Standortparameter - Location parameter
In Statistiken , ein Positionsparameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein scalar- oder Vektor-wertige Parameter , der die „Lage“ bzw. Verschiebung der Verteilung bestimmt. In der Literatur zur Schätzung von Standortparametern findet man, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit solchen Parametern formal auf eine der folgenden äquivalenten Arten definiert sind:
- entweder mit einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ; oder
- mit einer kumulativen Verteilungsfunktion ; oder
- definiert als Ergebnis der Zufallsvariablentransformation , wobei eine Zufallsvariable mit einer bestimmten, möglicherweise unbekannten Verteilung ist (Siehe auch #Additive_noise ).
Ein direktes Beispiel für einen Standortparameter ist der Parameter der Normalverteilung . Um dies zu sehen, beachten Sie, dass bei der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Normalverteilung der Parameter herausgefiltert und wie folgt geschrieben werden kann:
Damit wird die erste der oben angegebenen Definitionen erfüllt.
Die obige Definition zeigt im eindimensionalen Fall an, dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Massenfunktion bei einer Erhöhung starr nach rechts verschiebt und ihre genaue Form beibehält.
Ein Standortparameter kann auch in Familien gefunden werden, die mehr als einen Parameter aufweisen, wie z. B. Standort-Maßstabsfamilien . In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ein Spezialfall der allgemeineren Form
wobei der Positionsparameter ist, θ zusätzliche Parameter darstellt und eine auf den zusätzlichen Parametern parametrisierte Funktion ist.
Additives Rauschen
Eine alternative Denkweise für Standortfamilien ist das Konzept des additiven Rauschens . Wenn eine Konstante ist und W zufälliges Rauschen mit Wahrscheinlichkeitsdichte ist, dann hat es Wahrscheinlichkeitsdichte und seine Verteilung ist daher Teil einer Ortsfamilie.
Beweise
Betrachten Sie für den kontinuierlichen univariaten Fall eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , wobei ein Parametervektor ist. Ein Standortparameter kann hinzugefügt werden, indem Folgendes definiert wird:
Es kann nachgewiesen werden, dass es sich um ein PDF handelt, indem überprüft wird, ob es die beiden Bedingungen erfüllt und . integriert sich zu 1 weil:
Wenn Sie nun die Variable ändern und das Integrationsintervall entsprechend aktualisieren, erhalten Sie:
weil ist ein pdf von hypothese. folgt aus dem Teilen desselben Bildes von , das ein PDF ist, also ist sein Bild in enthalten .
Siehe auch
- Zentrale Tendenz
- Standorttest
- Invarianter Schätzer
- Skalierungsparameter
- Zwei-Momenten-Entscheidungsmodelle
Verweise
- ^ Takeuchi, Kei (1971). „Ein gleichmäßig asymptotisch effizienter Schätzer eines Standortparameters“. Zeitschrift der American Statistical Association . 66 (334): 292–301.
- ^ Huber, Peter J. (1992). "Robuste Schätzung eines Standortparameters". Durchbrüche in der Statistik . Springer: 492–518.
- ^ Stein, Charles J. (1975). „Adaptive Maximum-Likelihood-Schätzer eines Standortparameters“. Die Annalen der Statistik . 3 (2): 267–284.
- ^ Ross, Sheldon (2010). Einführung in Wahrscheinlichkeitsmodelle . Amsterdam Boston: Akademische Presse. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC 444116127 .