L p Raum - Lp space

In der Mathematik , die L p Räume sind Funktionsräume unter Verwendung einer natürliche Verallgemeinerung des definierten p -Norm für endlich-dimensionale Vektorräume . Sie werden manchmal als Lebesgue-Räume bezeichnet , benannt nach Henri Lebesgue ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), obwohl sie nach der Bourbaki- Gruppe ( Bourbaki 1987 ) zuerst von Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ) eingeführt wurden. L p Räume bilden eine wichtige Klasse von Banachräumen in Funktionsanalyse und der topologischen Vektorräume . Aufgrund ihrer Schlüsselrolle in der mathematischen Analyse von Maß- und Wahrscheinlichkeitsräumen werden Lebesgue-Räume auch in der theoretischen Diskussion von Problemen in Physik, Statistik, Finanzwesen, Ingenieurwissenschaften und anderen Disziplinen verwendet.

Anwendungen

Statistiken

In Statistiken , Maßnahmen der zentralen Tendenz und statistischer Streuung , wie der Mittelwert , Medianwert und die Standardabweichung , sind in Form von definierten L p - Metriken und Maßnahmen der zentralen Tendenz können charakterisiert werden als Lösungen Variationsprobleme .

In bestrafen Regression „L1 Strafe“ und „L2 Strafe“ entweder auf die zu benachteiligen beziehen L 1 norm einer Lösung des Vektors der Parameterwerte (dh , die Summe ihrer Absolutwert) oder seine L 2 norm (seine euklidische Länge ). Techniken, die einen L1-Abzug verwenden, wie LASSO , fördern Lösungen, bei denen viele Parameter Null sind. Techniken, die eine L2-Strafe verwenden, wie die Ridge-Regression , fördern Lösungen, bei denen die meisten Parameterwerte klein sind. Die Elastische Netzregularisierung verwendet einen Strafterm, der eine Kombination aus der L 1 -Norm und der L 2 -Norm des Parametervektors ist.

Hausdorff–Junge Ungleichung

Die Fourier-Transformation für die reelle Gerade (oder für periodische Funktionen siehe Fourier-Reihe ) bildet L p ( R ) auf L q ( R ) (bzw. L p ( T ) auf q ) ab, wobei 1 ≤ p ≤ 2 und 1/P + 1/Q= 1 . Dies ist eine Folge des Riesz-Thorin-Interpolationstheorems und wird mit der Hausdorff-Young-Ungleichung präzisiert .

Im Gegensatz dazu, wenn p > 2 , wird die Fourier-Transformation nicht in L q abgebildet .

Hilbert-Räume

Hilberträume sind für viele Anwendungen von zentraler Bedeutung, von der Quantenmechanik bis zur stochastischen Analysis . Die Räume L 2 und 2 sind beide Hilberträume. Tatsächlich sieht man durch die Wahl einer Hilbert-Basis (dh einer maximalen orthonormalen Teilmenge von L 2 oder einem beliebigen Hilbert-Raum), dass alle Hilbert-Räume isometrisch zu 2 ( E ) sind , wobei E eine Menge mit einer geeigneten Kardinalität ist.

Die p -Norm in endlichen Dimensionen

Abbildungen von Einheitskreisen (siehe auch Superellipse ) im R 2 basierend auf verschiedenen p -Normen (jeder Vektor vom Ursprung zum Einheitskreis hat die Länge Eins, wobei die Länge mit Längenformel des entsprechenden p berechnet wird ).

Die Länge eines Vektors x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) im n- dimensionalen reellen Vektorraum R n wird üblicherweise durch die euklidische Norm angegeben :

Der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten x und y ist die Länge || xy || 2 der Geraden zwischen den beiden Punkten. In vielen Situationen reicht die euklidische Distanz nicht aus, um die tatsächlichen Distanzen in einem gegebenen Raum zu erfassen. Eine Analogie dazu schlagen Taxifahrer in einem Rasterstraßenplan vor, die die Entfernung nicht anhand der Länge der geraden Linie zu ihrem Ziel, sondern anhand der geradlinigen Entfernung messen sollten , die berücksichtigt, dass Straßen entweder orthogonal oder parallel zueinander. Die Klasse der p- Normen verallgemeinert diese beiden Beispiele und hat eine Fülle von Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik , Physik und Informatik .

Definition

Für eine reelle Zahl p ≥ 1 ist die p -Norm bzw. L p -Norm von x definiert durch

Die Absolutwertbalken sind unnötig, wenn p eine rationale Zahl ist und in reduzierter Form einen geraden Zähler hat.

Die euklidische Norm von oben fällt in diese Klasse und ist die 2- Norm , und die 1- Norm ist die Norm, die dem geradlinigen Abstand entspricht .

Die L -Norm oder maximale Norm (oder einheitliche Norm) ist der Grenzwert der L p -Normen für p → ∞ . Es stellt sich heraus, dass diese Grenze der folgenden Definition entspricht:

Siehe L- unendlich .

Für alle p ≥ 1 erfüllen die p -Normen und die maximale Norm, wie oben definiert, tatsächlich die Eigenschaften einer "Längenfunktion" (oder Norm ), die lauten:

Abstrakt gesagt bedeutet dies, dass R n zusammen mit der p- Norm ein Banach-Raum ist . Dieser Banach-Raum ist der L p -Raum über R n .

Beziehungen zwischen p -Normen

Der Gitterabstand oder geradlinige Abstand (manchmal auch " Manhattan-Abstand " genannt) zwischen zwei Punkten ist nie kürzer als die Länge des Liniensegments zwischen ihnen (der euklidische oder "Luftlinie"-Abstand). Formal bedeutet dies, dass die euklidische Norm eines beliebigen Vektors durch ihre 1-Norm beschränkt ist:

Diese Tatsache lässt sich auf p -Normen verallgemeinern, indem die p -Norm || x || p eines beliebigen Vektors x wächst nicht mit p :

|| x || p + a || x || p für einen beliebigen Vektor x und reelle Zahlen p ≥ 1 und a ≥ 0 . (Tatsächlich gilt dies auch für 0 < p < 1 und a ≥ 0 .)

Für die entgegengesetzte Richtung ist folgender Zusammenhang zwischen der 1- Norm und der 2- Norm bekannt:

Diese Ungleichung hängt von der Dimension n des zugrunde liegenden Vektorraums ab und folgt direkt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung .

Im Allgemeinen gilt für Vektoren in C n mit 0 < r < p :

Dies ist eine Folge der Hölderschen Ungleichung .

Wenn 0 < p < 1

Astroide , Einheitskreis in p =2/3 metrisch

In R n für n > 1 gilt die Formel

definiert eine absolut homogene Funktion für 0 < p < 1 ; Die resultierende Funktion definiert jedoch keine Norm, da sie nicht subadditiv ist . Auf der anderen Seite ist die Formel

definiert eine subadditive Funktion auf Kosten des Verlustes der absoluten Homogenität. Es definiert jedoch eine F-Norm , die vom Grad p homogen ist .

Daher ist die Funktion

definiert eine Metrik . Der metrische Raum ( R n , d p ) wird durch bezeichnet l n p .

Obwohl die p- Einheitskugel B n p um den Ursprung in dieser Metrik "konkav" ist, ist die auf R n durch die Metrik d p definierte Topologie die übliche Vektorraumtopologie von R n , daher ist n p eine lokal konvexe Topologie Vektorraum. Über diese qualitative Aussage hinaus besteht eine quantitative Möglichkeit, die Konvexität von n p zu messen, darin, die kleinste Konstante C mit C p ( n ) zu bezeichnen, so dass das Vielfache C B n p der p- Einheitskugel die konvexe Hülle von enthält B n p , gleich B n 1 . Die Tatsache, dass für festes p < 1 gilt

zeigt, dass der unten definierte unendlichdimensionale Folgenraum p nicht mehr lokal konvex ist.

Wenn p = 0

Es gibt eine 0- Norm und eine weitere Funktion namens 0 "Norm" (mit Anführungszeichen).

Die mathematische Definition der l 0 Norm wurde von etabliertem Banach ‚s Theorie der linearen Operationen . Der Folgenraum hat eine vollständige metrische Topologie, die von der F-Norm bereitgestellt wird

die von Stefan Rolewicz in Metric Linear Spaces diskutiert wird . Der 0 -normierte Raum wird in der Funktionalanalyse, Wahrscheinlichkeitstheorie und harmonischen Analyse untersucht.

Eine andere Funktion wurde von David Donoho die 0 "Norm" genannt – deren Anführungszeichen warnen, dass diese Funktion keine richtige Norm ist – ist die Anzahl der Nicht-Null-Einträge des Vektors x . Viele Autoren missbrauchen die Terminologie, indem sie die Anführungszeichen weglassen. Definition von 0 0 = 0 , die Null-"Norm" von x ist gleich

Ein animiertes Gif der p-Normen 0,1 bis 2 mit einer Schrittweite von 0,05.
Ein animiertes Gif der p-Normen 0,1 bis 2 mit einer Schrittweite von 0,05.

Dies ist keine Norm, da sie nicht homogen ist . Das Skalieren des Vektors x mit einer positiven Konstanten ändert beispielsweise nichts an der "Norm". Trotz dieser Mängel als mathematische Norm findet die Nicht-Null-Zähl-"Norm" Anwendung in der wissenschaftlichen Berechnung , Informationstheorie und Statistik – insbesondere in der komprimierten Abtastung in der Signalverarbeitung und der computergestützten harmonischen Analyse . Obwohl es sich nicht um eine Norm handelt, ist die zugehörige Metrik, die als Hamming-Distanz bekannt ist, eine gültige Distanz, da für Distanzen keine Homogenität erforderlich ist.

Die p -Norm in unendlichen Dimensionen und p Räumen

Der Folgenraum p

Die p- Norm kann auf Vektoren mit unendlich vielen Komponenten ( Folgen ) erweitert werden, was den Raum p ergibt . Diese enthält als Sonderfälle:

Der Sequenzenraum hat eine natürliche Vektorraumstruktur durch Anwenden von Addition und Skalarmultiplikation Koordinate für Koordinate. Explizit sind die Vektorsumme und die Skalarwirkung für unendliche Folgen reeller (oder komplexer ) Zahlen gegeben durch:

Definiere die p- Norm:

Hier tritt eine Komplikation auf, nämlich dass die Reihe rechts nicht immer konvergent ist, so dass beispielsweise die Folge, die nur aus Einsen besteht, (1, 1, 1, ...) eine unendliche p -Norm für hat 1 ≤ p < ∞ . Der Raum  p ist dann definiert als die Menge aller unendlichen Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen, so dass die p -Norm endlich ist.

Man kann überprüfen, dass mit steigendem p die Menge  p größer wird. Zum Beispiel die Sequenz

ist nicht in  1 , aber in  p für p > 1 , da die Reihe

divergiert für p = 1 (die harmonische Reihe ), ist aber für p > 1 konvergent .

Man definiert die -Norm auch mit dem Supremum :

und der entsprechende Raum  ∞ aller beschränkten Folgen. Es stellt sich heraus, dass

wenn die rechte Seite endlich oder die linke Seite unendlich ist. Wir betrachten also p Räume für 1 ≤ p ≤ ∞ .

Die p -Norm somit auf definierte l  p ist in der Tat eine Norm, und l p zusammen mit dieser Norm ist ein Banachraum . Der voll allgemeine L p Raum erhalten wird -wie nachfolgend durch Berücksichtigung Vektoren gesehen, nicht nur mit endlich oder unendlich vielen countably-Komponenten, jedoch mit „ beliebig vielen Komponenten “; mit anderen Worten, Funktionen . Ein Integral anstelle einer Summe wird verwendet, um die p -Norm zu definieren .

Allgemeines ℓ p -Leerzeichen

In völliger Analogie zur vorhergehenden Definition kann man den Raum über einer allgemeinen Indexmenge (und ) definieren als

,

wobei Konvergenz rechts bedeutet, dass nur abzählbar viele Summanden von Null verschieden sind (siehe auch Unbedingte Konvergenz ). Mit der Norm

der Raum wird ein Banachraum. Im Fall von endlich mit Elementen ergibt diese Konstruktion R n mit der oben definierten -Norm. Wenn abzählbar unendlich ist, ist dies genau der oben definierte Folgenraum . Für überabzählbare Mengen ist dies ein nicht separierbarer Banachraum, der als lokal konvexer direkter Limes von -Folgenräumen angesehen werden kann.

Der Indexsatz kann in einen drehbar Maßraum , indem sie den diskreten σ-Algebra und die Zählmaß . Dann ist der Raum nur ein Sonderfall des allgemeineren -Raums (siehe unten).

L p- Räume und Lebesgue-Integrale

Ein L p Raum kann als Raum von messbaren Funktionen , für die die definiert werden -te Leistung des Absolutwert ist Lebesgue integrierbar , wo Funktionen , die fast überall stimmen darin überein, identifiziert. Allgemeiner sei 1 ≤ p < ∞ und ( S , Σ, μ ) ein Maßraum . Betrachten Sie die Menge aller messbaren Funktionen von S bis C oder R, deren absoluter Wert zur p- ten Potenz ein endliches Integral hat, oder äquivalent, dass

Die Menge solcher Funktionen bildet einen Vektorraum mit den folgenden natürlichen Operationen:

für jeden Skalar λ .

Dass die Summe zweier p- ter Potenz integrierbarer Funktionen wieder p- te Potenz integrierbar ist folgt aus der Ungleichung

(Dies kommt von der Konvexität von für .)

Tatsächlich ist mehr wahr. Die Minkowski-Ungleichung besagt, dass die Dreiecksungleichung für || . gilt · || s . Somit ist die Menge der p- ten Potenz integrierbaren Funktionen zusammen mit der Funktion || · || p , ist ein seminormierter Vektorraum, der mit bezeichnet wird .

Für p = ∞ ist der Raum der Raum der fast überall beschränkten messbaren Funktionen, mit dem wesentlichen Suprem seines Absolutwertes als Norm:

Wie im diskreten Fall, wenn es vorhanden ist q <∞ , so dass f   ∈ L ( S , μ ) ∩ L q ( S , μ ) , dann

kann auf standardisierte Weise in einen normierten Vektorraum umgewandelt werden; man nimmt einfach den Quotientenraum bezüglich des Kerns von || · || s . Da für jede messbare Funktion f gilt || f  || p = 0 genau dann, wenn f   = 0 fast überall , der Kern von || · || p hängt nicht von p ab ,

Im Quotientenraum werden zwei Funktionen f und g identifiziert, wenn f   = g fast überall. Der resultierende normierte Vektorraum ist per Definition

Im Allgemeinen kann dieser Prozess nicht rückgängig gemacht werden: Es gibt keinen konsistenten Weg, einen "kanonischen" Repräsentanten jeder Nebenmenge von in zu definieren . Für jedoch gibt es eine Theorie von Aufzügen, die eine solche Erholung ermöglichen.

Wenn der zugrunde liegende Maßraum S verstanden wird, wird L p ( S , µ ) oft mit L p ( µ ) oder einfach nur L p abgekürzt .

Für 1 ≤ p ≤ ∞ ist L p ( S , μ ) ein Banachraum . Die Tatsache, dass L p vollständig ist, wird oft als Riesz-Fischer-Theorem bezeichnet und kann mit den Konvergenzsätzen für Lebesgue-Integrale bewiesen werden .

Die obigen Definitionen verallgemeinern auf Bochner-Räume .

Sonderfälle

Ähnlich den p- Räumen ist L 2 der einzige Hilbert-Raum unter den L p- Räumen. Im komplexen Fall ist das innere Produkt auf L 2 definiert durch

Die zusätzliche innere Produktstruktur ermöglicht eine reichere Theorie mit Anwendungen beispielsweise auf Fourier-Reihen und Quantenmechanik . Funktionen in L 2 werden manchmal als quadratisch integrierbare Funktionen , quadratintegrierbare Funktionen oder quadratsummierbare Funktionen bezeichnet , manchmal sind diese Begriffe jedoch Funktionen vorbehalten, die in einem anderen Sinne quadratintegrierbar sind, etwa im Sinne eines Riemann-Integrals ( Titchmarsh 1976 ).

Bei komplexwertigen Funktionen ist der Raum L eine kommutative C*-Algebra mit punktweiser Multiplikation und Konjugation. Für viele Maßräume, einschließlich aller sigma-endlichen, ist es tatsächlich eine kommutative von Neumann-Algebra . Ein Element von L definiert einen beschränkten Operator auf jedem L p Raum , der durch Multiplikation .

Für 1 ≤ p ≤ ∞ sind die p- Räume ein Spezialfall von L p- Räumen, wenn S = N und μ das Zählmaß auf N ist . Allgemeinen gesagt , wenn man jeden Satz hält S mit dem Zählmaß, der resultierende L p ist Raum bezeichnet l p ( S ) . Zum Beispiel ist der Raum p ( Z ) der Raum aller Folgen, die durch die ganzen Zahlen indiziert sind, und wenn man die p -Norm auf einem solchen Raum definiert, summiert man über alle ganzen Zahlen. Der Raum p ( n ) , wobei n die Menge mit n Elementen ist, ist R n mit seiner p- Norm wie oben definiert. Wie jeder Hilbert-Raum ist jeder Raum L 2 linear isometrisch zu einem geeigneten 2 ( I ) , wobei die Kardinalität der Menge I die Kardinalität einer beliebigen Hilbertschen Basis für dieses spezielle L 2 ist .

Eigenschaften von L p- Räumen

Doppelte Leerzeichen

Der Dualraum (der Banachraum aller stetigen linearen Funktionale) von L p ( μ ) für 1 < p < ∞ hat einen natürlichen Isomorphismus mit L q ( μ ) , wobei q so ist, dass1/P + 1/Q= 1 (dh q =P/p − 1). Dieser Isomorphismus verbindet gL q ( μ ) mit dem Funktional κ p ( g ) ∈ L p ( μ ) definiert durch

für jeden

Dass κ p ( g ) wohldefiniert und stetig ist, folgt aus der Hölderschen Ungleichung . κ p  : L q ( μ ) → L p ( μ ) ist eine lineare Abbildung, die eine Isometrie durch den Extremalfall der Hölderschen Ungleichung ist. Es ist auch möglich , zeigen (beispielsweise mit dem Satz von Radon-Nikodým , sieht) , dass jeder GL p ( μ ) * kann auf diese Weise ausgedrückt werden: das heißt, dass κ p ist , auf . Da κ p on- und isometrisch ist, ist es ein Isomorphismus von Banach-Räumen . Unter Berücksichtigung dieses (isometrischen) Isomorphismus ist es üblich, einfach zu sagen, dass L q der duale Banach-Raum von L p ist .

Für 1 < p <∞ , wobei der Raum L p ( μ ) ist reflexiv . Sei κ p wie oben und sei κ q  : L p ( μ ) → L q ( μ ) die entsprechende lineare Isometrie. Betrachten Sie die Abbildung von L p ( μ ) nach L p ( μ ) ∗∗ , die Sie erhalten, indem Sie κ q mit der Transponierten (oder Adjungierten) der Inversen von κ p zusammensetzen :

Diese Abbildung stimmt mit der kanonischen Einbettung J von L p ( μ ) in sein Bidual überein . Darüber hinaus ist die Abbildung j p auf als Zusammensetzung von zwei auf Isometrien, und dies beweist die Reflexivität.

Wenn das Maß μ auf S ist sigma-finite , dann ist die Dual von L 1 ( μ ) ist isometrisch isomorph zu L ( μ ) (genauer gesagt, die Karte κ 1 entsprechenden p = 1 ist eine Isometrie von L ( μ ) auf L 1 ( μ ) ).

Das Dual von L ist subtiler. Elemente von L ( μ ) * kann mit beschränkten unterzeichnet werden identifiziert endlich additive Maßnahmen auf S , die absolut kontinuierliche bezüglich μ . Weitere Informationen finden Sie unter ba space . Wenn wir das Auswahlaxiom annehmen, ist dieser Raum, außer in einigen trivialen Fällen, viel größer als L 1 ( μ ) . Allerdings Saharon Shelah bewiesen , dass es relativ konsistente Erweiterungen sind Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF + DC + „Jede Teilmenge der reellen Zahlen hat die Baireschen Eigenschaft “) , in denen die Doppel von l sind l 1 .

Einbettungen

Umgangssprachlich, wenn 1 ≤ p < q ≤ ∞ , dann enthält L p ( S , μ ) Funktionen, die lokal singulärer sind, während Elemente von L q ( S , μ ) weiter verteilt sein können. Betrachten Sie das Lebesgue-Maß auf der Halblinie (0, ∞) . Eine stetige Funktion in L 1 kann nahe 0 explodieren, muss aber ausreichend schnell gegen unendlich abklingen. Andererseits brauchen stetige Funktionen in L ∞ überhaupt nicht zu zerfallen, aber es ist kein Aufblasen erlaubt. Das genaue technische Ergebnis ist folgendes. Angenommen 0 < p < q ≤ ∞ . Dann:

  1. L q ( S , μ ) ⊂ L p ( S , μ ) falls S keine endlichen, sondern beliebig großen Mengen enthält, und
  2. L p ( S , μ ) L q ( S , μ ) genau dann , wenn S keine Mengen von nicht null, sondern beliebig kleinen Maßen enthält.

Keine Bedingung gilt für die reelle Linie mit dem Lebesgue-Maß. In beiden Fällen ist die Einbettung insofern kontinuierlich, als der Identitätsoperator im ersten Fall eine beschränkte lineare Abbildung von L q nach L p und im zweiten Fall von L p nach L q ist . (Dies ist eine Folge des geschlossenen Graphensatzes und der Eigenschaften von L p -Räumen.) In der Tat, wenn das Gebiet S endliches Maß hat, kann man die folgende explizite Rechnung mit der Hölderschen Ungleichung machen

führt zu

.

Die in obiger Ungleichung auftretende Konstante ist optimal in dem Sinne, dass die Operatornorm der Identität I  : L q ( S , μ ) → L p ( S , μ ) genau . ist

der Fall der Gleichheit wird genau dann erreicht, wenn f   = 1 µ -fast-überall.

Dichte Unterräume

In diesem Abschnitt nehmen wir an, dass: 1 ≤ p < ∞ .

Sei ( S , Σ, μ ) ein Maßraum. Eine integrierbare einfache Funktion f auf S ist eine der Form

wobei a j skalar ist, A j ∈ Σ endliches Maß hat und die Indikatorfunktion der Menge für j = 1, ..., n ist . Durch Konstruktion des Integrals ist der Vektorraum integrierbarer einfacher Funktionen dicht in L p ( S , Σ, μ ) .

Mehr kann gesagt werden, wenn S ein normaler topologischer Raum und Σ seine Borel σ –Algebra ist , dh die kleinste σ –Algebra von Teilmengen von S, die die offenen Mengen enthalten .

Angenommen, VS ist eine offene Menge mit μ ( V ) < ∞ . Es kann bewiesen werden, dass es für jede in V enthaltene Borel-Menge A ∈ Σ und für jedes ε > 0 eine abgeschlossene Menge F und eine offene Menge U gibt, so dass

Daraus folgt, dass es eine stetige Urysohn-Funktion 0 ≤ φ ≤ 1 auf S gibt, die 1 auf F und 0 auf SU ist , mit

Wenn S durch eine aufsteigende Folge ( V n ) offener Mengen mit endlichem Maß abgedeckt werden kann , dann ist der Raum der p –integrierbaren stetigen Funktionen dicht in L p ( S , Σ, μ ) . Genauer gesagt kann man beschränkte stetige Funktionen verwenden, die außerhalb einer der offenen Mengen V n verschwinden .

Dies gilt insbesondere dann, wenn S = R d und µ das Lebesgue-Maß ist. Der Raum stetiger und kompakt unterstützter Funktionen ist dicht in L p ( R d ) . In ähnlicher Weise ist der Raum der integrierbaren Stufenfunktionen dicht in L p ( R d ) ; dieser Raum ist die lineare Spanne von Indikatorfunktionen von beschränkten Intervallen, wenn d = 1 , von beschränkten Rechtecken, wenn d = 2 und allgemeiner von Produkten von beschränkten Intervallen.

Mehrere Eigenschaften allgemeiner Funktionen in L p ( R d ) werden zunächst für stetige und kompakt unterstützte Funktionen (manchmal für Stufenfunktionen) bewiesen und dann durch Dichte auf alle Funktionen erweitert. So wird zum Beispiel bewiesen, dass Übersetzungen auf L p ( R d ) stetig sind , im folgenden Sinne:

wo

L p (0 < p <1)

Sei ( S , Σ, μ ) ein Maßraum. Falls 0 < p < 1 , dann kann L p ( μ ) wie oben definiert werden: es ist der Vektorraum dieser messbaren Funktionen f mit

Wie zuvor können wir die p -Norm || f  || p = N p (  f  ) 1/ p , aber || · || p erfüllt in diesem Fall nicht die Dreiecksungleichung und definiert nur eine Quasi-Norm . Die für a , b 0 gültige Ungleichung ( a + b ) pa  p + b  p impliziert, dass ( Rudin 1991 , §1.47)

und damit die funktion

ist eine Metrik auf L p ( μ ) . Der resultierende metrische Raum ist vollständig ; die Verifikation ist ähnlich dem bekannten Fall, wenn p ≥ 1 ist .

In dieser Einstellung erfüllt L p eine umgekehrte Minkowski-Ungleichung , d. h. für u , v in L p

Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um die Ungleichungen von Clarkson zu beweisen , die wiederum verwendet werden, um die gleichmäßige Konvexität der Räume L p für 1 < p < ∞ zu bestimmen ( Adams & Fournier 2003 ).

Der Raum L p für 0 < p < 1 ist ein F-Raum : er lässt eine vollständige translationsinvariante Metrik zu, bezüglich der die Vektorraumoperationen stetig sind. Es ist auch lokal beschränkt , ähnlich wie im Fall p ≥ 1 . Es ist das prototypische Beispiel für einen F-Raum , der für die meisten vernünftigen Maßräume nicht lokal konvex ist : in  p oder L p ([0, 1]) ist jede offene konvexe Menge, die die 0- Funktion enthält, für p . unbeschränkt -Quasi-Norm; daher besitzt der 0- Vektor kein fundamentales System konvexer Umgebungen. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn der Maßraum S eine unendliche Familie von disjunkten messbaren Mengen endlicher positiver Maße enthält.

Die einzige nichtleere konvexe offene Menge in L p ([0, 1]) ist der gesamte Raum ( Rudin 1991 , §1.47). Als besondere Konsequenz gibt es auf L p ([0, 1]) keine von Null verschiedenen linearen Funktionale : der Dualraum ist der Nullraum. Beim Zählmaß auf den natürlichen Zahlen (Erzeugung des Folgenraums L p ( μ ) =  p ) sind die beschränkten linearen Funktionale auf  p genau die auf  1 beschränkten , nämlich die durch Folgen in ℓ . gegebenen  ∞ . Obwohl  p nicht-triviale konvexe offene Mengen enthält, hat es nicht genug davon, um eine Basis für die Topologie zu liefern.

Die Situation, keine linearen Funktionale zu haben, ist für die Zwecke der Analyse höchst unerwünscht. Im Fall des Lebesgue-Maßes auf R n , anstatt mit L p für 0 < p < 1 zu arbeiten , ist es üblich, wann immer möglich mit dem Hardy-Raum H  p zu arbeiten, da dieser einige lineare Funktionale hat: genug, um zu unterscheiden Punkte voneinander. Der Satz von Hahn-Banach versagt jedoch immer noch in H  p für p < 1 ( Düren 1970 , §7.5).

L 0 , der Raum der messbaren Funktionen

Der Vektorraum von (Äquivalenzklassen von) messbaren Funktionen auf ( S , Σ, μ ) wird mit L 0 ( S , Σ, μ ) bezeichnet ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). Per Definition enthält es alle L p und ist mit der Konvergenztopologie in Maß ausgestattet . Wenn μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist (dh μ ( S ) = 1 ), wird dieser Konvergenzmodus Konvergenz in Wahrscheinlichkeit genannt .

Die Beschreibung ist einfacher, wenn μ endlich ist. Ist μ ein endliches Maß auf ( S , Σ) , so gilt für die 0- Funktion für die Konvergenz im Maß folgendes Fundamentalsystem von Umgebungen

Die Topologie kann durch eine beliebige Metrik d der Form . definiert werden

wobei φ beschränkt stetig konkav und nicht abnehmend auf [0, ∞) ist , mit φ (0) = 0 und φ ( t ) > 0 wenn t > 0 (zum Beispiel φ ( t ) = min( t , 1) ) . Eine solche Metrik heißt Lévy- Metrik für L 0 . Unter dieser Metrik ist der Raum L 0 vollständig (er ist wieder ein F-Raum). Der Raum L 0 ist im Allgemeinen nicht lokal beschränkt und nicht lokal konvex.

Für das unendliche Lebesgue-Maß λ auf R n könnte die Definition des fundamentalen Nachbarschaftssystems wie folgt modifiziert werden

Die sich ergebende Raum L 0 ( R n , λ ) koinzidiert als topologische Vektorraum mit L 0 ( R n , g ( x ) d λ (x)) , für jede positive λ -integrierbaren Dichte g .

Verallgemeinerungen und Erweiterungen

Schwaches L p

Sei ( S , Σ , μ ) ein Maßraum und f eine messbare Funktion mit reellen oder komplexen Werten auf S . Die Verteilungsfunktion von f ist für t ≥ 0 definiert durch

Wenn f in ist L p ( S , μ ) für einige p mit 1 ≤ p <∞ , dann mit dem Markov-Ungleichung ,

Eine Funktion f gesagt wird in dem Raum in schwach L p ( S , μ ) oder L p , w ( S , μ ) , wenn es eine Konstante C > 0 , so dass für alle t > 0 ,

Die beste Konstante C für diese Ungleichung ist die L p , w -Norm von f und wird bezeichnet mit

Die schwachen L p fallen mit den Lorentzräumen L p ,∞ zusammen , daher wird diese Notation auch verwendet, um sie zu bezeichnen.

Die L p , w -Norm ist keine echte Norm, da die Dreiecksungleichung nicht gilt. Dennoch gilt für f in L p ( S , μ ) ,

und insbesondere L p ( S , µ ) L p , w ( S , µ ) .

Tatsächlich hat man

,

und mit 1/ p potenzieren und das Supremum in t nehmen, das man hat

Nach der Konvention, dass zwei Funktionen gleich sind, wenn sie fast überall gleich μ sind, dann sind die Räume L p , w vollständig ( Grafakos 2004 ).

Für jedes 0 < r < p ist der Ausdruck

ist vergleichbar mit der L p , w -Norm. Im Fall p > 1 definiert dieser Ausdruck eine Norm, falls r = 1 ist . Daher für p > 1 die schwache L p Räume sind Banachräumen ( Grafakos 2004 ).

Ein Hauptergebnis , das die uses L p , w -Räume ist die Marcinkiewicz Interpolations - Theorem , das breite Anwendungen hat harmonische Analyse und die Untersuchung der singulären Integrale .

Gewichtete L p Räume

Betrachten Sie wie zuvor einen Maßraum ( S , Σ, μ ) . Sei w  : S → [0, ∞) eine messbare Funktion. Der w - gewichtete L p - Raum ist definiert als L p ( S , w  d μ ) , wobei w  d μ das durch . definierte Maß ν bedeutet

oder, in Bezug auf die Radon-Nikodym Derivat , w =d ν/d μdie Norm für L p ( S , w  d μ ) ist explizit

Als L p -Räume weisen die gewichteten Räume nichts Besonderes, da L p ( S , w  d μ ) gleich L p ( S , d ν ) . Aber sie sind der natürliche Rahmen für mehrere Ergebnisse der harmonischen Analyse ( Grafakos 2004 ); sie erscheinen beispielsweise im Satz von Muckenhoupt : für 1 < p < ∞ ist die klassische Hilbert-Transformation auf L p ( T , λ ) definiert, wobei T den Einheitskreis und λ das Lebesgue-Maß bezeichnet; der (nichtlineare) Hardy-Littlewood-Maximaloperator ist auf L p ( R n , λ ) beschränkt . Muckenhoupt Theorem beschreibt Gewichte w , so dass die Hilbert - Transformation Reste auf begrenzt L p ( T , w  d λ ) und den maximalen Operator auf L p ( R n , w  d λ ) .

L p Räume auf Mannigfaltigkeiten

Man kann auch Räume L p ( M ) auf einer Mannigfaltigkeit definieren, die als die intrinsischen L p -Räume der Mannigfaltigkeit bezeichnet werden, indem man Dichten verwendet .

Vektorwertige L p Räume

Bei einem gegebenen Maßraum ( X , Σ, μ ) und einem lokal-konvexen Raum E kann man auch Räume von p-integrierbaren E-wertigen Funktionen auf verschiedene Weise definieren. Die gebräuchlichsten davon sind die Räume von Bochner-integrierbaren und Pettis-integrierbaren Funktionen. Unter Verwendung des Tensorprodukts lokal konvexer Räume können diese jeweils als und definiert werden ; wobei und jeweils die projektiven und injektiven Tensorprodukte von lokal konvexen Räumen bezeichnen. Wenn E ein nuklearer Raum ist , zeigte Grothendieck , dass diese beiden Konstruktionen nicht zu unterscheiden sind.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links