Logarithmische Verteilung - Logarithmic distribution
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
Die Funktion wird nur bei ganzzahligen Werten definiert. Die Verbindungslinien sind lediglich Führungen für das Auge.
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Verteilungsfunktion
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In Wahrscheinlichkeit und Statistik ist die logarithmische Verteilung (auch als logarithmische Reihenverteilung oder logarithmische Reihenverteilung bekannt ) eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die aus der Erweiterung der Maclaurin-Reihe abgeleitet wird
Daraus erhalten wir die Identität
Dies führt direkt zur Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer Log ( p ) -verteilten Zufallsvariablen :
für k ≥ 1 und wobei 0 < p <1. Aufgrund der obigen Identität ist die Verteilung richtig normalisiert.
Die kumulative Verteilungsfunktion ist
Dabei ist B die unvollständige Beta-Funktion .
Ein mit Log ( p ) -verteilten Zufallsvariablen zusammengesetztes Poisson hat eine negative Binomialverteilung . Mit anderen Worten, wenn N eine Zufallsvariable mit einer Poisson-Verteilung ist und X i , i = 1, 2, 3, ... eine unendliche Folge unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen ist, die jeweils eine Log ( p ) -Verteilung haben, dann
hat eine negative Binomialverteilung. Auf diese Weise wird die negative Binomialverteilung als zusammengesetzte Poisson-Verteilung angesehen .
RA Fisher beschrieb die logarithmische Verteilung in einem Artikel, in dem die relative Artenhäufigkeit modelliert wurde .
Siehe auch
- Poisson-Verteilung (auch abgeleitet von einer Maclaurin-Reihe)
Verweise
- ^ Fisher, RA; Corbet, AS; Williams, CB (1943). "Die Beziehung zwischen der Anzahl der Arten und der Anzahl der Individuen in einer Zufallsstichprobe einer Tierpopulation" (PDF) . Zeitschrift für Tierökologie . 12 (1): 42–58. doi : 10.2307 / 1411 . JSTOR 1411 . Archiviert vom Original (PDF) am 26.07.2011.
Weiterführende Literatur
- Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Kapitel 7: Logarithmische und Lagrange-Verteilungen". Univariate diskrete Verteilungen (3. Aufl.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5 .
- Weisstein, Eric W. "Log-Series Distribution" . MathWorld .