Kruskal-Wallis-Einweg-Varianzanalyse - Kruskal–Wallis one-way analysis of variance

Der Kruskal-Wallis-Test nach Rängen, Kruskal-Wallis- H- Test (benannt nach William Kruskal und W. Allen Wallis ) oder die Einweg-ANOVA nach Rängen ist eine nicht parametrische Methode zum Testen, ob Stichproben aus derselben Verteilung stammen. Es wird verwendet, um zwei oder mehr unabhängige Stichproben mit gleicher oder unterschiedlicher Stichprobengröße zu vergleichen. Er erweitert den Mann-Whitney- U- Test , der zum Vergleich von nur zwei Gruppen verwendet wird. Das parametrische Äquivalent des Kruskal-Wallis-Tests ist die Einweg-Varianzanalyse (ANOVA).

Ein signifikanter Kruskal-Wallis-Test zeigt an, dass mindestens eine Stichprobe eine andere Stichprobe stochastisch dominiert . Der Test identifiziert nicht, wo diese stochastische Dominanz auftritt oder für wie viele Paare von Gruppen stochastische Dominanz gilt. Zur Analyse der spezifischen Stichprobenpaare auf stochastische Dominanz werden manchmal der Dunn-Test, paarweise Mann-Whitney- Tests mit Bonferroni-Korrektur oder der leistungsfähigere, aber weniger bekannte Conover-Iman-Test verwendet.

Da es sich um eine nichtparametrische Methode handelt, geht der Kruskal-Wallis-Test im Gegensatz zur analogen einseitigen Varianzanalyse nicht von einer Normalverteilung der Residuen aus. Wenn der Forscher die Annahme einer identisch geformten und skalierten Verteilung für alle Gruppen treffen kann, mit Ausnahme jeglicher Medianunterschiede, dann lautet die Nullhypothese, dass die Mediane aller Gruppen gleich sind, und die Alternativhypothese lautet, dass mindestens ein Populationsmedian einer Gruppe unterscheidet sich vom Bevölkerungsmedian mindestens einer anderen Gruppe.

Methode

1. Rang alle Daten aus allen Gruppen zusammen; dh die Daten von 1 bis N ordnen, wobei die Gruppenmitgliedschaft ignoriert wird. Weisen Sie allen gebundenen Werten den Durchschnitt der Ränge zu, die sie erhalten hätten, wenn sie nicht gleich waren.
2. Die Teststatistik ergibt sich aus:

   ${\displaystyle H=(N-1){\frac {\sum_{i=1}^{g}n_{i}({\bar {r}}_{i\cdot }-{\bar {r }})^{2}}{\sum_{i=1}^{g}\sum_{j=1}^{n_{i}}(r_{ij}-{\bar {r}}) ^{2}}},}$ wo:

   • ${\displaystyle N}$ ist die Gesamtzahl der Beobachtungen über alle Gruppen
   • ${\displaystyle g}$ ist die Anzahl der Gruppen
   • ${\displaystyle n_{i}}$ ist die Anzahl der Beobachtungen in der Gruppe ${\displaystyle i}$
   • ${\displaystyle r_{ij}}$ist der Rang (unter allen Beobachtungen) der Beobachtung aus der Gruppe${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$
   • ${\displaystyle {\bar{r}}_{i\cdot}={\frac {\sum_{j=1}^{n_{i}}{r_{ij}}}{n_{i}}} }$ ist der durchschnittliche Rang aller Beobachtungen in der Gruppe ${\displaystyle i}$
   • ${\displaystyle {\bar{r}}={\tfrac {1}{2}}(N+1)}$ist der Durchschnitt aller .${\displaystyle r_{ij}}$
3. Wenn die Daten keine Bindungen enthalten, ist der Nenner des Ausdrucks für genau und . Daher ${\displaystyle H}$${\displaystyle (N-1)N(N+1)/12}$${\displaystyle {\bar {r}}={\tfrac {N+1}{2}}}$

   ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}H&={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}\left({\bar {r }}_{i\cdot}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _ {i=1}^{g}n_{i}{\bar{r}}_{i\cdot}^{2}-\ 3(N+1)\end{ausgerichtet}}}$
   Die letzte Formel enthält nur die Quadrate der durchschnittlichen Ränge.

4. Eine Korrektur für Gleichstände, wenn die im vorherigen Punkt beschriebene Abkürzungsformel verwendet wird, kann durch Division durch vorgenommen werden , wobei G die Anzahl der Gruppierungen unterschiedlicher gebundener Ränge und t _i die Anzahl der gebundenen Werte innerhalb der Gruppe i ist , die gebunden sind auf einen bestimmten Wert. Diese Korrektur macht normalerweise wenig Unterschied im Wert von H, es sei denn, es gibt eine große Anzahl von Bindungen.${\displaystyle H}$${\displaystyle 1-{\frac {\sum_{i=1}^{G}(t_{i}^{3}-t_{i})}{N^{3}-N}}}$
5. Schließlich wird die Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen oder nicht, durch Vergleich mit einem kritischen Wert getroffen , der aus einer Tabelle oder einer Software für ein gegebenes Signifikanz- oder Alpha-Niveau erhalten wird. Wenn größer als ist , wird die Nullhypothese abgelehnt. Wenn möglich (keine Gleichheit, Stichprobe nicht zu groß) sollte mit dem kritischen Wert verglichen werden , der sich aus der genauen Verteilung von ergibt . Andernfalls kann die Verteilung von H durch eine Chi-Quadrat-Verteilung mit g-1 Freiheitsgraden angenähert werden . Wenn einige Werte klein sind (dh weniger als 5) die genaue Wahrscheinlichkeitsverteilung von aus dieser ganz anders sein Chi-Quadrat - Verteilung . Wenn eine Tabelle der Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeitsverteilung verfügbar ist, kann der kritische Wert von Chi-Quadrat, , gefunden werden, indem Sie die Tabelle bei g  − 1 Freiheitsgraden eingeben und unter dem gewünschten Signifikanz- oder Alpha-Niveau suchen .${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{c}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{c}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \chi_{\alpha:g-1}^{2}}$
6. Wenn die Statistik nicht signifikant ist, gibt es keinen Hinweis auf eine stochastische Dominanz zwischen den Stichproben. Wenn der Test jedoch signifikant ist, dominiert stochastisch mindestens eine Stichprobe eine andere Stichprobe. Daher könnte ein Forscher Stichprobenkontraste zwischen einzelnen Stichprobenpaaren oder Post-hoc- Tests mit dem Dunn-Test verwenden, der (1) die gleichen Rangordnungen wie der Kruskal-Wallis-Test richtig verwendet und (2) die gepoolte Varianz, die durch die Null impliziert wird, richtig verwendet Hypothese des Kruskal-Wallis-Tests, um zu bestimmen, welche der Stichprobenpaare signifikant unterschiedlich sind. Bei der Durchführung von Mehrfachprobenkontrasten oder -tests neigt die Fehlerrate vom Typ I dazu, überhöht zu werden, was Bedenken hinsichtlich Mehrfachvergleichen aufkommen lässt .

Genaue Wahrscheinlichkeitstabellen

Um genaue Wahrscheinlichkeiten für den Kruskal-Wallis-Test zu berechnen, ist eine große Menge an Rechenressourcen erforderlich. Existierende Software liefert nur für Stichprobengrößen von weniger als etwa 30 Teilnehmern genaue Wahrscheinlichkeiten. Diese Softwareprogramme beruhen auf einer asymptotischen Approximation für größere Stichprobengrößen.

Genaue Wahrscheinlichkeitswerte für größere Stichprobenumfänge sind verfügbar. Spurrier (2003) veröffentlichte exakte Wahrscheinlichkeitstabellen für Stichproben von bis zu 45 Teilnehmern. Meyer und Seaman (2006) erstellten exakte Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Stichproben von bis zu 105 Teilnehmern.

Genaue Verteilung von ${\displaystyle H}$

Choi et al. machte eine Überprüfung von zwei Methoden, die entwickelt worden waren, um die genaue Verteilung von zu berechnen , schlug eine neue vor und verglich die genaue Verteilung mit ihrer Chi-Quadrat-Näherung. ${\displaystyle H}$

Siehe auch

• Friedman-Test
• Jonckheeres Trendtest

Verweise

Weiterlesen

• Daniel, Wayne W. (1990). "Kruskal-Wallis-Einweg-Varianzanalyse nach Rängen" . Angewandte nichtparametrische Statistik (2. Aufl.). Boston: PWS-Kent. S. 226–234. ISBN 0-534-91976-6.

Externe Links

• Eine Online-Version des Tests