gegeben wird und wir zeigen wollen:

Das Axiom der Wahl impliziert, dass die Bedingung A < B der Bedingung entspricht, dass es keine Funktion von A auf B gibt und B nicht leer ist. Wir erhalten also, dass es keine Funktion von A i auf B i ≠ {} gibt, und wir müssen zeigen, dass jede Funktion f von der disjunkten Vereinigung der A s zum Produkt der B s nicht surjektiv ist und dass das Produkt ist nicht leer. Dass das Produkt nicht leer ist, ergibt sich unmittelbar aus dem Axiom der Wahl und der Tatsache, dass die Faktoren nicht leer sind. Für jedes wähle ich ein b i in B i nicht im Bild von A i unter der Zusammensetzung von f mit der Projektion auf B i . Dann ist das Produkt der Elemente b i nicht im Bild von f , so dass f die disjunkte Vereinigung der A s nicht auf das Produkt der B s abbildet .

Anmerkungen

  1. ^ Rubin, H.; Rubin, JE (1985). Äquivalente des Axioms der Wahl, II . New York, NY: Nordholland . S.  185 . ISBN 0-444-87708-8.

Verweise