Linearer Raum (Geometrie) - Linear space (geometry)

Ein linearer Raum ist eine Grundstruktur der Einfallsgeometrie . Ein linearer Raum besteht aus einer Menge von Elementen, die als Punkte bezeichnet werden , und einer Menge von Elementen, die als Linien bezeichnet werden . Jede Linie ist eine unterschiedliche Teilmenge der Punkte. Die Punkte in einer Linie sind , gesagt, dass einfallende mit der Leitung. Zwei beliebige Linien dürfen höchstens einen gemeinsamen Punkt haben. Intuitiv kann man sich diese Regel als die Eigenschaft vorstellen, dass sich zwei Geraden nie mehr als einmal schneiden.

Lineare Räume können als Verallgemeinerung von projektiven und affinen Ebenen und allgemeiner von 2- Block-Designs angesehen werden , bei denen die Anforderung fallengelassen wird, dass jeder Block die gleiche Anzahl von Punkten enthält und das wesentliche strukturelle Merkmal darin besteht, dass 2 Punkte mit zusammenfallen genau 1 Zeile. ${\displaystyle (v,k,1)}$

Der Begriff linearer Raum wurde 1964 von Paul Libois geprägt , obwohl viele Ergebnisse über lineare Räume viel älter sind.

Definition

Sei L = ( P , G , I ) eine Inzidenzstruktur , bei der die Elemente von P Punkte und die Elemente von G Linien genannt werden. L ist ein linearer Raum, wenn die folgenden drei Axiome gelten:

• (L1) zwei unterschiedliche Punkte fallen mit genau einer Geraden zusammen.
• (L2) jede Gerade fällt auf mindestens zwei verschiedene Punkte.
• (L3) L enthält mindestens zwei verschiedene Linien.

Einige Autoren lassen (L3) fallen, wenn sie lineare Räume definieren. In einer solchen Situation werden die linearen Räume, die (L3) entsprechen, als nicht trivial und diejenigen, die dies nicht tun, als trivial betrachtet .

Beispiele

Die regelmäßige euklidische Ebene mit ihren Punkten und Linien bildet einen linearen Raum, außerdem sind alle affinen und projektiven Räume ebenfalls lineare Räume.

Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen nichttrivialen linearen Räume von fünf Punkten. Da zwei beliebige Punkte immer mit einer Linie einfallen, werden die Linien, die nur mit zwei Punkten einfallen, konventionsgemäß nicht gezeichnet. Der triviale Fall ist einfach eine Linie durch fünf Punkte.

In der ersten Abbildung sind die zehn Linien, die die zehn Punktpaare verbinden, nicht gezeichnet. In der zweiten Abbildung sind sieben Linien, die sieben Punktpaare verbinden, nicht gezeichnet.

10 Zeilen	8 Zeilen	6 Zeilen	5 Zeilen

Ein linearer Raum von n Punkten, der eine Linie enthält, die mit n  − 1 Punkten einfällt, wird Nahstift genannt . (Siehe Bleistift )

nahe Bleistift mit 10 Punkten

Eigenschaften

Der Satz von De Bruijn-Erd zeigt, dass in jedem endlichen linearen Raum, der weder ein einzelner Punkt noch eine einzelne Gerade ist, gilt . ${\displaystyle S=({\mathcal{P}},{\mathcal{L}},{\textbf{I}})}$${\displaystyle |{\mathcal{P}}|\leq |{\mathcal{L}}|}$

Siehe auch

• Blockdesign
• Fan-Flugzeug
• Projektiver Raum
• Affiner Raum
• Molekulargeometrie
• Teillinearer Raum

Verweise

• Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.

• Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN  3-411-01648-5 , S. 159 (Deutsch)
• JH van Lint , RM Wilson : Ein Kurs in Kombinatorik . Cambridge University Press, 1992, ISBN  0-521-42260-4 . P. 188
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher: Die Theorie endlicher linearer Räume . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.