Zirkulationssatz von Kelvin - Kelvin's circulation theorem

In der Strömungsmechanik , Kelvins Zirkulationssatz (benannt nach William Thomson, 1. Baron Kelvin erklärt , die es im Jahr 1869 veröffentlicht) In einem barotropen idealen Flüssigkeit mit konservativen Körperkräfte, die Zirkulation um eine geschlossene Kurve bewegt sich mit der (die die gleichen Fluidelemente einschließt) Flüssigkeit bleibt mit der Zeit konstant . Mathematisch ausgedrückt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

wo ist die Zirkulation um eine Materialkontur . Einfacher ausgedrückt besagt dieses Theorem, dass, wenn man eine geschlossene Kontur zu einem Zeitpunkt beobachtet und der Kontur über die Zeit folgt (indem man der Bewegung aller ihrer Fluidelemente folgt), die Zirkulation über die beiden Orte dieser Kontur gleich ist. ${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle C(t)}$

Dieser Satz gilt nicht in Fällen mit viskosen Spannungen, nichtkonservativen Körperkräften (zB einer Corioliskraft ) oder nichtbarotropen Druck-Dichte-Beziehungen.

Mathematischer Beweis

Der Umlauf um eine geschlossene Materialkontur ist definiert durch: ${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle C(t)}$

${\displaystyle \Gamma(t)=\oint_{C}{\boldsymbol {u}}\cdot\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

wobei u der Geschwindigkeitsvektor ist und ds ein Element entlang der geschlossenen Kontur ist.

Die maßgebende Gleichung für eine reibungsfreie Flüssigkeit mit einer konservativen Körperkraft lautet

${\displaystyle {\frac {\text{D}} {\boldsymbol {u}}}{\text{D}t}}=-{\frac{1}{\rho}}{\boldsymbol {\nabla}} p+{\boldsymbol {\nabla}}\Phi}$

wobei D/D t die konvektive Ableitung ist , ρ die Flüssigkeitsdichte, p der Druck und Φ das Potential für die Körperkraft ist. Dies sind die Euler-Gleichungen mit einer Körperkraft.

Die Bedingung der Barotropie impliziert, dass die Dichte nur eine Funktion des Drucks ist, dh . ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$

Die konvektive Ableitung der Zirkulation ergibt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint_{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\ Mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint_{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d } {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.}$

Für den ersten Term ersetzen wir aus der herrschenden Gleichung und wenden dann den Satz von Stokes an , also:

${\displaystyle \oint_{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}= \int _{A}{\boldsymbol {\nabla}}\times \left(-{\frac {1}{\rho}}{\boldsymbol {\nabla}}p+{\boldsymbol {\nabla}}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho^{2}}}\left({\boldsymbol {\ nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla}}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

Die endgültige Gleichheit entsteht da aufgrund der Barotropie. Wir haben uns auch die Tatsache zunutze gemacht, dass die Kräuselung jedes Gradienten notwendigerweise 0 ist, oder für jede Funktion . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\rho \times {\boldsymbol {\nabla}}p=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\times {\boldsymbol {\nabla}}f=0}$${\displaystyle f}$

Für den zweiten Term stellen wir fest, dass die Entwicklung des Materiallinienelements gegeben ist durch

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}} \cdot {\boldsymbol {\nabla}}\right){\boldsymbol {u}}.}$

Somit

${\displaystyle \oint_{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}= \oint_{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla}}\right){\boldsymbol {u}} ={\frac {1}{2}}\oint_{C}{\boldsymbol {\nabla}}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d } {\boldsymbol {s}}=0.}$

Die letzte Gleichheit wird durch Anwendung des Gradientensatzes erhalten .

Da beide Terme null sind, erhalten wir das Ergebnis

${\displaystyle {\frac {\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D}t}}=0.}$

Poincaré-Bjerknes-Zirkulationssatz

Ein ähnliches Prinzip, das eine Quantität erhält, kann auch für den rotierenden Rahmen erhalten werden, der auch als Poincaré-Bjerknes-Theorem bekannt ist, benannt nach Henri Poincaré und Vilhelm Bjerknes , die die Invariante 1893 und 1898 herstellten. Der Satz kann auf einen rotierenden Rahmen angewendet werden die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, die durch den Vektor gegeben ist , für die modifizierte Zirkulation ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega}}}$

${\displaystyle \Gamma(t)=\oint_{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega}}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} { \boldsymbol{s}}}$

Hier ist die Position des Flüssigkeitsbereichs. Aus dem Satz von Stokes lautet dies: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

${\displaystyle \Gamma(t)=\int_{A}{\boldsymbol {\nabla}}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega}}\times {\boldsymbol {r} })\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int_{A}({\boldsymbol {\nabla}}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol { \Omega}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}$

Die Vorticity eines Geschwindigkeitsfeldes in der Fluiddynamik wird definiert durch:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}={\boldsymbol {\nabla}}\times {\boldsymbol {u}}}$

Dann:

${\displaystyle \Gamma(t)=\int_{A}({\boldsymbol {\omega}}+2{\boldsymbol {\Omega}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d } S}$

Siehe auch

• Bernoullis Prinzip
• Euler-Gleichungen (Fluiddynamik)
• Die Sätze von Helmholtz
• Thermomagnetische Konvektion

Anmerkungen