Krulls Theorem - Krull's theorem

In Mathematik und insbesondere in Ringtheorie , Krull Theorem , benannt nach Wolfgang Krull , behauptet , dass ein Nicht - Null - Ring mindestens ein hat maximales Ideal . Der Satz wurde 1929 von Krull bewiesen, der die transfinite Induktion verwendete . Der Satz lässt einen einfachen Beweis unter Verwendung von Zorns Lemma zu und entspricht tatsächlich Zorns Lemma , das wiederum dem Axiom der Wahl entspricht .

Varianten

  • Für nichtkommutative Ringe gelten auch die Analoga für maximale linke Ideale und maximale rechte Ideale.
  • Für Pseudoringe gilt der Satz für reguläre Ideale .
  • Ein etwas stärkeres (aber gleichwertiges) Ergebnis, das auf ähnliche Weise nachgewiesen werden kann, ist wie folgt:
Lassen Sie R ein Ring, und bin ich sein , die richtige ideal von R . Dann gibt es ein maximales Ideal von R, das I enthält .
Dieses Ergebnis impliziert den ursprünglichen Satz, indem I als Nullideal (0) angenommen wird. Umgekehrt führt die Anwendung des ursprünglichen Satzes auf R / I zu diesem Ergebnis.
Um das stärkere Ergebnis direkt zu beweisen, betrachten Sie die Menge S aller richtigen Ideale von R, die I enthalten . Das Set S ist nicht leer , da ichS . Ferner ist für jede Kette T von S , die Vereinigung der Ideale in T ein idealen J , und eine Vereinigung von Idealen nicht 1 , enthaltend 1 nicht enthalten, so JS . Durch Zorns Lemma, S hat ein maximales Element M . Dieses M ist ein maximales Ideal, das I enthält .

Krulls Hauptidealsatz

Ein anderer Satz, der allgemein als Krulls Satz bezeichnet wird:

Sei ein Noether-Ring, dessen Element weder ein Nullteiler noch eine Einheit ist . Dann ist jedes minimal Primideals enthalten hat Höhe 1.

Anmerkungen

Verweise