Kerala Schule für Astronomie und Mathematik - Kerala school of astronomy and mathematics

Kerala Schule für Astronomie und Mathematik
Kerala-Schulkette von Lehrern.jpg
Lehrerkette der Kerala-Schule
Standort
Zentral- und Nordkerala

Indien
Information
Typ Hindu , Astronomie , Mathematik , Wissenschaft
Gründer Madhava von Sangamagrama

Die Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik oder die Kerala-Schule war eine Schule für Mathematik und Astronomie, die von Madhava von Sangamagrama in Tirur , Malappuram , Kerala , Indien, gegründet wurde und zu ihren Mitgliedern zählte: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melhattathur Narayana und Achyuta Panikkar . Die Schule erlebte zwischen dem 14. und 16. Jahrhundert eine Blütezeit und die ursprünglichen Entdeckungen der Schule scheinen mit Narayana Bhattathiri (1559-1632) beendet zu sein. Bei dem Versuch, astronomische Probleme zu lösen, entdeckte die Kerala-Schule unabhängig eine Reihe wichtiger mathematischer Konzepte. Ihre wichtigsten Ergebnisse – Reihenentwicklung für trigonometrische Funktionen – wurden in Sanskrit- Versen in einem Buch von Neelakanta mit dem Titel Tantrasangraha und erneut in einem Kommentar zu diesem Werk namens Tantrasangraha-vakhya von unbekannter Autorschaft beschrieben. Die Sätze wurden ohne Beweis angegeben, aber Beweise für die Reihe für Sinus, Kosinus und inversen Tangens wurden ein Jahrhundert später in dem Werk Yuktibhasa ( ca.  1500  – ca.  1610 ) geliefert , das in Malayalam von Jyesthadeva und auch in a . geschrieben wurde Kommentar zu Tantrasangraha .

Ihre Arbeit, die zwei Jahrhunderte vor der Erfindung der Infinitesimalrechnung in Europa abgeschlossen wurde, lieferte das, was heute als das erste Beispiel einer Potenzreihe gilt (abgesehen von geometrischen Reihen). Sie haben jedoch weder eine systematische Theorie der Differenzierung und Integration formuliert , noch gibt es direkte Beweise dafür, dass ihre Ergebnisse außerhalb Keralas weitergegeben werden .

Beiträge

Unendliche Reihe und Infinitesimalrechnung

Die Kerala-Schule hat eine Reihe von Beiträgen zu den Gebieten der unendlichen Reihen und der Infinitesimalrechnung geleistet . Dazu gehören die folgenden (unendlichen) geometrischen Reihen:

Die Kerala-Schule machte intuitiven Gebrauch von der mathematischen Induktion , obwohl die induktive Hypothese noch nicht formuliert oder in Beweisen verwendet wurde. Sie nutzten dies, um einen halbstrengen Beweis für das Ergebnis zu finden:

für große n .

Sie wandten Ideen aus (was werden) Differential und Integral Kalkül zu erhalten ( Taylor-Maclaurin ) unendliche Reihe für , und . Das Tantrasangraha-vakhya gibt die Reihe in Versen wieder, die, wenn sie in mathematische Notation übersetzt werden, wie folgt geschrieben werden können:

wobei für die Reihen auf die Standardpotenzreihe für diese trigonometrischen Funktionen reduziert werden, zum Beispiel:

und

(Die Kerala-Schule verwendete nicht die „faktorielle“ Symbolik.)

Die Kerala-Schule benutzte die Rektifikation (Längenberechnung) des Kreisbogens, um diese Ergebnisse zu beweisen. (Die spätere Methode von Leibniz, die Quadratur ( dh die Berechnung der Fläche unter dem Kreisbogen) verwendet, wurde noch nicht entwickelt.) Sie nutzten auch die Reihenentwicklung von , um einen unendlichen Reihenausdruck (später bekannt als Gregory-Reihe) zu erhalten. für :

Von besonderem Interesse ist ihre rationale Approximation des Fehlers für die endliche Summe ihrer Reihen. Zum Beispiel der Fehler, , (für n ungerade und i = 1, 2, 3 ) für die Reihe:

wo

Sie manipulierten die Terme, indem sie die partielle Bruchentwicklung von : benutzten , um eine schneller konvergierende Reihe für zu erhalten :

Sie benutzten die verbesserte Reihe, um einen rationalen Ausdruck abzuleiten, um bis zu neun Dezimalstellen zu korrigieren, dh . Sie nutzten eine intuitive Vorstellung von einem Grenzwert , um diese Ergebnisse zu berechnen. Die Mathematiker der Kerala-Schule gaben auch eine halbstrenge Methode zur Differenzierung einiger trigonometrischer Funktionen, obwohl der Begriff einer Funktion oder von exponentiellen oder logarithmischen Funktionen noch nicht formuliert war.

Erkennung

Im Jahr 1825 veröffentlichte John Warren eine Memoiren über die Teilung der Zeit in Südindien, genannt Kala Sankalita , die kurz die Entdeckung unendlicher Reihen durch die Astronomen von Kerala erwähnt.

Die Werke der Kerala-Schule wurden erstmals 1835 von dem Engländer CM Whish für die westliche Welt geschrieben . Laut Whish hatten die Kerala-Mathematiker „den Grundstein für ein vollständiges System von Fluxionen gelegt“ und diese Werke waren reich an „fließenden Formen und Serien“. in keinem Werk des Auslands zu finden". Whishs Ergebnisse wurden jedoch fast vollständig vernachlässigt, bis über ein Jahrhundert später die Entdeckungen der Kerala-Schule von CT Rajagopal und seinen Mitarbeitern erneut untersucht wurden. Ihre Arbeit beinhaltet Kommentare zu den Beweisen der arctan Serie in Yuktibhasa in zwei Papieren gegeben, ein Kommentar zu den Yuktibhasa ' s Beweis für die Sinus- und Cosinus - Serie und zwei Papiere, die die bieten Sanskrit Verse des Tantrasangrahavakhya für die Serie für arctan, sin , und Cosinus (mit englischer Übersetzung und Kommentar).

1952 schrieb Otto Neugebauer über die tamilische Astronomie.

1972 KV Sarma veröffentlichte seine Eine Geschichte der Kerala School of Hindu Astronomie , die Merkmale der Schule, wie die Kontinuität des Wissens Übertragung aus dem 13. bis 17. Jahrhundert beschrieben: Govinda Bhattathiri zu Parameshvara zu Damodara zu Nilakantha Somayaji zu Jyesthadeva zu Acyuta Pisarati . Die Übertragung vom Lehrer zum Schüler bewahrte Wissen in "einer praktischen, demonstrativen Disziplin wie der Astronomie zu einer Zeit, als es keine Verbreitung von gedruckten Büchern und öffentlichen Schulen gab".

1994 wurde argumentiert, dass das heliozentrische Modell um 1500 n. Chr. in Kerala übernommen wurde.

Mögliche Übermittlung von Schulergebnissen aus Kerala nach Europa

AK Bag schlug 1979 vor, dass das Wissen über diese Ergebnisse möglicherweise von Händlern und Jesuitenmissionaren über die Handelsroute von Kerala nach Europa übertragen wurde . Kerala stand in ständigem Kontakt mit China und Arabien und Europa . Der Vorschlag einiger Kommunikationswege und einer Chronologie durch einige Gelehrte könnte eine solche Übertragung ermöglichen; es gibt jedoch keine direkten Hinweise durch entsprechende Manuskripte, dass eine solche Übermittlung stattgefunden hat. Laut David Bressoud "gibt es keine Beweise dafür, dass das indische Werk der Serie bis zum 19. VJ Katz stellt fest , einige der Ideen der Kerala Schule Ähnlichkeiten müssen die Arbeit des 11. Jahrhunderts irakische Gelehrte Ibn al-Haytham , eine mögliche Übertragung von Ideen aus was darauf hindeutet , islamischen Mathematik zu Kerala.

Sowohl arabische als auch indische Gelehrte machten vor dem 17. Jahrhundert Entdeckungen, die heute als Teil der Infinitesimalrechnung gelten. Laut VJ Katz mussten sie noch "viele unterschiedliche Ideen unter den beiden vereinigenden Themen der Ableitung und des Integrals kombinieren , die Verbindung zwischen den beiden aufzeigen und die Analysis zu dem großen Problemlösungswerkzeug machen, das wir heute haben", wie Newton und Leibniz . Die intellektuellen Karrieren von Newton und Leibniz sind gut dokumentiert, und es gibt keinen Hinweis darauf, dass ihre Arbeit nicht ihre eigene ist; es ist jedoch nicht mit Sicherheit bekannt, ob die unmittelbaren Vorgänger von Newton und Leibniz, "darunter insbesondere Fermat und Roberval, von einigen Ideen der islamischen und indischen Mathematiker durch uns heute nicht bekannte Quellen erfahren haben". Dies ist ein aktiver Bereich der aktuellen Forschung, insbesondere in den Handschriftensammlungen Spaniens und des Maghreb , die jetzt unter anderem am Centre national de la recherche scientifique in Paris betrieben wird .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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Externe Links