Zustandsdichte - Density of states

In der Festkörperphysik und der Physik kondensierter Materie , die Zustandsdichte ( DOS ) eines Systems beschreibt den Anteil der Staaten , die an jeder Energie , die durch das System zu besetzen sind. Die Zustandsdichte ist definiert als , wobei die Anzahl der Zustände in dem System von Lautstärke , der Energien in dem Bereich liegen . Es wird mathematisch als Verteilung durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dargestellt und ist im Allgemeinen ein Durchschnitt über die Raum- und Zeitbereiche der verschiedenen vom System besetzten Zustände. Die Zustandsdichte steht in direktem Zusammenhang mit den Dispersionsrelationen der Eigenschaften des Systems. Hohe DOS bei einem bestimmten Energieniveau bedeuten, dass viele Staaten für die Besetzung verfügbar sind. ${\ Anzeigestil D (E) = N (E) / V}$ ${\ displaystyle N (E) \ delta E}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle E + \ delta E}$

Im Allgemeinen ist die Dichte der Materiezustände kontinuierlich. In isolierten Systemen wie Atomen oder Molekülen in der Gasphase ist die Dichteverteilung jedoch diskret , wie bei einer spektralen Dichte . Lokale Variationen, meist aufgrund von Verzerrungen des ursprünglichen Systems, werden häufig als lokale Zustandsdichten (LDOSs) bezeichnet.

Einführung

In quantenmechanischen Systemen können Wellen oder wellenförmige Teilchen Moden oder Zustände mit vom System vorgegebenen Wellenlängen und Ausbreitungsrichtungen einnehmen. Beispielsweise können in einigen Systemen der interatomare Abstand und die atomare Ladung eines Materials nur Elektronen mit bestimmten Wellenlängen existieren lassen. In anderen Systemen kann die Kristallstruktur eines Materials die Ausbreitung von Wellen in eine Richtung ermöglichen, während die Wellenausbreitung in einer anderen Richtung unterdrückt wird. Oft sind nur bestimmte Zustände zulässig. Daher kann es vorkommen, dass viele Staaten für eine Besetzung auf einem bestimmten Energieniveau verfügbar sind, während auf anderen Energieniveaus keine Staaten verfügbar sind.

Betrachtet man die Zustandsdichte von Elektronen an der Bandkante zwischen den Valenz- und Leitungsbändern in einem Halbleiter, so stellt eine Erhöhung der Elektronenenergie für ein Elektron im Leitungsband mehr Zustände zur Besetzung zur Verfügung. Alternativ ist die Zustandsdichte für ein Energieintervall diskontinuierlich, was bedeutet, dass keine Zustände verfügbar sind, die Elektronen innerhalb der Bandlücke des Materials einnehmen können. Diese Bedingung bedeutet auch, dass ein Elektron an der Leitungsbandkante mindestens die Bandlückenenergie des Materials verlieren muss, um in einen anderen Zustand im Valenzband überzugehen.

Dies bestimmt, ob das Material ein Isolator oder ein Metall in der Dimension der Ausbreitung ist. Das Ergebnis der Anzahl der Zustände in einem Band ist auch nützlich für die Vorhersage der Leitungseigenschaften. Beispielsweise führt in einer eindimensionalen Kristallstruktur eine ungerade Anzahl von Elektronen pro Atom zu einem halb gefüllten oberen Band; Hier sind freie Elektronen auf Fermi-Ebene, die zu einem Metall führen. Andererseits füllt eine gerade Anzahl von Elektronen genau eine ganze Anzahl von Bändern und lässt den Rest leer. Wenn dann das Fermi-Niveau in einer besetzten Bandlücke zwischen dem höchsten besetzten Zustand und dem niedrigsten leeren Zustand liegt, ist das Material ein Isolator oder ein Halbleiter .

Abhängig vom quantenmechanischen System kann die Zustandsdichte für Elektronen , Photonen oder Phononen berechnet und als Funktion der Energie oder des Wellenvektors k angegeben werden . Um zwischen dem DOS als Funktion der Energie und dem DOS als Funktion des Wellenvektors umzuwandeln, muss die systemspezifische Energiedispersionsbeziehung zwischen E und k bekannt sein.

Im Allgemeinen haben die topologischen Eigenschaften des Systems wie die Bandstruktur einen großen Einfluss auf die Eigenschaften der Zustandsdichte. Die bekanntesten Systeme wie Neutronium in Neutronensternen und freie Elektronengase in Metallen (Beispiele für entartete Materie und ein Fermigas ) weisen eine dreidimensionale euklidische Topologie auf . Weniger bekannte Systeme wie zweidimensionale Elektronengase (2DEG) in Graphitschichten und das Quanten-Hall-Effekt- System in Bauelementen vom MOSFET- Typ weisen eine zweidimensionale euklidische Topologie auf. Noch weniger bekannt sind Kohlenstoffnanoröhren , der Quantendraht und die Luttinger-Flüssigkeit mit ihren eindimensionalen Topologien. Systeme mit 1D- und 2D-Topologien werden wahrscheinlich häufiger, vorausgesetzt, die Entwicklungen in der Nanotechnologie und den Materialwissenschaften schreiten voran.

Definition

Im Allgemeinen wird die Zustandsdichte in Bezug auf die zählbaren Energieniveaus von Volumen V und N definiert durch:

{\ displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta \ left (EE \ left ({\ vec {k}} _ {) i} \ right) \ right).}

Unter Verwendung (der kleinsten zulässigen Änderung für ein Partikel in einer Box mit Abmessungen und Längen ) unter der Grenze leitet man die volumenbezogene Zustandsdichte für kontinuierliche Energieniveaus ab ${\ displaystyle (\ Delta k) ^ {d} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {L}} \ right) ^ {d}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L \ to \ infty}$

{\ displaystyle D (E): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {d} k} {(2 \ pi) ^ {d}}} \ cdot \ delta \ left (EE \ left ({\ vec {k}} \ right) \ right),}

mit der räumlichen Dimension des betrachteten Systems und dem Wellenvektor. ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

Für ein eindimensionales System ist für ein zweidimensionales System die Zustandsdichte eine Konstante und für ein dreidimensionales System . ${\ displaystyle D_ {1D} (E) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ left ({\ frac {2m} {E}} \ right) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle D_ {2D} = {\ frac {m} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle D_ {3D} (E) = {\ frac {m} {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {3}}} (2mE) ^ {1/2}}$

Entsprechend kann die Zustandsdichte auch als Ableitung der mikrokanonischen Verteilungsfunktion ( dh der Gesamtzahl der Zustände mit einer Energie von weniger als ) in Bezug auf die Energie verstanden werden: ${\ displaystyle Z_ {m} (E)}$ ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} Z_ {m} (E)} {\ mathrm {d} E}}}

Die Anzahl der Zustände mit Energie (Grad der Entartung) ist gegeben durch: ${\ displaystyle E '}$

{\ displaystyle g \ left (E '\ right) = \ lim _ {\ Delta E \ bis 0} \ int _ {E'} ^ {E '+ \ Delta E} D (E) \ mathrm {d} E. = \ lim _ {\ Delta E \ bis 0} D \ left (E '\ right) \ Delta E,}

wobei die letzte Gleichheit nur gilt, wenn der Mittelwertsatz für Integrale gültig ist.

Symmetrie

Erste Brillouin-Zone des FCC-Gitters , ein Oktaederstumpf , der Symmetrie-Beschriftungen für Linien und Punkte mit hoher Symmetrie zeigt

Es gibt eine Vielzahl von Systemen und Zustandsarten, für die DOS-Berechnungen durchgeführt werden können.

Einige Systeme kondensierter Materie besitzen eine strukturelle Symmetrie im mikroskopischen Maßstab, die zur Vereinfachung der Berechnung ihrer Zustandsdichten genutzt werden kann. In sphärisch symmetrischen Systemen sind die Funktionsintegrale eindimensional, da alle Variablen in der Berechnung nur vom radialen Parameter der Dispersionsrelation abhängen. Flüssigkeiten , Gläser und amorphe Feststoffe sind Beispiele für ein symmetrisches System, dessen Dispersionsrelationen eine Rotationssymmetrie aufweisen.

Oktaeder.

Messungen an Pulvern oder polykristallinen Proben erfordern Bewertungs- und Berechnungsfunktionen und Integrale der Dispersionsrelationen des interessierenden Systems über die gesamte Domäne , meistens eine Brillouin-Zone . Manchmal ist die Symmetrie des Systems hoch, was dazu führt, dass die Form der Funktionen, die die Dispersionsrelationen des Systems beschreiben, über den gesamten Bereich der Dispersionsrelation viele Male auftritt. In solchen Fällen kann der Aufwand zur Berechnung des DOS um einen großen Betrag reduziert werden, wenn die Berechnung auf eine reduzierte Zone oder einen grundlegenden Bereich beschränkt ist . Die Brillouin-Zone des flächenzentrierten kubischen Gitters (FCC) in der Abbildung rechts hat die 48-fache Symmetrie der Punktgruppe O _h mit voller oktaedrischer Symmetrie . Diese Konfiguration bedeutet, dass die Integration über die gesamte Domäne der Brillouin-Zone auf einen 48. Teil der gesamten Brillouin-Zone reduziert werden kann. Wie ein Periodensystem der Kristallstruktur zeigt, gibt es viele Elemente mit einer FCC-Kristallstruktur wie Diamant , Silizium und Platin, und ihre Brillouin-Zonen und Dispersionsbeziehungen weisen diese 48-fache Symmetrie auf. Zwei weitere bekannte Kristallstrukturen sind das körperzentrierte kubische Gitter (BCC) und die hexagonal geschlossenen gepackten Strukturen (HCP) mit kubischen bzw. hexagonalen Gittern. Die BCC-Struktur hat die 24-fache pyritoedrische Symmetrie der Punktgruppe T _h . Die HCP-Struktur hat die 12-fache prismatische Dieder- Symmetrie der Punktgruppe D _3h . Eine vollständige Liste der Symmetrieeigenschaften einer Punktgruppe finden Sie in Punktgruppen-Zeichentabellen .

Im Allgemeinen ist es einfacher, ein DOS zu berechnen, wenn die Symmetrie des Systems höher und die Anzahl der topologischen Dimensionen der Dispersionsrelation niedriger ist. Das DOS von Dispersionsbeziehungen mit Rotationssymmetrie kann häufig analytisch berechnet werden. Dieses Ergebnis ist glücklich, da viele Materialien von praktischem Interesse wie Stahl und Silizium eine hohe Symmetrie aufweisen.

In anisotropen Systemen kondensierter Materie wie einem Einkristall einer Verbindung kann die Zustandsdichte in einer kristallographischen Richtung anders sein als in einer anderen. Dies führt dazu, dass die anisotrope Zustandsdichte schwieriger zu visualisieren ist, und erfordert möglicherweise Methoden wie die Berechnung des DOS nur für bestimmte Punkte oder Richtungen oder die Berechnung der projizierten Zustandsdichte (PDOS) für eine bestimmte Kristallorientierung.

k- Raum-Topologien

Abbildung 1: Sphärische Oberfläche im k- Raum für Elektronen in drei Dimensionen.

Die Zustandsdichte hängt von den Dimensionsgrenzen des Objekts selbst ab. In einem System, das durch drei orthogonale Parameter (3 Dimension) beschrieben wird, sind die Einheiten von DOS Energie ^–1 Volumen ^–1 , in einem zweidimensionalen System sind die Einheiten von DOS Energie ^–1 Fläche ^–1 , in einem eindimensionalen System die Einheiten von DOS sind Energie ⁻¹ Länge ⁻¹ . Das referenzierte Volumen ist das Volumen des k- Raums; der Raum, der von der konstanten Energieoberfläche des Systems eingeschlossen ist, abgeleitet durch eine Dispersionsbeziehung , die E mit k in Beziehung setzt . Ein Beispiel eines dreidimensionalen k- Raums ist in Fig. 1 angegeben. Es ist ersichtlich, dass die Dimensionalität des Systems den Impuls von Partikeln innerhalb des Systems begrenzt.

Dichte der Wellenvektorzustände (Kugel)

Die Berechnung für DOS beginnt mit dem Zählen der N zulässigen Zustände bei einem bestimmten k , die in [ k , k + dk ] innerhalb des Volumens des Systems enthalten sind. Dieses Verfahren erfolgt durch Differenzieren des gesamten k-Raum-Volumens in n-Dimensionen bei einem beliebigen k in Bezug auf k . Das Volumen, die Fläche oder die Länge in 3, 2 oder 1-dimensionalen kugelförmigen k- Räumen wird durch ausgedrückt ${\ displaystyle \ Omega _ {n, k}}$

{\ displaystyle \ Omega _ {n} (k) = c_ {n} k ^ {n}}

für einen n-dimensionalen k- Raum mit den topologisch bestimmten Konstanten

{\ displaystyle c_ {1} = 2, \ c_ {2} = \ pi, \ c_ {3} = {\ frac {4 \ pi} {3}}}

für lineare, scheibenförmige und sphärisch symmetrisch geformte Funktionen in 1, 2 und 3-dimensionalen euklidischen k- Räumen.

Nach diesem Schema wird die Dichte der Wellenvektorzustände N durch Differenzieren in Bezug auf k ausgedrückt durch ${\ displaystyle \ Omega _ {n, k}}$

{\ displaystyle N_ {n} (k) = {\ frac {{\ rm {d}} \ Omega _ {n} (k)} {{\ rm {d}} k}} = n \; c_ {n } \; k ^ {n-1}}

Die 1-, 2- und 3-dimensionale Dichte von Wellenvektorzuständen für eine Linie, eine Scheibe oder eine Kugel wird explizit als geschrieben

{\ displaystyle {\ begin {align} N_ {1} (k) & = 2 \\ N_ {2} (k) & = 2 \ pi k \\ N_ {3} (k) & = 4 \ pi k ^ {2} \ end {align}}}

Ein Zustand ist groß genug, um Teilchen mit der Wellenlänge λ aufzunehmen. Die Wellenlänge ist durch die Beziehung mit k verbunden .

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

In einem Quantensystem hängt die Länge von λ von einem charakteristischen Abstand des Systems L ab, das die Teilchen einschließt. Schließlich wird die Zustandsdichte N mit einem Faktor multipliziert , wobei s ein konstanter Entartungsfaktor ist, der interne Freiheitsgrade aufgrund physikalischer Phänomene wie Spin oder Polarisation berücksichtigt. Wenn kein solches Phänomen vorliegt, dann . V _k ist das Volumen im k-Raum, dessen Wellenvektoren kleiner sind als die kleinstmöglichen Wellenvektoren, die durch den charakteristischen Abstand des Systems bestimmt werden. ${\ displaystyle s / V_ {k}}$ ${\ displaystyle s = 1}$

Dichte der Energiezustände

Um die Berechnung für DOS abzuschließen, ermitteln Sie die Anzahl der Zustände pro Einheit Probenvolumen bei einer Energie innerhalb eines Intervalls . Die allgemeine Form von DOS eines Systems ist gegeben als ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle [E, E + dE]}$

{\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {{\ rm {d}} \ Omega _ {n} (E)} {{\ rm {d}} E}}}

Das bisher skizzierte Schema gilt nur für monoton ansteigende und sphärisch symmetrische Dispersionsrelationen. Im Allgemeinen ist die Dispersionsbeziehung nicht sphärisch symmetrisch und steigt in vielen Fällen auch nicht kontinuierlich an. Um D als Funktion von E auszudrücken, muss die Umkehrung der Dispersionsrelation in den Ausdruck als Funktion von k eingesetzt werden , um den Ausdruck als Funktion der Energie zu erhalten. Wenn die Dispersionsrelation nicht sphärisch symmetrisch ist oder kontinuierlich ansteigt und nicht einfach invertiert werden kann, muss das DOS in den meisten Fällen numerisch berechnet werden. Detailliertere Ableitungen sind verfügbar. ${\ displaystyle E (k)}$ ${\ displaystyle E (k)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (k)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (E)}$

Dispersionsbeziehungen

Die Dispersionsrelation für Elektronen in einem Festkörper ist durch die elektronische Bandstruktur gegeben .

Die kinetische Energie eines Partikels hängt von der Größe und Richtung des Wellenvektors k , den Eigenschaften des Partikels und der Umgebung ab, in der sich das Partikel bewegt. Zum Beispiel ist die kinetische Energie eines Elektrons in einem Fermigas gegeben durch

{\ displaystyle E = E_ {0} + {\ frac {\ left (\ hbar k \ right) ^ {2}} {2m}} \,}

wobei m die Elektronenmasse ist . Die Dispersionsrelation ist eine sphärisch symmetrische Parabel und steigt kontinuierlich an, so dass der DOS leicht berechnet werden kann.

Abbildung 2: Monatomische Kettenphononendispersionsbeziehung

Für longitudinale Phononen in einer Folge von Atomen ist die Dispersionsrelation der kinetischen Energie in einem eindimensionalen k- Raum, wie in Abbildung 2 gezeigt, gegeben durch

{\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}

wo ist die Oszillatorfrequenz, die Masse der Atome, die interatomare Kraftkonstante und der interatomare Abstand. Für kleine Werte ist die Dispersionsrelation eher linear: ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {k _ {\ rm {F}} / m}}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle k _ {\ rm {F}}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle k \ ll \ pi / a}$

{\ displaystyle E = \ hbar \ omega _ {0} ka}

Wenn die Energie ist ${\ displaystyle k \ approx \ pi / a}$

{\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left | \ cos \ left ({\ frac {\ pi -ka} {2}} \ right) \ right |}

Mit der Transformation und klein kann diese Beziehung transformiert werden ${\ displaystyle q = k- \ pi / a}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left [1- \ left ({\ frac {qa} {2}} \ right) ^ {2} \ right]}

Isotrope Dispersionsbeziehungen

Die beiden hier genannten Beispiele können wie folgt ausgedrückt werden

{\ displaystyle E = E_ {0} + c_ {k} k ^ {p}}

Dieser Ausdruck ist eine Art Dispersionsbeziehung, da er zwei Welleneigenschaften miteinander verknüpft und isotrop ist, weil im Ausdruck nur die Länge und nicht die Richtung des Wellenvektors erscheint. Die Größe des Wellenvektors hängt mit der Energie zusammen als:

{\ displaystyle k = \ left ({\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k}}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \,}

Dementsprechend ist das Volumen des n-dimensionalen k- Raums, der Wellenvektoren enthält, die kleiner als k sind:

{\ displaystyle \ Omega _ {n} (k) = c_ {n} k ^ {n}}

Die Substitution der isotropen Energiebeziehung ergibt das Volumen der besetzten Zustände

{\ displaystyle \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {c_ {n}} {{c_ {k}} ^ {\ frac {n} {p}}} \ left (E-E_ {0 } \ right) ^ {\ frac {n} {p}} \,}

Die Differenzierung dieses Volumens in Bezug auf die Energie ergibt einen Ausdruck für die DOS der isotropen Dispersionsbeziehung

{\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {d} {dE}} \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {nc_ {n}} {p {c_ {k }} ^ {\ frac {n} {p}}}} \ left (E-E_ {0} \ right) ^ {{\ frac {n} {p}} - 1}}

Parabolische Dispersion

Abbildung 3: Freie-Elektronen-DOS im dreidimensionalen k-Raum

Im Fall einer parabolischen Dispersionsbeziehung ( p = 2), wie sie für freie Elektronen in einem Fermigas gilt, beträgt die resultierende Zustandsdichte für Elektronen in einem n-dimensionalen System ${\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} D_ {1} \ left (E \ right) & = {\ frac {1} {\ sqrt {c_ {k} \ left (E-E_ {0} \ right)}} } \\ D_ {2} \ left (E \ right) & = {\ frac {\ pi} {c_ {k}}} \\ D_ {3} \ left (E \ right) & = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k} ^ {3}}} \. \ end {align}}}

für , mit für . ${\ displaystyle E> E_ {0}}$ ${\ displaystyle D (E) = 0}$ ${\ displaystyle E <E_ {0}}$

In eindimensionalen Systemen divergiert das DOS am unteren Rand des Bandes, wenn es auf fällt . In zweidimensionalen Systemen erweist sich das DOS als unabhängig von . Schließlich steigt für dreidimensionale Systeme das DOS als Quadratwurzel der Energie an. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ ${\ displaystyle E}$

Einschließlich des Vorfaktors lautet der Ausdruck für das 3D-DOS ${\ displaystyle s / V_ {k}}$

{\ displaystyle N (E) = {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2}}} \ left ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac { 3} {2}} {\ sqrt {E-E_ {0}}}}

,

wo ist das Gesamtvolumen und schließt die 2-fache Spin-Entartung ein. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle N (E-E_ {0})}$

Lineare Dispersion

Im Fall einer linearen Beziehung ( p = 1), wie sie für Photonen , akustische Phononen oder einige spezielle Arten von elektronischen Bändern in einem Festkörper gilt, hängt das DOS in 1-, 2- und 3-dimensionalen Systemen mit der Energie als zusammen ::

{\ displaystyle {\ begin {align} D_ {1} \ left (E \ right) & = {\ frac {1} {c_ {k}}} \\ D_ {2} \ left (E \ right) & = {\ frac {2 \ pi} {c_ {k} ^ {2}}} \ left (E-E_ {0} \ right) \\ D_ {3} \ left (E \ right) & = {\ frac { 4 \ pi} {c_ {k} ^ {3}}} \ left (E-E_ {0} \ right) ^ {2} \ end {align}}}

Verteilungsfunktionen

Die Zustandsdichte spielt eine wichtige Rolle in der kinetischen Theorie der Festkörper . Das Produkt aus der Zustandsdichte und der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ist die Anzahl der besetzten Zustände pro Volumeneinheit bei einer gegebenen Energie für ein System im thermischen Gleichgewicht. Dieser Wert wird häufig verwendet, um verschiedene physikalische Eigenschaften von Materie zu untersuchen. Das Folgende sind Beispiele unter Verwendung von zwei allgemeinen Verteilungsfunktionen, wie das Anwenden einer Verteilungsfunktion auf die Zustandsdichte zu physikalischen Eigenschaften führen kann.

Abbildung 4: Die Fermi-Dirac-Wahrscheinlichkeitsverteilung, Zustandsdichte und ihr Produkt für einen Halbleiter. Der untere grüne Lappen zeigt die Lochenergie und wird daher als Verteilungsfunktion verwendet.

{\ displaystyle f (-x)}

Fermi-Dirac-Statistik : Mit der Fermi-Dirac-Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (Abb. 4) wird die Wahrscheinlichkeit ermittelt, mit der eine Fermion in einem System im thermischen Gleichgewicht einen bestimmten Quantenzustand einnimmt. Fermionen sind Teilchen, die dem Pauli-Ausschlussprinzip folgen (z. B. Elektronen, Protonen, Neutronen). Die Verteilungsfunktion kann geschrieben werden als

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {FD}} (E) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {E- \ mu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right ) +1}}}

${\ displaystyle \ mu}$ ist das chemische Potential (auch als E _{F bezeichnet} und als Fermi-Niveau bezeichnet, wenn T = 0 ist), ist die Boltzmann-Konstante und ist die Temperatur. Fig. 4 zeigt, wie das Produkt der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion und die dreidimensionale Zustandsdichte für einen Halbleiter Einblick in physikalische Eigenschaften wie Trägerkonzentration und Energiebandlücken geben können. ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$ ${\ displaystyle T}$

Bose-Einstein-Statistik : Mit der Bose-Einstein-Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion wird die Wahrscheinlichkeit ermittelt, mit der ein Boson in einem System im thermischen Gleichgewicht einen bestimmten Quantenzustand einnimmt. Bosonen sind Teilchen, die dem Pauli-Ausschlussprinzip nicht entsprechen (z. B. Phononen und Photonen). Die Verteilungsfunktion kann geschrieben werden als

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {BE}} (E) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {E- \ mu} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right ) -1}}}

Aus diesen beiden Verteilungen können Eigenschaften wie die innere Energie , die Anzahl der Partikel , die spezifische Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit berechnet werden . Die Beziehungen zwischen diesen Eigenschaften und dem Produkt aus Zustandsdichte und Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Zustandsdichte mit anstelle von bezeichnen , sind gegeben durch ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle g (E)}$ ${\ displaystyle D (E)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} U & = \ int E \, f (E) \, g (E) \, {\ rm {d}} E \\ N & = \ int f (E) \, g ( E) \, {\ rm {d}} E \\ C & = {\ frac {\ partiell} {\ partiell T}} \ int E \, f (E) \, g (E) \, {\ rm { d}} E \\ k & = {\ frac {1} {d}} {\ frac {\ partiell} {\ partiell T}} \ int Ef (E) \, g (E) \, \ nu (E) \, \ Lambda (E) \, {\ rm {d}} E \ end {align}}}

${\ displaystyle d}$ ist Dimensionalität, ist Schallgeschwindigkeit und ist mittlerer freier Weg . ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$

Anwendungen

Die Zustandsdichte tritt in vielen Bereichen der Physik auf und hilft, eine Reihe quantenmechanischer Phänomene zu erklären.

Quantisierung

Die Berechnung der Zustandsdichte für kleine Strukturen zeigt, dass sich die Verteilung der Elektronen ändert, wenn die Dimensionalität verringert wird. Für Quantendrähte wird der DOS für bestimmte Energien tatsächlich höher als der DOS für Bulk-Halbleiter, und für Quantenpunkte werden die Elektronen auf bestimmte Energien quantisiert.

Photonische Kristalle

Die Photonendichte von Zuständen kann durch Verwendung periodischer Strukturen mit Längenskalen in der Größenordnung der Wellenlänge des Lichts manipuliert werden. Einige Strukturen können die Ausbreitung von Licht bestimmter Farben (Energien) vollständig hemmen und eine photonische Bandlücke erzeugen: Das DOS ist für diese Photonenenergien Null. Andere Strukturen können die Ausbreitung von Licht nur in bestimmten Richtungen hemmen, um Spiegel, Wellenleiter und Hohlräume zu erzeugen. Solche periodischen Strukturen sind als photonische Kristalle bekannt . In nanostrukturierten Medien ist das Konzept der lokalen Zustandsdichte (LDOS) häufig relevanter als das von DOS, da das DOS von Punkt zu Punkt erheblich variiert.

Computerberechnung

Interessante Systeme sind im Allgemeinen komplex, beispielsweise Verbindungen, Biomoleküle, Polymere usw. Aufgrund der Komplexität dieser Systeme ist die analytische Berechnung der Zustandsdichte in den meisten Fällen unmöglich. Computersimulationen bieten eine Reihe von Algorithmen, um die Zustandsdichte mit hoher Genauigkeit zu bewerten. Einer dieser Algorithmen heißt Wang- und Landau-Algorithmus .

Innerhalb des Wang- und Landau-Schemas sind Vorkenntnisse über die Zustandsdichte erforderlich. Man geht wie folgt vor: Die Kostenfunktion (zum Beispiel die Energie) des Systems wird diskretisiert. Jedes Mal , wenn der Bin i ist ein Updates eines Histogramm für die Zustandsdichte, erreicht durch ${\ displaystyle g (i)}$

{\ displaystyle g (i) \ rightarrow g (i) + f}

wobei f der Modifikationsfaktor genannt wird. Sobald jeder Behälter im Histogramm eine bestimmte Anzahl von Malen (10-15) besucht wird, wird der Modifikationsfaktor um ein bestimmtes Kriterium reduziert, z.

{\ displaystyle f_ {n + 1} \ rightarrow {\ frac {1} {2}} f_ {n}}

Dabei bezeichnet n den n- ten Aktualisierungsschritt. Die Simulation wird beendet, wenn der Änderungsfaktor beispielsweise unter einem bestimmten Schwellenwert liegt . ${\ displaystyle f_ {n} <10 ^ {- 8}}$

Der Wang- und Landau-Algorithmus bietet einige Vorteile gegenüber anderen gängigen Algorithmen wie multikanonischen Simulationen und parallelem Tempern . Beispielsweise wird die Zustandsdichte als Hauptprodukt der Simulation erhalten. Zusätzlich sind Wang- und Landau-Simulationen völlig unabhängig von der Temperatur. Diese Funktion ermöglicht die Berechnung der Zustandsdichte von Systemen mit sehr rauer Energielandschaft wie Proteinen.

Mathematisch wird die Zustandsdichte als Turm aus abdeckenden Karten formuliert.

Lokale Zustandsdichte

Ein wichtiges Merkmal der Definition des DOS ist, dass es auf jedes System erweitert werden kann. Eine seiner Eigenschaften ist die translatorische Unveränderlichkeit, was bedeutet, dass die Dichte der Zustände homogen ist und an jedem Punkt des Systems gleich ist. Dies ist jedoch nur ein besonderer Fall, und das LDOS bietet eine breitere Beschreibung mit einer heterogenen Zustandsdichte durch das System.

Konzept

Die lokale Zustandsdichte (LDOS) beschreibt eine raumaufgelöste Zustandsdichte. In der Materialwissenschaft ist dieser Begriff beispielsweise bei der Interpretation der Daten eines Rastertunnelmikroskops (STM) nützlich , da mit dieser Methode Elektronendichten von Zuständen mit atomarer Auflösung abgebildet werden können. Entsprechend der Kristallstruktur kann diese Größe durch Berechnungsmethoden vorhergesagt werden, wie beispielsweise mit der Dichtefunktionaltheorie .

Eine allgemeine Definition

In einer lokalen Zustandsdichte wird der Beitrag jedes Zustands durch die Dichte seiner Wellenfunktion am Punkt gewichtet. wird ${\ displaystyle N (E)}$ ${\ displaystyle n (E, x)}$

{\ displaystyle n (E, x) = \ sum _ {n} | \ phi _ {n} (x) | ^ {2} \ delta (E- \ varepsilon _ {n})}

Der Faktor bedeutet, dass jeder Zustand in den Regionen, in denen die Dichte hoch ist, mehr beiträgt. Ein durchschnittlicher Überschuss dieses Ausdrucks stellt die übliche Formel für ein DOS wieder her. Das LDOS ist in inhomogenen Systemen nützlich, in denen mehr Informationen als allein enthalten sind. ${\ displaystyle | \ phi _ {n} (x) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n (E, x)}$ ${\ displaystyle n (E)}$

Für ein eindimensionales System mit einer Wand geben die Sinuswellen nach

{\ displaystyle n_ {1D} (E, x) = {\ frac {2} {\ pi \ hbar}} {\ sqrt {\ frac {2m} {E}}} \ sin ^ {2} {kx}}

wo . ${\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar}$

In einem dreidimensionalen System mit dem Ausdruck ist ${\ displaystyle x> 0}$

{\ displaystyle n_ {3D} (E, x) = \ left (1 - {\ frac {\ sin {2kx}} {2kx}} \ right) n_ {3D} (E)}

Tatsächlich können wir die lokale Zustandsdichte weiter verallgemeinern

{\ displaystyle n (E, x, x ') = \ sum _ {n} \ phi _ {n} (x) \ phi _ {n} ^ {*} (x') \ delta (E- \ varepsilon _ {n})}

Dies wird als Spektralfunktion bezeichnet und ist eine Funktion, bei der jede Wellenfunktion separat in einer eigenen Variablen ausgeführt wird. In der fortgeschritteneren Theorie ist es mit den Funktionen des Grüns verbunden und bietet eine kompakte Darstellung einiger Ergebnisse wie der optischen Absorption .

Raumaufgelöste lokale Zustandsdichte. Eine Folge von Bildern mit variierender Gate-Vorspannung in einem Nanodraht-MOSFET bei Drain-Vorspannung Vd = 0,6 V. Beachten Sie die begrenzten Energieniveaus, wenn sie sich mit zunehmender Gate-Vorspannung bewegen.

Festkörpergeräte

LDOS kann verwendet werden, um Gewinn in einem Festkörpergerät zu erzielen. Die Abbildung rechts zeigt beispielsweise das LDOS eines Transistors beim Ein- und Ausschalten in einer ballistischen Simulation. Das LDOS hat eine klare Grenze in Source und Drain, die dem Ort der Bandkante entspricht. In dem Kanal steigt der DOS mit zunehmender Gate-Spannung und sinkender Potentialbarriere.

Optik und Photonik

In der Optik und Photonik bezieht sich das Konzept der lokalen Zustandsdichte auf die Zustände, die von einem Photon besetzt werden können. Für Licht wird es üblicherweise durch Fluoreszenzverfahren, Nahfeldabtastverfahren oder durch Kathodolumineszenztechniken gemessen. Für verschiedene photonische Strukturen haben die LDOS unterschiedliche Verhaltensweisen und steuern die spontane Emission auf unterschiedliche Weise. In photonischen Kristallen werden LDOS nahe Null erwartet, die die spontane Emission hemmen. Die LDOS befinden sich noch in photonischen Kristallen, aber jetzt befinden sie sich im Hohlraum. In diesem Fall kann das LDOS viel besser verbessert werden und sie sind proportional zu Purcell-Verbesserungen der spontanen Emission. Eine ähnliche LDOS-Verbesserung wird auch in der plasmonischen Höhle erwartet. In ungeordneten photonischen Nanostrukturen verhält sich das LDOS jedoch anders. Sie schwanken räumlich mit ihrer Statistik sind proportional zur Streustärke der Strukturen. Darüber hinaus ist die Beziehung zum mittleren freien Weg der Streuung trivial, da das LDOS immer noch stark durch die kurzen Details starker Störungen in Form einer starken Purcell-Verstärkung der Emission beeinflusst werden kann. und schließlich ist dieser Effekt für die plasmonische Störung für LDOS-Schwankungen viel stärker, da er als starke Nahfeldlokalisierung beobachtet werden kann.

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Chen, Gang. Nanoskaliger Energietransport und Umwandlung. New York: Oxford, 2005
Streetman, Ben G. und Sanjay Banerjee. Elektronische Festkörpergeräte. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 2000.
Müller, Richard S. und Theodore I. Kamins. Geräteelektronik für integrierte Schaltkreise. New York: John Wiley and Sons, 2003.
Kittel, Charles und Herbert Kroemer. Thermische Physik. New York: WH Freeman and Company, 1980
Sze, Simon M. Physik von Halbleiterbauelementen. New York: John Wiley und Söhne, 1981

Externe Links

Online-Vorlesung: ECE 606 Vorlesung 8: Zustandsdichte von M. Alam
Wissenschaftler beleuchten leuchtende Materialien Wie man das photonische LDOS misst

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