Liste der Anweisungen unabhängig von ZFC - List of statements independent of ZFC

Die unten diskutierten mathematischen Aussagen sind nachweislich unabhängig von ZFC (der kanonischen axiomatischen Mengenlehre der zeitgenössischen Mathematik, bestehend aus den Zermelo-Fraenkel-Axiomen plus dem Auswahlaxiom ), vorausgesetzt, ZFC ist konsistent . Eine Aussage ist unabhängig von ZFC (manchmal auch als "unentscheidbar in ZFC" bezeichnet), wenn sie aus den Axiomen von ZFC weder bewiesen noch widerlegt werden kann.

Axiomatische Mengenlehre

1931 bewies Kurt Gödel das erste ZFC-Unabhängigkeitsergebnis, nämlich dass die Konsistenz von ZFC selbst unabhängig von ZFC war ( Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz ).

Die folgenden Aussagen sind unter anderem unabhängig von ZFC:

• die Konsistenz von ZFC;
• die Kontinuumshypothese oder CH (Gödel erstellte ein Modell von ZFC, in dem CH wahr ist, und zeigte, dass CH in ZFC nicht widerlegt werden kann; Paul Cohen erfand später die Methode , ein Modell von ZFC zu erzwingen , in dem CH versagt, und zeigte, dass CH nicht im ZFC nachgewiesen werden.Die folgenden vier Unabhängigkeitsergebnisse stammen ebenfalls von Gödel/Cohen.);
• die generalisierte Kontinuumshypothese (GCH);
• eine verwandte unabhängige Aussage ist, dass, wenn eine Menge x weniger Elemente als y hat , x auch weniger Teilmengen als y hat . Insbesondere scheitert diese Aussage, wenn die Kardinalitäten der Potenzmengen von x und y übereinstimmen;
• das Axiom der Konstruierbarkeit ( V = L );
• das Diamantprinzip (◊);
• Martins Axiom (MA);
• MA + ¬CH (Unabhängigkeit gezeigt von Solovay und Tennenbaum ).

Wir haben folgende Implikationsketten:

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

CH → MA,

und (siehe Abschnitt zur Ordnungstheorie):

◊ → ¬ SH ,

MA + ¬CH → ESSEN → SH.

Mehrere Aussagen zur Existenz großer Kardinäle können in ZFC nicht bewiesen werden (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent). Diese sind unabhängig von ZFC, sofern sie mit ZFC übereinstimmen, was die meisten Working-Set-Theoretiker glauben, dass dies der Fall ist. Diese Aussagen sind stark genug, um die Konsistenz von ZFC zu implizieren. Dies hat zur Folge (über Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz ), dass ihre Konsistenz mit ZFC in ZFC nicht bewiesen werden kann (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent). Die folgenden Aussagen gehören zu dieser Klasse:

• Existenz unzugänglicher Kardinäle
• Existenz von Mahlo-Kardinälen
• Existenz messbarer Kardinäle (zuerst von Ulam vermutet )
• Existenz superkompakter Kardinäle

Die folgenden Aussagen können unter Annahme der Konsistenz eines geeigneten großen Kardinals unabhängig von ZFC nachgewiesen werden:

• Richtiges erzwingendes Axiom
• Offenes Farbaxiom
• Martins Maximum
• Existenz von 0 ^#
• Singuläre Kardinalshypothese
• Projektive Bestimmtheit (und sogar das volle Axiom der Bestimmtheit, wenn das Auswahlaxiom nicht angenommen wird)

Mengenlehre der reellen Geraden

Es gibt viele Kardinalinvarianten der reellen Linie, die mit der Maßtheorie und Aussagen zum Baire-Kategoriensatz verbunden sind , deren genaue Werte unabhängig von ZFC sind. Während nicht - triviale Beziehungen können beliebig sein zwischen ihnen, den meisten Kardinälen Invarianten beweisen regelmäßiger Kardinal zwischen ℵ ₁ und 2 ^{ℵ ₀} . Dies ist ein wichtiges Studiengebiet in der Mengenlehre der reellen Geraden (siehe Cichon-Diagramm ). MA hat die Tendenz, die interessantesten Kardinalinvarianten gleich 2 ^{ℵ _{0 zu setzen}} .

Eine Teilmenge X der durchgezogenen Linie ist ein starkes Maß Nullstellungs wenn an jede Sequenz ( ε _n ) von positiven reellen Zahlen eine Folge von Intervallen (existiert I _n ) , die umfasst X und derart , dass I _n hat die Länge höchstens ε _n . Borels Vermutung, dass jede starke Maßnullmenge abzählbar ist, ist unabhängig von ZFC.

Eine Teilmenge X der reellen Geraden ist -dicht, wenn jedes offene Intervall -viele Elemente von X enthält . Ob alle -dichten Mengen ordnungsisomorph sind, ist unabhängig von ZFC. ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ordnungstheorie

Suslins Problem fragt, ob eine bestimmte kurze Liste von Eigenschaften die geordnete Menge der reellen Zahlen R charakterisiert . Dies ist in ZFC unentscheidbar. Eine Suslin-Linie ist eine geordnete Menge, die diese spezifische Liste von Eigenschaften erfüllt, aber nicht ordnungsisomorph zu R ist . Der Diamant Prinzip ◊ beweist die Existenz einer Suslinsche Linie, während MA + ¬CH EATS impliziert ( jeder Aronszajn Baum besonders ist ), was wiederum bedeutet , (aber nicht gleichwertig) die Nicht - Existenz von Suslinsche Linien. Ronald Jensen bewies, dass CH nicht die Existenz einer Suslin-Linie impliziert.

Die Existenz von Kurepa-Bäumen ist unabhängig von ZFC, wobei die Konsistenz eines unzugänglichen Kardinals vorausgesetzt wird .

Die Existenz einer Zerlegung der Ordnungszahl in zwei Farben ohne monochromatische überzählbare sequentiell abgeschlossene Teilmenge ist unabhängig von ZFC, ZFC + CH und ZFC + ¬CH, unter Annahme der Konsistenz eines Mahlo-Kardinals . Dieser Satz von Shelah beantwortet eine Frage von H. Friedman . ${\displaystyle \omega_{2}}$

Abstrakte Algebra

1973 zeigte Saharon Shelah , dass das Whitehead-Problem ("ist jede abelsche Gruppe A mit Ext ¹ (A, Z ) = 0 eine freie abelsche Gruppe ?") unabhängig von ZFC ist. Eine abelsche Gruppe mit Ext ¹ (A, Z ) = 0 heißt Whitehead-Gruppe; MA + ¬CH beweist die Existenz einer nicht-freien Whitehead-Gruppe, während V = L beweist, dass alle Whitehead-Gruppen frei sind. In einer der ersten Anwendungen der richtigen zwingen , konstruiert Shelah ein Modell der ZFC + CH , in dem es eine nicht-freie Whitehead - Gruppe ist.

Betrachten Sie den Ring A = R [ x , y , z ] von Polynomen in drei Variablen über den reellen Zahlen und seinen Bruchkörper M = R ( x , y , z ). Die projektive Dimension von M als A -Modul ist entweder 2 oder 3, aber es ist unabhängig von ZFC, ob sie gleich 2 ist; es ist gleich 2, wenn und nur wenn CH gilt.

Ein direktes Produkt abzählbar vieler Felder hat die globale Dimension 2 genau dann, wenn die Kontinuumshypothese gilt.

Zahlentheorie

Man kann ein konkretes Polynom p ∈ Z [ x ₁ , ..., x ₉ ] so aufschreiben, dass die Aussage "es gibt ganze Zahlen m ₁ , ..., m ₉ mit p ( m ₁ , ..., m ₉ ) = 0" kann in ZFC weder bewiesen noch widerlegt werden (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent). Dies folgt aus Yuri Matiyasevichs Lösung des zehnten Problems von Hilbert ; das Polynom ist so konstruiert, dass es genau dann eine ganzzahlige Wurzel hat, wenn ZFC inkonsistent ist.

Theorie messen

Eine stärkere Version des Satzes von Fubini für positive Funktionen, bei der die Funktion nicht mehr als messbar angenommen wird, sondern lediglich, dass die beiden iterierten Integrale wohldefiniert sind und existieren, ist unabhängig von ZFC. Einerseits impliziert CH, dass es eine Funktion auf dem Einheitsquadrat gibt, deren iterierte Integrale nicht gleich sind – die Funktion ist einfach die Indikatorfunktion einer Ordnung von [0, 1] äquivalent zu einer Wohlordnung der Kardinalzahl ω ₁ . Ein ähnliches Beispiel kann mit MA konstruiert werden . Andererseits wurde die Konsistenz des starken Satzes von Fubini zuerst von Friedman gezeigt . Es kann auch aus einer Variante des Freilingschen Symmetrieaxioms abgeleitet werden .

Topologie

Die normalen Moore Raum Vermutung, nämlich , dass jeder normalen Moore Raum ist metrisierbar kann disproven vorausgesetzt CH oder MA + ¬CH sein und nachweislich eine gewisse Axiom vorausgesetzt , die die Existenz von großen Kardinälen implizieren. Daher ist die Normal-Moore-Space-Vermutung bei großen Kardinälen unabhängig von ZFC.

Verschiedene Behauptungen über endlich, P-Punkte, Q-Punkte, ... ${\displaystyle P(\omega)/}$

S- und L-Räume

Funktionsanalyse

Garth Dales und Robert M. Solovay haben 1976 bewiesen, dass Kaplanskys Vermutung , dass jeder Algebrahomomorphismus von der Banach-Algebra C(X) (wobei X ein kompakter Hausdorff-Raum ist ) in jede andere Banach-Algebra stetig sein muss, unabhängig von ZFC ist. CH impliziert, dass für jedes unendliche X ein diskontinuierlicher Homomorphismus in jede Banach-Algebra existiert.

Betrachten Sie die Algebra B ( H ) beschränkter linearer Operatoren auf dem unendlich-dimensionalen separierbaren Hilbert-Raum H . Die kompakten Operatoren bilden ein zweiseitiges Ideal in B ( H ). Die Frage, ob dieses Ideal die Summe zweier richtig kleinerer Ideale ist, ist unabhängig von ZFC, wie Andreas Blass und Saharon Shelah 1987 bewiesen .

Charles Akemann und Nik Weaver zeigten 2003, dass die Aussage "es gibt ein Gegenbeispiel zu Naimarks Problem, das durch ℵ ₁ , Elemente erzeugt wird " unabhängig von ZFC ist.

Miroslav Bačák und Petr Hájek haben 2008 bewiesen, dass die Aussage „jeder Asplund-Raum mit Dichtecharakter ω ₁ hat eine Renormierung mit der Mazur-Schnitteigenschaft “ unabhängig von ZFC ist. Das Ergebnis wird unter Verwendung des maximalen Axioms von Martin gezeigt , während Mar Jiménez und José Pedro Moreno (1997) ein Gegenbeispiel unter der Annahme von CH präsentiert hatten.

Wie Ilijas Farah und N. Christopher Phillips und Nik Weaver gezeigt haben , hängt die Existenz äußerer Automorphismen der Calkin-Algebra von mengentheoretischen Annahmen jenseits von ZFC ab.

Modelltheorie

Changs Vermutung ist unabhängig davon, dass ZFC die Konsistenz eines Erdős-Kardinals annimmt .

Berechenbarkeitstheorie

Marcia Groszek und Theodore Slaman gaben Beispiele für vom ZFC unabhängige Aussagen zur Struktur der Turing-Grade. Insbesondere ob es eine maximal unabhängige Menge von Größengraden kleiner als das Kontinuum gibt.

Verweise

Externe Links

• Was sind einige vernünftig klingende Aussagen, die unabhängig von ZFC sind? , mathoverflow.net