Markov-Nummer - Markov number
Eine Markov-Zahl oder Markoff-Zahl ist eine positive ganze Zahl x , y oder z , die Teil einer Lösung der diophantischen Markov- Gleichung ist
studiert von Andrey Markoff ( 1879 , 1880 ).
Die ersten paar Markov-Zahlen sind
- 1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (Sequenz A002559 im OEIS )
erscheinen als Koordinaten der Markov-Tripel
- (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...
Es gibt unendlich viele Markov-Zahlen und Markov-Tripel.
Markov-Baum
Es gibt zwei einfache Möglichkeiten, aus einem alten ( x , y , z ) ein neues Markov-Tripel zu erhalten . Zunächst kann man die 3 Zahlen x , y , z permutieren , also insbesondere die Tripel so normieren, dass x ≤ y ≤ z gilt . Zweitens, wenn ( x , y , z ) ein Markov-Tripel ist, dann ist es beim Vieta-Springen auch ( x , y , 3 xy − z ). Wenn Sie diese Operation zweimal anwenden, wird dieselbe Dreiergruppe zurückgegeben, mit der begonnen wurde. Verbindet man jedes normalisierte Markov-Tripel mit den 1, 2 oder 3 normalisierten Tripeln, die man daraus erhalten kann, erhält man einen Graphen ausgehend von (1,1,1) wie im Diagramm. Dieser Graph ist verbunden; mit anderen Worten, jedes Markov-Tripel kann durch eine Folge dieser Operationen mit (1,1,1) verbunden werden. Beginnen wir als Beispiel mit (1, 5, 13) erhalten wir seine drei Nachbarn (5, 13, 194), (1, 13, 34) und (1, 2, 5) im Markov-Baum, falls z auf 1, 5 bzw. 13 eingestellt ist. Beginnen Sie zum Beispiel mit (1, 1, 2) und handeln Sie mit y und z vor jeder Iteration der Transformationslisten Markov-Tripel mit Fibonacci-Zahlen. Beginnen Sie mit demselben Triplett und tauschen Sie x und z vor jeder Iteration aus, um die Tripel mit Pell-Zahlen zu erhalten.
Alle Markov-Zahlen in den Regionen neben der 2er-Region sind ungerade indizierte Pell-Zahlen (oder Zahlen n, so dass 2 n 2 − 1 ein Quadrat ist, OEIS : A001653 ), und alle Markov-Zahlen auf den Regionen neben der 1er-Region sind ungerade indizierte Fibonacci-Zahlen ( OEIS : A001519 ). Es gibt also unendlich viele Markov-Tripel der Form
wobei F x die x- te Fibonacci-Zahl ist. Ebenso gibt es unendlich viele Markov-Tripel der Form
wobei P x die x- te Pell-Zahl ist .
Andere Eigenschaften
Abgesehen von den beiden kleinsten singulären Tripeln (1,1,1) und (1,1,2) besteht jedes Markov-Tripel aus drei verschiedenen ganzen Zahlen.
Die Einzigkeitsvermutung besagt, dass es für eine gegebene Markov-Zahl c genau eine normierte Lösung mit c als größtem Element gibt: Beweise für diese Vermutung wurden behauptet, aber keiner scheint richtig zu sein.
Ungerade Markov-Zahlen sind 1 mehr als Vielfache von 4, während gerade Markov-Zahlen 2 mehr sind als Vielfache von 32.
In seiner Arbeit von 1982 vermutete Don Zagier , dass die n- te Markov-Zahl asymptotisch gegeben ist durch
Der Fehler ist unten aufgetragen.
Außerdem weist er darauf hin , dass eine Annäherung der ursprünglichen Diophantine Gleichung äquivalent ist mit f ( t ) = arcosh (3 t / 2). Die Vermutung wurde 1995 von Greg McShane und Igor Rivin mit Techniken der hyperbolischen Geometrie bewiesen .
Die n- te Lagrange-Zahl lässt sich aus der n- ten Markov-Zahl berechnen mit der Formel
Die Markov-Zahlen sind Summen von (nicht eindeutigen) Quadratpaaren.
Satz von Markov
Markoff ( 1879 , 1880 ) zeigte, dass wenn
eine unbestimmte binäre quadratische Form mit reellen Koeffizienten und Diskriminante ist , dann gibt es ganze Zahlen x , y, für die f höchstens einen Absolutwert ungleich Null annimmt
es sei denn, f ist eine Markov-Form : eine Konstante mal eine Form
so dass
wobei ( p , q , r ) ein Markov-Tripel ist.
Es gibt auch ein Markov-Theorem in der Topologie , benannt nach dem Sohn von Andrey Markov, Andrey Andreevich Markov .
Matrizen
Sei Tr die Spurfunktion über Matrizen. Wenn X und Y in SL 2 ( ℂ ) sind, dann
- Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) + Tr ( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) + 2 = Tr ( X ) 2 + Tr ( Y ) 2 + Tr ( X ⋅ Y ) 2
so dass wenn Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) = −2 dann
- Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( X ) 2 + Tr ( Y ) 2 + Tr ( X ⋅ Y ) 2
Insbesondere wenn X und Y auch ganzzahlige Einträge haben, dann sind Tr( X )/3, Tr( Y )/3 und Tr( X ⋅ Y )/3 ein Markov-Tripel. Wenn X ⋅ Y ⋅ Z = 1 dann Tr( X ⋅ Y ) = Tr( Z ), also symmetrischer wenn X , Y und Z in SL 2 (ℤ) mit X ⋅ Y ⋅ Z = 1 und dem Kommutator von sind zwei davon haben Spur −2, dann sind ihre Spuren/3 ein Markov-Tripel.
Siehe auch
Anmerkungen
- ^ Kassel (1957) S.28
- ^ OEIS : A030452 listet Markov-Zahlen auf, die in Lösungen vorkommen, bei denen einer der anderen beiden Terme 5 ist.
- ^ Kassel (1957) S.27
- ^ Kerl (2004) S.263
- ^ Zhang, Ying (2007). "Kongruenz und Eindeutigkeit bestimmter Markov-Zahlen" . Acta Arithmetica . 128 (3): 295–301. arXiv : mathe/0612620 . Bibcode : 2007AcAri.128..295Z . doi : 10.4064/aa128-3-7 . MR 2.313.995 . S2CID 9615526 .
- ^ Zagier, Don B. (1982). "Über die Anzahl der Markoff-Zahlen unterhalb einer bestimmten Grenze" . Mathematik der Berechnung . 160 (160): 709–723. doi : 10.2307/2007348 . JSTOR 2007348 . MR 0.669.663 .
- ^ Greg McShane; Igor Rivin (1995). „Einfache Kurven auf hyperbolischen Tori“. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I . 320 (12).
- ^ Kassel (1957) S.39
- ^ Louis H. Kauffman, Knoten und Physik , p. 95, ISBN 978-9814383011
- ^ Aigner, Martin (2013), "Der Cohn-Baum", Markovs Theorem und 100 Jahre der Eindeutigkeitsvermutung , Springer, S. 63–77, doi : 10.1007/978-3-319-00888-2_4 , ISBN 978-3-319-00887-5, MR 3098784.
Verweise
- Cassels, JWS (1957). Eine Einführung in die diophantische Näherung . Cambridge Tracts in Mathematik und mathematischer Physik. 45 . Cambridge University Press . Zbl 0077.04801 .
- Cusick, Thomas; Flahive, Mari (1989). Die Markoff- und Lagrange-Spektren . Mathematik. Umfragen und Monographien. 30 . Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023 .
- Guy, Richard K. (2004). Ungelöste Probleme der Zahlentheorie . Springer-Verlag . S. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 .
- Malyshev, AV (2001) [1994], "Markov-Spektrum-Problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Mathematische Annalen . Springer Berlin/Heidelberg. ISSN 0025-5831 .
- Markoff, A. (1879). "Erste Erinnerung" . Mathematische Annalen . 15 (3–4): 381–406. doi : 10.1007/BF02086269 . S2CID 179177894 .
- Markoff, A. (1880). "Zweite Erinnerung" . Mathematische Annalen . 17 (3): 379–399. doi : 10.1007/BF01446234 . S2CID 121616054 .