Mathematische Tabelle - Mathematical table
Mathematische Tabellen sind Zahlenlisten, die die Ergebnisse einer Berechnung mit unterschiedlichen Argumenten zeigen. Tabellen mit trigonometrischen Funktionen wurden im antiken Griechenland und Indien für Anwendungen in der Astronomie und der Himmelsnavigation verwendet . Sie waren weiterhin weit verbreitet, bis elektronische Taschenrechner billig und reichlich wurden, um die Berechnung zu vereinfachen und drastisch zu beschleunigen . Tabellen von Logarithmen und trigonometrische Funktionen waren in Mathematik und Naturwissenschaften Lehrbücher häufig und spezialisierte Tabellen wurden für zahlreiche Anwendungen veröffentlicht.
Geschichte und Verwendung
Die ersten bekannten Tabellen trigonometrischer Funktionen stammen von Hipparchos (ca. 190 – ca. 120 v. Chr.) und Menelaos (ca. 70–140 n. Chr.), aber beide sind verloren gegangen. Zusammen mit der erhaltenen Tabelle des Ptolemäus (ca. 90 – ca.168 n. Chr.) handelte es sich allesamt um Akkordtafeln und nicht um Halbakkorde, also die Sinusfunktion . Die vom indischen Mathematiker Āryabhaṭa (476–550 n. Chr.) hergestellte Tabelle gilt als die erste jemals gebaute Sinustabelle. Die Tabelle von Āryabhaṭa blieb die Standard-Sinustabelle des alten Indiens. Es gab kontinuierliche Versuche, die Genauigkeit dieser Tabelle zu verbessern, was in der Entdeckung der Potenzreihenentwicklungen der Sinus- und Cosinusfunktionen durch Madhava von Sangamagrama (ca. 1350 – ca. 1425) und der tabellarischen Aufstellung einer Sinustabelle durch Madhava . gipfelte mit Werten, die auf sieben oder acht Nachkommastellen genau sind.
Tabellen mit gebräuchlichen Logarithmen wurden bis zur Erfindung von Computern und elektronischen Taschenrechnern verwendet, um schnelle Multiplikationen, Divisionen und Potenzierungen durchzuführen, einschließlich der Extraktion von n- ten Wurzeln.
Mechanische Spezialcomputer, sogenannte Difference Engines, wurden im 19. Jahrhundert vorgeschlagen, um polynomielle Approximationen von logarithmischen Funktionen tabellarisch darzustellen, also große logarithmische Tabellen zu berechnen. Dies wurde hauptsächlich durch Fehler in logarithmischen Tabellen motiviert, die von den menschlichen Computern der Zeit erstellt wurden. Frühe digitale Computer wurden während des Zweiten Weltkriegs teilweise entwickelt, um spezielle mathematische Tabellen für das Zielen von Artillerie zu erstellen . Ab 1972, mit der Einführung und zunehmenden Verwendung wissenschaftlicher Taschenrechner , wurden die meisten mathematischen Tabellen nicht mehr verwendet.
Eine der letzten großen Bemühungen, solche Tabellen zu konstruieren, war das Mathematical Tables Project , das 1938 in den Vereinigten Staaten als Projekt der Works Progress Administration (WPA) gestartet wurde und 450 arbeitslose Angestellte beschäftigte, um höhere mathematische Funktionen zu tabellieren. Es dauerte bis zum Zweiten Weltkrieg.
Tabellen mit Sonderfunktionen werden weiterhin verwendet. So ist beispielsweise die Verwendung von Wertetabellen der kumulativen Verteilungsfunktion der Normalverteilung – sogenannte Standardnormaltafeln – heute vor allem in Schulen gang und gäbe, obwohl der Einsatz von wissenschaftlichen und grafischen Taschenrechnern solche Tabellen überflüssig macht.
Das Erstellen von Tabellen, die im Direktzugriffsspeicher gespeichert sind, ist eine gängige Codeoptimierungstechnik in der Computerprogrammierung, bei der die Verwendung solcher Tabellen die Berechnungen in den Fällen beschleunigt, in denen eine Tabellensuche schneller ist als die entsprechenden Berechnungen (insbesondere, wenn der betreffende Computer dies nicht tut). eine Hardwareimplementierung der Berechnungen haben). Im Wesentlichen tauscht man die Rechengeschwindigkeit gegen den Computerspeicherplatz ein , der zum Speichern der Tabellen erforderlich ist.
Logarithmentabellen
Tabellen, die gängige Logarithmen (Basis 10) enthalten, wurden vor dem Aufkommen elektronischer Taschenrechner und Computer in großem Umfang bei Berechnungen verwendet, da Logarithmen Probleme der Multiplikation und Division in viel einfachere Additions- und Subtraktionsprobleme umwandeln. Logarithmen zur Basis 10 haben eine zusätzliche Eigenschaft, die einzigartig und nützlich ist: Der gemeinsame Logarithmus von Zahlen größer als eins, die sich nur um den Faktor einer Zehnerpotenz unterscheiden, haben alle den gleichen Bruchteil, die Mantisse . Tabellen mit gewöhnlichen Logarithmen enthielten normalerweise nur die Mantissen ; der ganzzahlige Teil des Logarithmus, bekannt als Charakteristik , könnte leicht durch Zählen von Ziffern in der ursprünglichen Zahl bestimmt werden. Ein ähnliches Prinzip ermöglicht die schnelle Berechnung von Logarithmen von positiven Zahlen kleiner als 1. Somit kann eine einzige Tabelle gebräuchlicher Logarithmen für den gesamten Bereich positiver Dezimalzahlen verwendet werden. Einzelheiten zur Verwendung von Merkmalen und Mantissen finden Sie im allgemeinen Logarithmus .
Geschichte
Im Jahr 1544, Michael Stifel veröffentlicht Arithmetica integra , die eine Tabelle von ganzen Zahlen und Potenzen von 2 enthält , die eine frühe Version einer logarithmischen Tabelle in Betracht gezogen wurde.
Die Methode der Logarithmen wurde 1614 von John Napier in einem Buch mit dem Titel Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Beschreibung der wunderbaren Regel der Logarithmen ) öffentlich vorgestellt . Das Buch enthielt 57 Seiten mit Erläuterungen und 90 Seiten mit Tabellen zu natürlichen Logarithmen . Der englische Mathematiker Henry Briggs besuchte Napier 1615 und schlug eine Neuskalierung von Napiers Logarithmen vor , um das zu bilden, was heute als gewöhnlicher oder Basis-10-Logarithmus bekannt ist. Napier beauftragte Briggs mit der Berechnung einer überarbeiteten Tabelle. 1617 veröffentlichten sie Logarithmorum Chilias Prima ("Die ersten tausend Logarithmen"), das eine kurze Darstellung der Logarithmen und eine Tabelle für die ersten 1000 ganzen Zahlen gab, die bis auf die 14. Dezimalstelle berechnet wurden.
Der Rechenfortschritt, der über gängige Logarithmen, die Umkehrung von Potenzzahlen oder Exponentialschreibweise , verfügbar ist , war so groß, dass Berechnungen von Hand viel schneller gemacht wurden.
Trigonometrische Tabellen
Trigonometrische Berechnungen spielten eine wichtige Rolle in der frühen Erforschung der Astronomie. Frühe Tabellen wurden durch wiederholtes Anwenden trigonometrischer Identitäten (wie Halbwinkel- und Winkelsummen-Identitäten) erstellt, um neue Werte aus alten zu berechnen.
Ein einfaches Beispiel
Um die Sinusfunktion von 75 Grad, 9 Minuten, 50 Sekunden unter Verwendung einer Tabelle trigonometrischer Funktionen wie der oben abgebildeten Bernegger-Tabelle von 1619 zu berechnen , könnte man einfach auf 75 Grad, 10 Minuten aufrunden und dann den 10-Minuten-Eintrag auf der 75-Grad-Seite, oben rechts gezeigt, die 0,9666746 ist.
Diese Antwort ist jedoch nur auf vier Dezimalstellen genau. Wenn man eine höhere Genauigkeit wollte, könnte man wie folgt linear interpolieren :
Aus der Bernegger-Tabelle:
- sin (75° 10′) = 0,9666746
- sin (75° 9′) = 0,9666001
Die Differenz zwischen diesen Werten beträgt 0,0000745.
Da eine Bogenminute 60 Sekunden hat, multiplizieren wir die Differenz mit 50/60, um eine Korrektur von (50/60)*0,0000745 ≈ 0,000621 zu erhalten; und addiere dann diese Korrektur zu sin (75° 9′), um zu erhalten:
- sin (75° 9′ 50″) ≈ sin (75° 9′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622
Ein moderner Taschenrechner liefert sin(75° 9′ 50″) = 0,96666219991, sodass unsere interpolierte Antwort auf die 7-stellige Genauigkeit der Bernegger-Tabelle genau ist.
Bei Tabellen mit höherer Genauigkeit (mehr Stellen pro Wert) kann eine Interpolation höherer Ordnung erforderlich sein, um die volle Genauigkeit zu erzielen. In der Ära vor den elektronischen Computern war die Interpolation von Tabellendaten auf diese Weise der einzige praktische Weg, um hochgenaue Werte mathematischer Funktionen zu erhalten, die für Anwendungen wie Navigation, Astronomie und Vermessung benötigt werden.
Um die Bedeutung der Genauigkeit in Anwendungen wie der Navigation zu verstehen, beachten Sie, dass auf Meereshöhe eine Bogenminute entlang des Erdäquators oder eines Meridians (in der Tat jeder Großkreis ) ungefähr einer Seemeile (1,852 km oder 1,151 Meilen) entspricht.
Siehe auch
- Abramowitz und Stegun Handbook of Mathematical Functions
- Unterschied Motor
- Ephemeriden
- Gruppentisch
- Geschichte der Logarithmen
- Nautischer Almanach
- Matrix
- Multiplikationstabelle
- Zufallszahlentabelle
- Tabelle (Informationen)
- Wahrheitstabelle
- Jurij Vega
Verweise
- ^ a b J J O'Connor und EF Robertson (Juni 1996). "Die trigonometrischen Funktionen" . Abgerufen am 4. März 2010 .
- ^ ER Hedrick, Logarithmische und Trigonometrische Tabellen (Macmillan, New York, 1913).
- ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra , London: Iohan Petreium
- ^ Buchshtab, AA; Pechaev, VI (2001) [1994], "Arithmetik" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press
- ^ Vivian Shaw Groza und Susanne M. Shelley (1972), Precalculus Mathematics , New York: Holt, Rinehart und Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier und die Erfindung des Logarithmus, 1614 , Cambridge: The University Press
- ^ Abramowitz und Stegun Handbook of Mathematical Functions, Einführung §4
- Campbell-Kelly, Martin (2003), Die Geschichte der mathematischen Tabellen: Von Sumer zu Tabellenkalkulationen , Oxford-Stipendium online, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0
Externe Links
- Chisholm, Hugh, Hrsg. (1911). . Encyclopædia Britannica (11. Aufl.). Cambridge University Press.
- LOCOMAT : Eine Erhebung mathematischer und astronomischer Tabellen.