Lindebergs Zustand - Lindeberg's condition

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Lindeberg-Bedingung eine hinreichende Bedingung (und unter bestimmten Bedingungen auch eine notwendige Bedingung), damit der zentrale Grenzwertsatz (CLT) für eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen gilt . Im Gegensatz zur klassischen CLT, die erfordert, dass die fraglichen Zufallsvariablen endliche Varianz haben und sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind , erfordert die CLT von Lindeberg nur, dass sie eine endliche Varianz haben, die Lindeberg-Bedingung erfüllen und unabhängig sind . Es ist nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt .

Stellungnahme

Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum , und , seien unabhängige Zufallsvariablen, die auf diesem Raum definiert sind. Angenommen, die Erwartungswerte und Varianzen existieren und sind endlich. Lass auch${\displaystyle (\Omega,{\mathcal{F}},\mathbb{P})}$${\displaystyle X_{k}:\Omega\to\mathbb{R},\,\,k\in\mathbb{N}}$${\displaystyle \mathbb{E}\,[X_{k}]=\mu_{k}}$${\displaystyle \mathrm{Var}\,[X_{k}]=\sigma_{k}^{2}}$${\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}^{2}.}$

Wenn diese Folge unabhängiger Zufallsvariablen die Lindeberg-Bedingung erfüllt : ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle \lim_{n\to\infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[ (X_{k}-\mu_{k})^{2}\cdot\mathbf{1} _{\{|X_{k}-\mu_{k}|>\varepsilon s_{n}\} }\right]=0}$

für alle , wobei 1 _{…} die Indikatorfunktion ist , dann gilt der zentrale Grenzwertsatz , also die Zufallsvariablen ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum_{k=1}^{n}(X_{k}-\mu_{k})}{s_{n}}}}$

konvergieren in der Verteilung gegen eine normale normale Zufallsvariable als${\displaystyle n\to \infty.}$

Lindebergs Bedingung ist ausreichend, aber im Allgemeinen nicht notwendig (dh die inverse Implikation gilt nicht im Allgemeinen). Erfüllt jedoch die fragliche Folge unabhängiger Zufallsvariablen

${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma_{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\ text{ as }}n\to \infty ,}$

dann ist die Lindebergsche Bedingung sowohl hinreichend als auch notwendig, dh sie gilt genau dann, wenn das Ergebnis des zentralen Grenzwertsatzes gilt.

Bemerkungen

Fellers Theorem

Der Satz von Feller kann als alternative Methode verwendet werden, um zu beweisen, dass die Lindeberg-Bedingung gilt. Der Einfachheit halber lautet der Satz ${\displaystyle S_{n}:=\sum_{k=1}^{n}X_{k}}$${\displaystyle \mathbb{E}\,[X_{k}]=0}$

if , und konvergiert schwach gegen eine Standardnormalverteilung , da dann die Lindeberg-Bedingung erfüllt ist.${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$${\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\max_{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0}$${\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}}$${\displaystyle n\rightarrow\infty}$${\displaystyle X_{k}}$

Dieser Satz kann verwendet werden , um die entkräften zentralen Grenzwertsatz für hält durch die Verwendung von Widerspruch Beweis . Dieses Verfahren beinhaltet den Nachweis, dass Lindebergs Bedingung für fehlgeschlagen ist . ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k}}$

Interpretation

Da die Lindeberg-Bedingung as impliziert , garantiert sie, dass der Beitrag jeder einzelnen Zufallsvariablen ( ) zur Varianz für ausreichend große Werte von beliebig klein ist . ${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma_{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}$${\displaystyle n\to\infty}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle s_{n}^{2}}$${\displaystyle n}$

Siehe auch

• Lyapunov-Zustand
• Zentraler Grenzwertsatz

Verweise