Langs Theorem - Lang's theorem

In der algebraischen Geometrie heißt es in Langs Theorem , das von Serge Lang eingeführt wurde: Wenn G eine zusammenhängende glatte algebraische Gruppe über ein endliches Feld ist , dann schreibt man für den Frobenius den Morphismus der Sorten ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$ ${\ displaystyle \ sigma: G \ bis G, \, x \ mapsto x ^ {q}}$

{\ displaystyle G \ bis G, \, x \ mapsto x ^ {- 1} \ sigma (x)}

ist surjektiv. Beachten Sie, dass der Kernel dieser Map (dh ) genau ist . ${\ displaystyle G = G ({\ overline {\ mathbf {F} _ {q}}}) \ bis G ({\ overline {\ mathbf {F} _ {q}}})}$ ${\ displaystyle G (\ mathbf {F} _ {q})}$

Das Theorem impliziert , dass verschwindet , und folglich jeder G -bundle auf isomorph zu dem trivial. Der Satz spielt auch eine grundlegende Rolle in der Theorie der endlichen Gruppen vom Lie-Typ . ${\ displaystyle H ^ {1} (\ mathbf {F} _ {q}, G) = H _ {\ mathrm {{\ akut {e}} t}} ^ {1} (\ operatorname {Spec} \ mathbf { F} _ {q}, G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbf {F} _ {q}}$

Es ist nicht notwendig, dass G affin ist. Somit gilt der Satz auch für abelsche Varietäten (z . B. elliptische Kurven ). Tatsächlich war diese Anwendung Langs ursprüngliche Motivation. Wenn G affin ist, kann der Frobenius durch eine beliebige surjektive Karte mit endlich vielen Fixpunkten ersetzt werden (genaue Aussage siehe unten). ${\ displaystyle \ sigma}$

Der Beweis (unten angegeben) gilt tatsächlich für jeden , der einen nilpotenten Operator für die Lie-Algebra von G induziert . ${\ displaystyle \ sigma}$

Der Lang-Steinberg-Satz

Steinberg ( 1968 ) gab dem Satz eine nützliche Verbesserung.

Nehmen wir an, daß F eine endomorphism einer algebraischen Gruppe G . Die Lang-Karte ist die Karte von G nach G mit g nach g ⁻¹F ( g ).

Das Lang-Steinberg - Theorem besagt , dass wenn F surjektiv ist und eine endliche Anzahl von Fixpunkten, und G ist eine verbundene affine algebraische Gruppe über einen algebraisch abgeschlossenen Bereich, dann ist die Karte Lang surjektiv ist.

Beweis von Langs Theorem

Definieren:

{\ displaystyle f_ {a}: G \ bis G, \ quad f_ {a} (x) = x ^ {- 1} a \ sigma (x).}

Dann (Identifizieren des Tangentenraums an a mit dem Tangentenraum am Identitätselement) haben wir:

{\ displaystyle (df_ {a}) _ {e} = d (h \ circ (x \ mapsto (x ^ {- 1}, a, \ sigma (x))) _ {e} = dh _ {(e , a, e)} \ circ (-1,0, d \ sigma _ {e}) = - 1 + d \ sigma _ {e}}

wo . Es folgt ist bijektiv, da das Differential des Frobenius verschwindet. Da sehen wir auch, dass das für jedes b bijektiv ist . Sei X der Abschluss des Bildes von . Die glatten Punkte von X bilden eine offene dichte Teilmenge; somit gibt es ein b in G, so dass es sich um einen glatten Punkt von X handelt . Da der Tangentenraum zu X bei und der Tangentenraum zu G bei b die gleiche Dimension haben, folgt, dass X und G die gleiche Dimension haben, da G glatt ist. Da G verbunden ist, das Bild enthält dann eine offene dichte Teilmenge U von G . Nun wird ein beliebiges Element gegeben a in G , durch die gleichen Überlegungen, das Bild enthält eine offene dichte Teilmenge V der G . Der Schnittpunkt ist dann nicht leer, aber dies impliziert, dass a im Bild von ist . ${\ displaystyle h (x, y, z) = xyz}$ ${\ displaystyle (df_ {a}) _ {e}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle f_ {a} (bx) = f_ {f_ {a} (b)} (x)}$ ${\ displaystyle (df_ {a}) _ {b}}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ ${\ displaystyle f_ {1} (b)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (b)}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ ${\ displaystyle f_ {a}}$ ${\ displaystyle U \ cap V}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$