Großer Kardinal - Large cardinal

Im mathematischen Bereich der Mengenlehre ist eine große Kardinaleigenschaft eine bestimmte Art von Eigenschaft transfiniter Kardinalzahlen . Kardinäle mit solchen Eigenschaften sind, wie der Name schon sagt, im Allgemeinen sehr "groß" (zum Beispiel größer als das kleinste α, so dass α = ω α ). Die Behauptung, dass solche Kardinäle existieren, kann in der gebräuchlichsten Axiomatisierung der Mengenlehre, nämlich der ZFC , nicht bewiesen werden , und solche Aussagen können als Mittel zur Messung angesehen werden, wie "viel" man über die ZFC hinaus annehmen muss, um bestimmte Wünsche beweisen zu können Ergebnisse. Mit anderen Worten, sie können in Dana Scotts Satz als Quantifizierung der Tatsache gesehen werden, "dass man mehr annehmen muss, wenn man mehr will".

Es gibt eine grobe Konvention, dass Ergebnisse, die nur mit ZFC nachweisbar sind, ohne Hypothesen angegeben werden können. Wenn der Beweis jedoch andere Annahmen erfordert (z. B. die Existenz großer Kardinäle), sollten diese angegeben werden. Ob dies lediglich eine sprachliche Konvention oder etwas anderes ist, ist ein kontroverser Punkt unter den verschiedenen philosophischen Schulen (siehe Motivationen und epistemischer Status unten).

Ein großes Kardinalaxiom ist ein Axiom, das besagt, dass es einen Kardinal (oder vielleicht viele von ihnen) mit einer bestimmten großen Kardinaleigenschaft gibt.

Die meisten Theoretiker von Arbeitssätzen glauben, dass die großen Kardinalaxiome, die derzeit betrachtet werden, mit ZFC übereinstimmen . Diese Axiome sind stark genug, um die Konsistenz von ZFC zu implizieren. Dies hat zur Folge (über Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz ), dass ihre Konsistenz mit ZFC in ZFC nicht nachgewiesen werden kann (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent).

Es gibt keine allgemein vereinbarte genaue Definition dessen, was eine große Kardinaleigenschaft ist, obwohl im Wesentlichen alle zustimmen, dass diejenigen in der Liste der großen Kardinaleigenschaften große Kardinaleigenschaften sind.

Teildefinition

Eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Eigenschaft von Kardinalzahlen eine große Kardinaleigenschaft ist, ist, dass die Existenz eines solchen Kardinals nicht als mit ZFC unvereinbar bekannt ist, und es wurde nachgewiesen, dass ZFC mit der Aussage übereinstimmt , dass ZFC konsistent ist, wenn ZFC konsistent ist "Es gibt keinen solchen Kardinal."

Hierarchie der Konsistenzstärke

Eine bemerkenswerte Beobachtung über große Kardinalaxiome ist, dass sie aufgrund ihrer Konsistenzstärke in einer strengen linearen Reihenfolge auftreten . Das heißt, es ist keine Ausnahme für Folgendes bekannt: Bei zwei großen Kardinalaxiomen A 1 und A 2 geschieht genau eines von drei Dingen:

  1. Sofern ZFC nicht inkonsistent ist, ist ZFC + A 1 genau dann konsistent, wenn ZFC + A 2 konsistent ist.
  2. ZFC + A 1 beweist, dass ZFC + A 2 konsistent ist; oder
  3. ZFC + A 2 beweist, dass ZFC + A 1 konsistent ist.

Diese schließen sich gegenseitig aus, es sei denn, eine der fraglichen Theorien ist tatsächlich inkonsistent.

Im Fall 1, sagen wir , dass A 1 und A 2 sind equiconsistent . In Fall 2 sagen wir, dass A 1 konsistent stärker ist als A 2 (umgekehrt für Fall 3). Wenn A 2 stärker als A 1 ist , kann ZFC + A 1 nicht beweisen, dass ZFC + A 2 konsistent ist, selbst mit der zusätzlichen Hypothese, dass ZFC + A 1 selbst konsistent ist (vorausgesetzt natürlich, dass dies tatsächlich der Fall ist). Dies folgt aus Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz .

Die Beobachtung, dass große Kardinalaxiome linear nach Konsistenzstärke geordnet sind, ist genau das, eine Beobachtung, kein Satz. (Ohne eine akzeptierte Definition von großem Kardinaleigentum unterliegt es keinem Beweis im gewöhnlichen Sinne). Es ist auch nicht in jedem Fall bekannt, welcher der drei Fälle gilt. Saharon Shelah hat gefragt: "Gibt es einen Satz, der dies erklärt, oder ist unsere Vision nur einheitlicher, als wir erkennen?" Woodin leitet dies jedoch aus der Ω-Vermutung ab , dem ungelösten Hauptproblem seiner Ω-Logik . Es ist auch bemerkenswert, dass viele kombinatorische Aussagen genau mit einem großen Kardinal übereinstimmen, anstatt beispielsweise zwischen ihnen zu liegen.

Die Reihenfolge der Konsistenzstärke entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge der Größe des kleinsten Zeugen eines großen Kardinalaxioms. Zum Beispiel ist die Existenz eines riesigen Kardinals in Bezug auf die Konsistenzstärke viel stärker als die Existenz eines superkompakten Kardinals , aber wenn beide existieren, ist der erste große Kardinal kleiner als der erste superkompakte Kardinal .

Motivationen und epistemischer Status

Große Kardinäle werden im Kontext des von Neumann-Universums V verstanden, das durch unbegrenzte Iteration der Powerset- Operation aufgebaut wird, die alle Teilmengen einer gegebenen Menge zusammenfasst. Typischerweise können Modelle, bei denen große Kardinalaxiome versagen , auf natürliche Weise als Untermodelle derjenigen angesehen werden, bei denen die Axiome gelten. Wenn es beispielsweise einen unzugänglichen Kardinal gibt, ergibt das "Abschneiden des Universums" auf der Höhe des ersten solchen Kardinals ein Universum, in dem es keinen unzugänglichen Kardinal gibt. Oder wenn es einen messbaren Kardinal gibt , ergibt die Iteration der definierbaren Potenzsatzoperation anstelle der vollständigen Gödels konstruierbares Universum L, das die Aussage "es gibt einen messbaren Kardinal" nicht erfüllt (obwohl es den messbaren Kardinal als Ordinalzahl enthält) ).

Unter einem bestimmten Gesichtspunkt, den viele Mengen-Theoretiker vertreten (insbesondere solche, die von der Tradition der Kabalen inspiriert sind ), "sagen" große Kardinal-Axiome, dass wir alle Mengen berücksichtigen, die wir "berücksichtigen" sollen, während ihre Negationen sind "restriktiv" und sagen, dass wir nur einige dieser Sätze in Betracht ziehen. Darüber hinaus scheinen die Konsequenzen großer Kardinalaxiome in natürliche Muster zu fallen (siehe Maddy, "Believing the Axioms, II"). Aus diesen Gründen neigen solche Mengen-Theoretiker dazu, große Kardinal-Axiome als bevorzugten Status unter den Erweiterungen von ZFC zu betrachten, einen, der nicht von Axiomen mit weniger klarer Motivation (wie Martins Axiom ) oder anderen, die sie intuitiv für unwahrscheinlich halten (wie V =), geteilt wird L ). Die Hardcore- Realisten in dieser Gruppe würden einfacher sagen, dass große Kardinalaxiome wahr sind .

Dieser Standpunkt ist unter Mengen-Theoretikern keineswegs universell. Einige Formalisten würden behaupten, dass die Standardmengen-Theorie per Definition die Untersuchung der Konsequenzen von ZFC ist, und obwohl sie möglicherweise nicht grundsätzlich gegen die Untersuchung der Konsequenzen anderer Systeme sind, sehen sie keinen Grund, große Kardinäle als bevorzugt herauszustellen. Es gibt auch Realisten, die leugnen, dass ontologischer Maximalismus eine angemessene Motivation ist, und sogar glauben, dass große Kardinalaxiome falsch sind. Und schließlich gibt es einige , die bestreiten , dass die Negationen großen Kardinal Axiome sind restriktiv und weisen darauf hin , dass (beispielsweise) eine sein kann Transitive Menge Modell in L , die glaubt , dass es einen messbaren Kardinal existiert, auch wenn L selbst nicht genügt , dass Vorschlag.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links