Krulls Theorem - Krull's theorem
In Mathematik und insbesondere in Ringtheorie , Krull Theorem , benannt nach Wolfgang Krull , behauptet , dass ein Nicht - Null - Ring mindestens ein hat maximales Ideal . Der Satz wurde 1929 von Krull bewiesen, der die transfinite Induktion verwendete . Der Satz lässt einen einfachen Beweis unter Verwendung von Zorns Lemma zu und entspricht tatsächlich Zorns Lemma , das wiederum dem Axiom der Wahl entspricht .
Varianten
- Für nichtkommutative Ringe gelten auch die Analoga für maximale linke Ideale und maximale rechte Ideale.
- Für Pseudoringe gilt der Satz für reguläre Ideale .
- Ein etwas stärkeres (aber gleichwertiges) Ergebnis, das auf ähnliche Weise nachgewiesen werden kann, ist wie folgt:
- Lassen Sie R ein Ring, und bin ich sein , die richtige ideal von R . Dann gibt es ein maximales Ideal von R, das I enthält .
- Dieses Ergebnis impliziert den ursprünglichen Satz, indem I als Nullideal (0) angenommen wird. Umgekehrt führt die Anwendung des ursprünglichen Satzes auf R / I zu diesem Ergebnis.
- Um das stärkere Ergebnis direkt zu beweisen, betrachten Sie die Menge S aller richtigen Ideale von R, die I enthalten . Das Set S ist nicht leer , da ich ∈ S . Ferner ist für jede Kette T von S , die Vereinigung der Ideale in T ein idealen J , und eine Vereinigung von Idealen nicht 1 , enthaltend 1 nicht enthalten, so J ∈ S . Durch Zorns Lemma, S hat ein maximales Element M . Dieses M ist ein maximales Ideal, das I enthält .
Krulls Hauptidealsatz
Ein anderer Satz, der allgemein als Krulls Satz bezeichnet wird:
- Sei ein Noether-Ring, dessen Element weder ein Nullteiler noch eine Einheit ist . Dann ist jedes minimal Primideals enthalten hat Höhe 1.
Anmerkungen
Verweise
- Krull, W. (1929). "Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen". Mathematische Annalen . 101 (1): 729–744. doi : 10.1007 / BF01454872 .
- Hodges, W. (1979). "Krull impliziert Zorn". Zeitschrift der London Mathematical Society . s2-19 (2): 285–287. doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.285 .