Lebesgue-Integration - Lebesgue integration

Das Integral einer positiven Funktion kann als Fläche unter einer Kurve interpretiert werden.

In der Mathematik kann das Integral einer nicht-negativen Funktion einer einzelnen Variablen im einfachsten Fall als die Fläche zwischen dem Graphen dieser Funktion und der x- Achse angesehen werden. Das nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue benannte Lebesgue-Integral erweitert das Integral auf eine größere Klasse von Funktionen. Es erweitert auch die Domänen, auf denen diese Funktionen definiert werden können.

Schon lange vor dem 20. Jahrhundert verstanden Mathematiker, dass für nichtnegative Funktionen mit einem ausreichend glatten Graphen – wie etwa stetige Funktionen auf geschlossenen beschränkten Intervallen – die Fläche unter der Kurve als Integral definiert und mit Näherungstechniken für die Region berechnet werden kann durch Polygone . Als jedoch die Notwendigkeit entstand, unregelmäßigere Funktionen zu berücksichtigen – z. B. durch die einschränkenden Prozesse der mathematischen Analyse und der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie – wurde klar, dass sorgfältigere Näherungstechniken erforderlich waren, um ein geeignetes Integral zu definieren. Es könnte auch wünschenswert sein, auf Räumen zu integrieren, die allgemeiner sind als die reelle Linie. Das Lebesgue-Integral liefert dazu die notwendigen Abstraktionen.

Das Lebesgue-Integral spielt eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie , der reellen Analyse und vielen anderen Gebieten der Mathematik. Es ist nach Henri Lebesgue (1875–1941) benannt, der das Integral einführte ( Lebesgue 1904 ). Sie ist auch ein zentraler Bestandteil der axiomatischen Wahrscheinlichkeitstheorie .

Der Begriff Lebesgue-Integration kann entweder die allgemeine Theorie der Integration einer Funktion in Bezug auf ein allgemeines Maß bedeuten , wie sie von Lebesgue eingeführt wurde, oder den speziellen Fall der Integration einer auf einem Unterbereich der reellen Geraden definierten Funktion in Bezug auf die Lebesgue-Maßnahme .

Einführung

Das Integral einer positiven Funktion f zwischen den Grenzen a und b kann als Fläche unter dem Graphen von f interpretiert werden . Dies ist für Funktionen wie Polynome einfach , aber was bedeutet es für exotischere Funktionen? Für welche Funktionsklasse ist "Fläche unter der Kurve" im Allgemeinen sinnvoll? Die Beantwortung dieser Frage ist von großer theoretischer und praktischer Bedeutung.

Als Teil einer allgemeinen Bewegung hin zu strengerer Mathematik im 19. Jahrhundert versuchten Mathematiker, die Integralrechnung auf eine solide Grundlage zu stellen. Das Riemann-Integral – vorgeschlagen von Bernhard Riemann (1826–1866) – ist ein weitgehend erfolgreicher Versuch, eine solche Grundlage zu schaffen. Riemanns Definition beginnt mit der Konstruktion einer Folge leicht berechenbarer Flächen, die gegen das Integral einer gegebenen Funktion konvergieren. Diese Definition ist insofern erfolgreich, als sie für viele bereits gelöste Probleme die erwartete Antwort und für viele andere Probleme nützliche Ergebnisse liefert.

Die Riemann-Integration interagiert jedoch nicht gut mit der Annahme von Grenzen von Funktionsfolgen, was die Analyse solcher einschränkender Prozesse erschwert. Dies ist zum Beispiel beim Studium von Fourier-Reihen , Fourier-Transformationen und anderen Themen wichtig . Das Lebesgue-Integral kann besser beschreiben, wie und wann Grenzwerte unter das Integralzeichen gezogen werden können (über den monotonen Konvergenzsatz und den dominierten Konvergenzsatz ).

Während das Riemann-Integral die Fläche unter einer Kurve als aus vertikalen Rechtecken bestehend betrachtet, betrachtet die Lebesgue-Definition horizontale Platten, die nicht unbedingt nur Rechtecke sind, und ist daher flexibler. Aus diesem Grund ermöglicht die Lebesgue-Definition die Berechnung von Integralen für eine breitere Klasse von Funktionen. Zum Beispiel hat die Dirichlet-Funktion , die 0 ist, wenn ihr Argument irrational ist und ansonsten 1 ist, ein Lebesgue-Integral, aber kein Riemann-Integral. Darüber hinaus ist das Lebesgue-Integral dieser Funktion null, was mit der Intuition übereinstimmt, dass bei einer gleichmäßig zufälligen Auswahl einer reellen Zahl aus dem Einheitsintervall die Wahrscheinlichkeit, eine rationale Zahl zu wählen, null sein sollte.

Lebesgue fasst seinen Integrationsansatz in einem Brief an Paul Montel zusammen :

Ich muss einen bestimmten Betrag bezahlen, den ich in meiner Tasche gesammelt habe. Ich ziehe die Scheine und Münzen aus der Tasche und gebe sie dem Gläubiger in der Reihenfolge, in der ich sie vorfinde, bis ich die Gesamtsumme erreicht habe. Dies ist das Riemann-Integral. Aber ich kann anders vorgehen. Nachdem ich alles Geld aus der Tasche gezogen habe, bestelle ich die Scheine und Münzen nach identischen Werten und bezahle dann die mehreren Haufen nacheinander an den Gläubiger. Das ist mein Integral.

—  Quelle : ( Siegmund-Schultze 2008 )

Die Erkenntnis ist, dass man in der Lage sein sollte, die Werte einer Funktion frei neu anzuordnen, während der Wert des Integrals erhalten bleibt. Dieser Umordnungsprozess kann eine sehr pathologische Funktion in eine unter dem Gesichtspunkt der Integration "schöne" umwandeln und so solche pathologischen Funktionen integrieren lassen.

Intuitive Interpretation

Riemann-Darboux-Integration (in Blau) und Lebesgue-Integration (in Rot).

Um eine Intuition über die verschiedenen Integrationsansätze zu bekommen, stellen wir uns vor, wir wollen das Volumen eines Berges (über dem Meeresspiegel) finden.

Der Riemann-Darboux-Ansatz
Teilen Sie den Fuß des Berges in ein Raster von 1 Meter großen Quadraten. Messen Sie die Höhe des Berges in der Mitte jedes Quadrats. Das Volumen auf einem einzelnen Rasterquadrat beträgt ungefähr 1 m 2 × (die Höhe dieses Quadrats), sodass das Gesamtvolumen 1 m 2 mal die Summe der Höhen beträgt .
Der Lebesgue-Ansatz
Zeichnen Sie eine Höhenlinienkarte des Berges, wobei benachbarte Höhenlinien 1 Meter voneinander entfernt sind. Das in einer Kontur enthaltene Volumen beträgt ungefähr 1 m × (die Fläche dieser Kontur), also ist das Gesamtvolumen die Summe dieser Flächen mal 1 m.

Folland fasst den Unterschied zwischen dem Riemann- und dem Lebesgue-Ansatz so zusammen: „Um das Riemann-Integral von f zu berechnen , zerlegt man den Bereich [ a , b ] in Teilintervalle“, während im Lebesgue-Integral „man tatsächlich den Bereich von f . partitioniert ."

Eine messbare Funktion wird zusammen mit der Menge (auf der x- Achse) angezeigt. Das Lebesgue-Integral wird durch Schneiden entlang der y- Achse erhalten, wobei das 1-dimensionale Lebesgue-Maß verwendet wird, um die "Breite" der Schichten zu messen.

Um das Lebesgue-Integral zu definieren, ist die formale Vorstellung eines Maßes erforderlich , das grob jeder Menge A reeller Zahlen eine nichtnegative Zahl μ ( A ) zuordnet, die die "Größe" von A repräsentiert . Dieser Begriff von "Größe" sollte mit der üblichen Länge eines Intervalls oder einer disjunkten Vereinigung von Intervallen übereinstimmen. Angenommen, f  : RR + ist eine nicht-negative reellwertige Funktion. Die Fläche einer kleinen horizontalen Platte unter dem Graphen von f mit der Höhe dt ist gleich der Breite des Streifens mal dt . Dieser elementare Bereich kann geschrieben werden als

und das Lebesgue-Integral kann durch Addition dieser Elementarflächen bestimmt werden.

Lebesgue (1904) konstruiert sein Integral durch Begrenzen zwischen Ober- und Untersummen-Approximationen an diese Summe von Elementarflächen, ähnlich dem Riemann-Darboux-Ansatz. Dies entspricht modernen Behandlungen über einfache Funktionen . Alternativ kann das Lebesgue-Integral durch ein uneigentliches Riemann-Integral der Elementarflächen definiert werden.

Theorie messen

Die Maßtheorie wurde ursprünglich entwickelt, um eine nützliche Abstraktion des Begriffs der Länge von Teilmengen der reellen Linie zu liefern – und allgemeiner der Fläche und des Volumens von Teilmengen von euklidischen Räumen. Insbesondere lieferte sie eine systematische Antwort auf die Frage, welche Teilmengen von R eine Länge haben. Wie spätere Entwicklungen in der Mengenlehre gezeigt haben (siehe nicht messbare Menge ), ist es tatsächlich unmöglich, allen Teilmengen von R eine Länge so zuzuordnen , dass einige natürliche Additivitäts- und Translationsinvarianzeigenschaften erhalten bleiben. Dies legt nahe, dass die Auswahl einer geeigneten Klasse von messbaren Teilmengen eine wesentliche Voraussetzung ist.

Das Riemann-Integral verwendet den Längenbegriff explizit. Tatsächlich ist das Berechnungselement für das Riemann-Integral das Rechteck [ a , b ] × [ c , d ] , dessen Fläche zu ( ba )( dc ) berechnet wird . Die Größe ba ist die Länge der Grundfläche des Rechtecks ​​und dc ist die Höhe des Rechtecks. Riemann konnte nur ebene Rechtecke verwenden, um die Fläche unter der Kurve zu approximieren, da es keine adäquate Theorie zur Messung allgemeinerer Mengen gab.

In der Entwicklung der Theorie in den meisten modernen Lehrbüchern (nach 1950) ist der Ansatz von Messung und Integration axiomatisch . Dies bedeutet, dass ein Maß eine beliebige Funktion μ ist, die auf einer bestimmten Klasse X von Teilmengen einer Menge E definiert ist und eine bestimmte Liste von Eigenschaften erfüllt. Diese Eigenschaften können in vielen verschiedenen Fällen nachgewiesen werden.

Messbare Funktionen

Wir beginnen mit einem Maßraum ( E , X , μ), wobei E eine Menge ist , X eine σ-Algebra von Teilmengen von E ist und μ ein (nicht negatives ) Maß auf E ist, das auf den Mengen von X definiert ist .

Zum Beispiel kann E der euklidische n- Raum R n oder eine Lebesgue-messbare Teilmenge davon sein, X ist die σ-Algebra aller Lebesgue-messbaren Teilmengen von E und μ ist das Lebesgue-Maß. In der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie, beschränken wir unsere Studie zu einer Wahrscheinlichkeitsmaßnahme  μ , die erfüllt μ ( E ) = 1 .

Lebesgues Theorie definiert Integrale für eine Klasse von Funktionen, die als messbare Funktionen bezeichnet werden . Eine reellwertige Funktion f auf E ist messbar, wenn das Urbild jedes Intervalls der Form ( t , ∞) in X liegt :

Wir können zeigen, dass dies äquivalent zu der Forderung ist, dass das Urbild einer beliebigen Borel- Teilmenge von R in X liegt . Die Menge der messbaren Funktionen ist unter algebraischen Operationen abgeschlossen, aber noch wichtiger ist sie unter verschiedenen Arten von punktweisen sequentiellen Grenzen :

messbar ist , wenn die ursprüngliche Sequenz ( f k ) k , wobei kN , messbarer Funktionen besteht.

Es gibt mehrere Ansätze, um ein Integral zu definieren:

für messbare reellwertige Funktionen f definiert auf E .

Definition

Die Theorie des Lebesgue-Integrals erfordert eine Theorie der messbaren Mengen und Maße auf diesen Mengen sowie eine Theorie der messbaren Funktionen und Integrale auf diesen Funktionen.

Über einfache Funktionen

Annähern einer Funktion durch einfache Funktionen.

Ein Ansatz zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals besteht darin, sogenannte einfache Funktionen zu verwenden : endliche reell-lineare Kombinationen von Indikatorfunktionen . Für einen Neuling in der Maßtheorie ist diese Konstruktion des Lebesgue-Integrals intuitiver, wenn sie mit der Art und Weise verglichen wird, wie die Riemann-Summe mit der Definition/Konstruktion des Riemann-Integrals verwendet wird . Einfache Funktionen können verwendet werden, um eine messbare Funktion anzunähern, indem der Bereich in Schichten unterteilt wird. Das Integral einer einfachen Funktion ist gleich dem Maß einer gegebenen Schicht mal der Höhe dieser Schicht. Das Integral einer nicht-negativen allgemeinen messbaren Funktion wird dann als geeignetes Supremum von Approximationen durch einfache Funktionen definiert, und das Integral einer (nicht unbedingt positiven) messbaren Funktion ist die Differenz zweier Integrale von nicht-negativen messbaren Funktionen.

Anzeigefunktionen

Um dem Integral der Indikatorfunktion 1 S einer messbaren Menge S einen Wert zuzuordnen, der mit dem gegebenen Maß μ konsistent ist, ist die einzig vernünftige Wahl die Menge:

Beachten Sie, dass das Ergebnis +∞ sein kann , es sei denn, μ ist ein endliches Maß.

Einfache Funktionen

Eine endliche Linearkombination von Indikatorfunktionen

wobei die Koeffizienten a k reelle Zahlen und S k disjunkte messbare Mengen sind, wird eine messbare einfache Funktion genannt . Wir erweitern das Integral durch Linearität auf nicht negativ messbare einfache Funktionen. Wenn die Koeffizienten a k positiv sind, setzen wir

ob diese Summe endlich oder +∞ ist. Eine einfache Funktion kann auf verschiedene Weise als Linearkombination von Indikatorfunktionen geschrieben werden, aber das Integral wird durch die Additivität der Maße gleich sein.

Bei der Definition des Integrals einer reellwertigen einfachen Funktion ist etwas Vorsicht geboten , um den undefinierten Ausdruck ∞ − ∞ zu vermeiden : Man nimmt an, dass die Darstellung

ist so, dass μ( S k ) < ∞ ist, wenn a k 0 . Dann ist die obige Formel für das Integral von f sinnvoll, und das Ergebnis hängt nicht von der speziellen Darstellung von f ab, die die Voraussetzungen erfüllt.

Wenn B eine messbare Teilmenge von E und s eine messbare einfache Funktion ist, definiert man

Nicht negative Funktionen

Sei f eine nicht-negativ messbare Funktion auf E , die wir den Wert +∞ erreichen lassen , mit anderen Worten, f nimmt in der erweiterten reellen Zahlengeraden nicht-negative Werte an . Wir definieren

Wir müssen zeigen, dass dieses Integral mit dem vorhergehenden übereinstimmt, das auf der Menge einfacher Funktionen definiert ist, wenn E   ein Segment [ ab ] ist. Es stellt sich auch die Frage, ob dies in irgendeiner Weise einem Riemannschen Integrationsgedanken entspricht. Es ist möglich zu beweisen, dass die Antwort auf beide Fragen ja ist.

Wir haben das Integral von f für jede nicht-negative erweiterte reellwertige messbare Funktion auf  E definiert . Für einige Funktionen ist dieses Integral  E f unendlich.

Es ist oft nützlich, eine bestimmte Folge einfacher Funktionen zu haben, die das Lebesgue-Integral gut approximiert (analog zu einer Riemann-Summe). Für eine nicht negative messbare Funktion f sei die einfache Funktion, deren Wert immer ist , für k eine nicht negative ganze Zahl kleiner als (sagen wir) . Dann kann man direkt beweisen, dass

und dass der Grenzwert auf der rechten Seite als erweiterte reelle Zahl existiert. Dies überbrückt die Verbindung zwischen dem Ansatz des Lebesgue-Integrals mit einfachen Funktionen und der Motivation für das Lebesgue-Integral mit einer Teilung des Bereichs.

Signierte Funktionen

Um Funktionen mit Vorzeichen handhaben zu können, benötigen wir noch ein paar weitere Definitionen. Wenn f eine messbare Funktion der Menge E zu den reellen Zahlen (einschließlich ±∞ ) ist, dann können wir schreiben

wo

Beachten Sie, dass sowohl f + als auch f nicht-negativ messbare Funktionen sind. Beachten Sie auch, dass

Wir sagen, dass das Lebesgue-Integral der messbaren Funktion f existiert oder definiert ist, wenn mindestens eines von und endlich ist:

In diesem Fall definieren wir

Wenn

wir sagen , dass f ist Lebesgue integrierbar .

Es stellt sich heraus, dass diese Definition die gewünschten Eigenschaften des Integrals liefert.

Über uneigentliches Riemann-Integral

Unter der Annahme, dass dies messbar und nicht negativ ist, ist die Funktion

ist monoton nicht ansteigend. Das Lebesgue-Integral kann dann als das uneigentliche Riemann-Integral von definiert werden :

Dieses Integral ist uneigentlich bei und (möglicherweise) auch bei Null. Es existiert, mit der Maßgabe, dass es unendlich sein kann.

Wie oben wird das Integral einer integrierbaren (nicht unbedingt nicht-negativen) Lebesgue-Funktion durch Subtrahieren des Integrals seiner positiven und negativen Teile definiert.

Komplexwertige Funktionen

Komplexwertige Funktionen können ähnlich integriert werden, indem Realteil und Imaginärteil getrennt betrachtet werden.

Ist h = f + ig für reellwertige integrierbare Funktionen f , g , dann ist das Integral von h definiert durch

Die Funktion ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn ihr Absolutwert Lebesgue-integrierbar ist (siehe Absolut integrierbare Funktion ).

Beispiel

Betrachten Sie die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen, 1 Q , auch als Dirichlet-Funktion bekannt. Diese Funktion ist nirgendwo stetig .

  • ist nicht Riemann-integrierbar auf [0, 1] : Egal wie die Menge [0, 1] in Teilintervalle aufgeteilt wird, jede Partition enthält mindestens eine rationale und mindestens eine irrationale Zahl, da sowohl rationale als auch irrationale Zahlen dicht in der real. Somit sind die oberen Darboux-Summen alle eins und die unteren Darboux-Summen sind alle null.
  • ist Lebesgue-integrierbar auf [0, 1] unter Verwendung des Lebesgue-Maß : Tatsächlich ist es die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen, also per Definition
    weil Q ist zählbar .

Integrationsbereich

Ein technisches Problem bei der Lebesgue-Integration besteht darin, dass der Integrationsbereich als eine Menge (eine Teilmenge eines Maßraums) ohne Orientierungsbegriff definiert ist. In der Elementarrechnung definiert man Integration in Bezug auf eine Orientierung :

Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen ergibt die Integration von Differentialformen . Im Gegensatz dazu bietet die Lebesgue-Integration eine alternative Verallgemeinerung, indem sie über Teilmengen in Bezug auf eine Kennzahl integriert; das kann notiert werden als

Integration über eine Teilmenge A anzuzeigen . Einzelheiten zum Zusammenhang zwischen diesen Verallgemeinerungen finden Sie unter Differentialform § Verhältnis zu Maßnahmen .

Einschränkungen des Riemann-Integrals

Mit dem Aufkommen der Fourier-Reihen tauchten viele analytische Probleme mit Integralen auf, deren zufriedenstellende Lösung den Austausch von Grenzprozessen und Integralzeichen erforderte. Die Bedingungen, unter denen die Integrale

sind im Riemannschen Rahmen gleich schwer fassbar. Es gibt noch einige andere technische Schwierigkeiten mit dem Riemann-Integral. Diese sind mit der oben diskutierten Schwierigkeit der Limitübernahme verbunden.

Ausfall der monotonen Konvergenz . Wie oben gezeigt, ist die Indikatorfunktion 1 Q auf den rationalen Zahlen nicht Riemann-integrierbar. Insbesondere das monotone Konvergenztheorem versagt. Um zu sehen warum, sei { a k } eine Aufzählung aller rationalen Zahlen in [0, 1] (sie sind abzählbar, damit dies möglich ist.) Dann sei

Die Funktion g k ist überall null, außer auf einer endlichen Menge von Punkten. Daher ist sein Riemann-Integral null. Jedes g k ist nicht negativ, und diese Folge von Funktionen ist monoton steigend, aber ihr Grenzwert für k → ∞ ist 1 Q , was nicht Riemann-integrierbar ist.

Ungeeignet für unbeschränkte Intervalle . Das Riemann-Integral kann nur Funktionen auf einem beschränkten Intervall integrieren. Sie kann jedoch durch Verwendung von Grenzwerten auf unbeschränkte Intervalle ausgedehnt werden, solange dies keine Antwort wie ∞ − ∞ ergibt .

Integrieren auf andere Strukturen als den euklidischen Raum . Das Riemann-Integral ist untrennbar mit der Ordnungsstruktur der reellen Geraden verbunden.

Grundsätze des Lebesgue-Integrals

Zwei Funktionen heißen fast überall ( kurz) gleich, wenn es sich um eine Teilmenge einer Nullmenge handelt .

Eine Messbarkeit des Sets ist nicht erforderlich.

  • Wenn f , g nicht negativ messbare Funktionen sind (möglicherweise den Wert +∞ annehmend ) mit f = g fast überall, dann
    Das Integral respektiert nämlich die Äquivalenzrelation von fast überall Gleichheit.
  • Sind f , g Funktionen mit f = g fast überall, dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn g Lebesgue-integrierbar ist, und die Integrale von f und g sind gleich, wenn sie existieren.
  • Linearität : Wenn f und g integrierbare Lebesgue-Funktionen und a und b reelle Zahlen sind, dann ist af + bg Lebesgue-integrierbar und
  • Monotonie : Wenn fg , dann
  • Sei ein Maßraum. Bezeichnen Sie die -Algebra von Borel-Mengen auf . ( Enthält per Definition die Menge und alle Borel-Teilmengen von .) Betrachten Sie eine -messbare nicht-negative Funktion . Definiere für eine Menge
    Dann ist ein Lebesgue-Maß auf .
  • Monotone Konvergenzsatz : Angenommen , { f k } kN ist eine Folge von nicht-negativen meßbaren Funktionen , so dass
    Dann ist der punktweise Grenzwert f von f k Lebesgue-messbar und
    Der Wert jedes Integrals darf unendlich sein.
  • Fatous Lemma : Wenn { f k } kN eine Folge von nicht-negativen messbaren Funktionen ist, dann
    Auch hier kann der Wert eines der Integrale unendlich sein.
  • Dominiertem Konvergenzsatz : Angenommen , { f k } kN ist eine Folge von komplexen meßbaren Funktionen mit punktuellen Grenze f , und es gibt eine Lebesgue- integrierbare Funktion g (dh g gehört den Raum L 1 ) , so dass | f k | ≤ g für alle k .
    Dann ist f Lebesgue-integrierbar und

Alternative Formulierungen

Es ist möglich, das Integral in Bezug auf das Lebesgue-Maß zu entwickeln, ohne sich auf die ganze Maschinerie der Maßtheorie zu verlassen. Ein solcher Ansatz wird durch das Daniell-Integral bereitgestellt .

Es gibt auch einen alternativen Ansatz, die Integrationstheorie über Methoden der Funktionsanalyse zu entwickeln . Das Riemann-Integral existiert für jede stetige Funktion f eines kompakten Trägers, die auf R n (oder einer festen offenen Teilmenge) definiert ist. Ausgehend von diesen Integralen können Integrale allgemeinerer Funktionen gebildet werden.

Sei C c der Raum aller reellwertigen kompakt gestützten stetigen Funktionen von R . Definiere eine Norm auf C c durch

Dann ist C c ein normierter Vektorraum (und insbesondere ein metrischer Raum). Alle metrischen Räume haben Hausdorff-Vervollständigungen , also sei L 1 ihre Vervollständigung. Dieser Raum ist isomorph zum Raum der integrierbaren Funktionen von Lebesgue modulo des Unterraums von Funktionen mit ganzzahliger Null. Außerdem ist das Riemann-Integral ein gleichmäßig stetiges Funktional bezüglich der Norm auf C c , die dicht in L 1 liegt . Daher hat eine eindeutige Erweiterung auf alle L 1 . Dieses Integral ist genau das Lebesgue-Integral.

Allgemeiner gesagt, wenn der Maßraum, auf dem die Funktionen definiert sind, auch ein lokal kompakter topologischer Raum ist (wie es bei den reellen Zahlen R der Fall ist ), sind mit der Topologie in einem geeigneten Sinne kompatible Maße ( Radonmaße , von denen das Lebesgue-Maß ist ein Beispiel) ein Integral über sie kann auf die gleiche Weise definiert werden, ausgehend von den Integralen stetiger Funktionen mit kompaktem Träger . Genauer gesagt bilden die kompakt unterstützten Funktionen einen Vektorraum , der eine natürliche Topologie trägt , und ein (Radon-)Maß wird als stetiges lineares Funktional auf diesem Raum definiert. Der Wert eines Maßes bei einer kompakt gestützten Funktion ist dann auch per Definition das Integral der Funktion. Dann erweitert man das Maß (das Integral) durch Stetigkeit auf allgemeinere Funktionen und definiert das Maß einer Menge als das Integral ihrer Indikatorfunktion. Dies ist der Ansatz von Bourbaki (2004) und einer Reihe anderer Autoren. Details siehe Radon-Maßnahmen .

Einschränkungen des Lebesgue-Integrals

Der Hauptzweck des Lebesgue-Integrals besteht darin, einen Integralbegriff bereitzustellen, bei dem die Grenzen von Integralen unter milden Annahmen gelten. Es gibt keine Garantie dafür, dass jede Funktion in Lebesgue integrierbar ist. Es kann jedoch vorkommen, dass für Funktionen, die nicht Lebesgue-integrierbar sind , uneigentliche Integrale existieren. Ein Beispiel wäre die sinc-Funktion :

über die gesamte reale Linie. Diese Funktion ist nicht Lebesgue integrierbar, da
Andererseits existiert es als uneigentliches Integral und kann als endlich berechnet werden; es ist das Doppelte des Dirichlet-Integrals .

Siehe auch

Anmerkungen

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