Liber Abaci - Liber Abaci

Eine Seite des Liber Abaci aus der Biblioteca Nazionale di Firenze . Die Liste rechts zeigt die Nummern 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (die Fibonacci-Sequenz ). Die 2, 8 und 9 ähneln mehr arabischen Ziffern als ostarabischen oder indischen Ziffern

Liber Abaci (auch als Liber Abbaci geschrieben ; "Das Buch der Berechnung") ist ein historisches lateinisches Manuskript über die Arithmetik von Leonardo von Pisa aus dem Jahr 1202 , das posthum als Fibonacci bekannt ist .

Liber Abaci gehörte zu den ersten westlichen Büchern, die das hindu-arabische Zahlensystem beschrieben und Symbole verwendeten, die modernen " arabischen Zahlen " ähnelten . Durch die Berücksichtigung der Anwendungen sowohl von gewerblichen Handwerkern als auch von Mathematikern wurde die Überlegenheit des Systems und die Verwendung dieser Glyphen gefördert.

Obwohl der Titel des Buches auch als "Das Buch des Abakus" übersetzt wurde, schreibt Sigler (2002) , dass dies ein Fehler ist: Die Absicht des Buches ist es, Methoden zu beschreiben, mit denen Berechnungen ohne Hilfe eines Abakus durchgeführt werden können , und als Erz ( 1948) bestätigt, dass die Algorismisten (Anhänger des in Liber Abaci demonstrierten Berechnungsstils ) Jahrhunderte nach seiner Veröffentlichung im Konflikt mit den Abakisten (Traditionalisten, die den Abakus weiterhin in Verbindung mit römischen Ziffern verwendeten) standen. Der Mathematikhistoriker Carl Boyer erklärte in seiner Geschichte der Mathematik : "Das Buch, in dem Fibonacci den neuen Algorithmus beschrieb, ist ein berühmter Klassiker, der 1202 fertiggestellt wurde, aber einen irreführenden Titel trägt - Liber abaci (oder Buch des Abakus) ist nicht auf dem Abakus; es ist eine sehr gründliche Abhandlung über algebraische Methoden und Probleme, in denen die Verwendung der hindu-arabischen Ziffern stark befürwortet wird. "

Zusammenfassung der Abschnitte

Im ersten Abschnitt wird das hindu-arabische Zahlensystem vorgestellt, einschließlich Methoden zur Konvertierung zwischen verschiedenen Darstellungssystemen. Dieser Abschnitt enthält auch die erste bekannte Beschreibung Probedivision für die Prüfung , ob eine Zahl Composite und, wenn ja, Factoring es.

Der zweite Abschnitt enthält Beispiele aus dem Handel, wie z. B. Währungsumrechnungen und -messungen sowie Berechnungen von Gewinn und Zinsen .

Der dritte Abschnitt behandelt eine Reihe von mathematischen Problemen; Zum Beispiel enthält es (Kap. II.12) den chinesischen Restsatz , perfekte Zahlen und Mersenne-Primzahlen sowie Formeln für arithmetische Reihen und für quadratische Pyramidenzahlen . Ein weiteres Beispiel in diesem Kapitel, das das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschreibt, war der Ursprung der Fibonacci-Sequenz, für die der Autor heute am bekanntesten ist.

Der vierte Abschnitt leitet sowohl numerische als auch geometrische Näherungen irrationaler Zahlen wie Quadratwurzeln ab.

Das Buch enthält auch Beweise in euklidischer Geometrie . Fibonaccis Methode zur Lösung algebraischer Gleichungen zeigt den Einfluss des ägyptischen Mathematikers Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam aus dem frühen 10. Jahrhundert .

Fibonaccis Notation für Brüche

Beim Lesen von Liber Abaci ist es hilfreich, Fibonaccis Notation für rationale Zahlen zu verstehen, eine Notation, die in ihrer Form zwischen den bis dahin gebräuchlichen ägyptischen Fraktionen und den heute noch verwendeten vulgären Fraktionen liegt . Es gibt drei Hauptunterschiede zwischen der Fibonacci-Notation und der modernen Bruchnotation.

1. Wir schreiben im Allgemeinen einen Bruch rechts von der ganzen Zahl, zu der es hinzugefügt wird, zum Beispiel für 7/3. Fibonacci würde stattdessen den gleichen Bruch nach links schreiben, dh , . ${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$
2. Fibonacci verwendete eine zusammengesetzte Bruchnotation, in der eine Folge von Zählern und Nennern denselben Bruchbalken gemeinsam hatte. Jeder dieser Begriffe stellte einen zusätzlichen Bruchteil des gegebenen Zählers dar, geteilt durch das Produkt aller Nenner unten und rechts davon. Das heißt , und . Die Notation wurde von rechts nach links gelesen. Zum Beispiel könnte 29/30 als geschrieben werden , was den Wert darstellt . Dies kann als eine Form der gemischten Radixnotation angesehen werden und war sehr praktisch für den Umgang mit traditionellen Systemen von Gewichten, Maßen und Währungen. Beispielsweise ist für Längeneinheiten ein Fuß 1/3 eines Yards und ein Zoll 1/12 eines Fußes, sodass eine Menge von 5 Yards, 2 Fuß und Zoll als zusammengesetzter Bruch dargestellt werden kann: Yards . Typische Notationen für traditionelle Kennzahlen, die ebenfalls auf gemischten Radixen basieren, schreiben die Nenner jedoch nicht explizit aus. Die expliziten Nenner in Fibonaccis Notation ermöglichen es ihm, verschiedene Radixe für verschiedene Probleme zu verwenden, wenn dies zweckmäßig ist. Sigler weist auch auf einen Fall hin, in dem Fibonacci zusammengesetzte Brüche verwendet, bei denen alle Nenner 10 sind, wodurch die moderne Dezimalschreibweise für Brüche vorgezeichnet wird. ${\ displaystyle {\ tfrac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ tfrac {a} {c}} + {\ tfrac {b} {cd}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ tfrac {a} {d}} + {\ tfrac {b } {de}} + {\ tfrac {c} {def}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4} {5}} + {\ tfrac {2} {3 \ times 5}} + {\ tfrac {1} {2 \ times 3 \ times 5}}}$${\ displaystyle 7 {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5}$
3. Fibonacci schrieb manchmal mehrere Brüche nebeneinander, was eine Summe der gegebenen Brüche darstellt. Zum Beispiel 1/3 + 1/4 = 7/12, also würde eine Notation wie die Zahl darstellen, die jetzt üblicherweise als gemischte Zahl oder einfach als falscher Bruch geschrieben wird . Die Notation dieser Form kann von Sequenzen von Zählern und Nennern, die sich einen Bruchbalken teilen, durch den sichtbaren Bruch im Balken unterschieden werden. Wenn alle Zähler 1 in einem in dieser Form geschriebenen Bruch sind und alle Nenner voneinander verschieden sind, ist das Ergebnis eine ägyptische Bruchdarstellung der Zahl. Diese Notation wurde manchmal auch mit der zusammengesetzten Bruchnotation kombiniert: Zwei nebeneinander geschriebene zusammengesetzte Brüche repräsentierten die Summe der Brüche. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} \, {\ tfrac {1} {3}} \, 2}$${\ displaystyle 2 \, {\ tfrac {7} {12}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {31} {12}}}$

Die Komplexität dieser Notation ermöglicht das Schreiben von Zahlen auf viele verschiedene Arten, und Fibonacci beschrieb verschiedene Methoden zum Konvertieren von einem Darstellungsstil in einen anderen. Insbesondere enthält Kapitel II.7 eine Liste von Methoden zum Konvertieren einer falschen Fraktion in eine ägyptische Fraktion, einschließlich des gierigen Algorithmus für ägyptische Fraktionen , der auch als Fibonacci-Sylvester-Erweiterung bekannt ist.

Modus Indorum

Im Liber Abaci sagt Fibonacci im Folgenden die Einführung des Modus Indorum (der Methode der Indianer), der heute als hindu-arabisches Zahlensystem oder Basis-10-Positionsnotation bekannt ist. Es wurden auch Ziffern eingeführt, die den modernen arabischen Ziffern sehr ähnlich waren .

Da mein Vater ein Beamter außerhalb unserer Heimat im Bugia- Zollhaus war, das für die dort häufig versammelten pisanischen Kaufleute eingerichtet worden war, ließ er mich in meiner Jugend zu sich bringen, um für mich eine nützliche und komfortable Zukunft zu finden. dort wollte er, dass ich Mathematik studiere und einige Tage unterrichtet werde. Von einer wunderbaren Unterweisung in der Kunst der neun indischen Figuren hat mich die Einführung und das Wissen über die Kunst vor allem sehr gefreut, und ich habe von ihnen, wer auch immer darin gelernt wurde, aus dem nahe gelegenen Ägypten, Syrien, Griechenland und Sizilien gelernt und die Provence und ihre verschiedenen Methoden, zu welchen Geschäftsorten ich später viel gereist bin, um viel zu studieren, und ich habe aus den versammelten Disputationen gelernt. Aber insgesamt, dem Algorithmus und sogar den pythagoreischen Bögen, habe ich im Vergleich zur indischen Methode immer noch fast einen Fehler berechnet. Deshalb habe ich mich strikt darum gekümmert, die indische Methode strikt zu akzeptieren und sie zu studieren, indem ich aus meinem eigenen Sinn einige und noch mehr aus der subtilen euklidischen geometrischen Kunst hinzufügte und die Summe, die ich wahrnehmen konnte, auf dieses Buch anwendete es zusammen in xv verschiedenen Kapiteln, die bestimmte Beweise für fast alles zeigen, was ich hineingesteckt habe, so dass diese Methode, die über den Rest perfektioniert wurde, diese Wissenschaft dem eifrigen und dem italienischen Volk vor allen anderen, die bis jetzt sind, beigebracht wird werden ohne ein Minimum gefunden. Wenn ich zufällig etwas weniger oder mehr Richtiges oder Notwendiges ausgelassen habe, wird Ihre Nachsicht für mich erbeten, da es niemanden gibt, der ohne Fehler ist und in allen Dingen insgesamt umsichtig ist.

Die neun indischen Figuren sind:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Mit diesen neun Ziffern und mit dem Zeichen 0, das die Araber Zephir nennen, steht eine beliebige Zahl geschrieben ... ( Sigler 2002 ; siehe Grimm 1973 für eine weitere Übersetzung)

Mit anderen Worten, in seinem Buch befürwortete er die Verwendung der Ziffern 0–9 und des Stellenwerts . Bis zu dieser Zeit verwendete Europa römische Ziffern, was die moderne Mathematik fast unmöglich machte. Das Buch leistete damit einen wichtigen Beitrag zur Verbreitung von Dezimalzahlen. Die Ausbreitung des hindu-arabischen Systems war jedoch, wie Ore schreibt, "langwierig" , und es dauerte noch viele Jahrhunderte, bis sie sich weit verbreitete. Sie wurde erst gegen Ende des 16. Jahrhunderts vollständig und beschleunigte sich erst im Jahr dramatisch die 1500er Jahre mit dem Aufkommen des Druckens.

Textgeschichte

Das Manuskript erschien zum ersten Mal im Jahr 1202. Es sind keine Exemplare dieser Version bekannt. Eine überarbeitete Version von Liber Abaci, die Michael Scot gewidmet ist , erschien 1227 n. Chr. Es sind mindestens neunzehn Manuskripte vorhanden, die Teile dieses Textes enthalten. Es gibt drei vollständige Versionen dieses Manuskripts aus dem 13. und 14. Jahrhundert. Zwischen dem 13. und 15. Jahrhundert sind weitere neun unvollständige Exemplare bekannt, von denen möglicherweise noch weitere nicht identifiziert wurden.

Bis zur italienischen Übersetzung von Boncompagni von 1857 war keine gedruckte Version von Liber Abaci bekannt . Die erste vollständige englische Übersetzung war Siglers Text von 2002.

Anmerkungen

Verweise

• Grimm, RE (1973), "Die Autobiographie von Leonardo Pisano" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104 .
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002), Fibonaccis Liber Abaci , Springer-Verlag, ISBN   0-387-95419-8 .
• Erz, Øystein (1948), Zahlentheorie und ihre Geschichte , McGraw Hill . Dover-Version auch erhältlich, 1988, ISBN   978-0-486-65620-5 .