Mathematik und Kunst - Mathematics and art

Mathematik in der Kunst: Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I , 1514. Mathematische Referenzen umfassen einen Kompass für die Geometrie , ein magisches Quadrat und ein abgeschnittenes Rhomboeder , während die Messung durch die Skalen und die Sanduhr angezeigt wird .
Wireframe-Zeichnung einer Vase als Revolutionskörper von Paolo Uccello . 15. Jahrhundert

Mathematik und Kunst sind auf vielfältige Weise miteinander verbunden. Mathematik wurde selbst als eine von Schönheit motivierte Kunst beschrieben . Mathematik kann in Künsten wie Musik , Tanz , Malerei , Architektur , Bildhauerei und Textil wahrgenommen werden . Dieser Artikel konzentriert sich jedoch auf die Mathematik in der bildenden Kunst.

Mathematik und Kunst haben eine lange historische Beziehung. Die Künstler haben Mathematik verwendet seit dem 4. Jahrhundert vor Christus , als die griechischen Bildhauer Polyklet schrieben seine Canon , Proportionen Verschreibung gemutmaßt worden zu sein , basierend auf dem Verhältnis 1: 2 für den idealen männlichen Akt. Anhaltende populäre Behauptungen über die Verwendung des Goldenen Schnitts in der antiken Kunst und Architektur wurden ohne zuverlässige Beweise aufgestellt. In der italienischen Renaissance schrieb Luca Pacioli die einflussreiche Abhandlung De divina proportione (1509), illustriert mit Holzschnitten von Leonardo da Vinci , über die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Kunst. Ein anderer italienischer Maler, Piero della Francesca , entwickelte Euklids Ideen zur Perspektive in Abhandlungen wie De Prospectiva Pingendi und in seinen Gemälden. Der Kupferstecher Albrecht Dürer hat in seinem Werk Melencolia I viele Bezüge zur Mathematik hergestellt . In der Neuzeit nutzte der Grafiker M. C. Escher mit Hilfe des Mathematikers HSM Coxeter intensiv die Tessellation und hyperbolische Geometrie , während die De Stijl- Bewegung unter der Leitung von Theo van Doesburg und Piet Mondrian explizit geometrische Formen annahm. Die Mathematik hat Textilkunst wie Quilten , Stricken , Kreuzstich , Häkeln , Sticken , Weben , Türkische und andere Teppichherstellung sowie Kelim inspiriert . In der islamischen Kunst zeigen sich Symmetrien in so unterschiedlichen Formen wie persischen Girih und marokkanischen Zellige- Fliesen, durchbrochenen Steinwänden von Mogul Jali und weit verbreiteten Muqarnas- Wölbungen.

Die Mathematik hat die Kunst mit konzeptuellen Werkzeugen wie der linearen Perspektive , der Symmetrieanalyse und mathematischen Objekten wie Polyedern und dem Möbiusstreifen direkt beeinflusst . Magnus Wenninger schafft bunte Sternpolyeder , ursprünglich als Lehrmodelle. Mathematische Konzepte wie Rekursion und logisches Paradox finden sich in Gemälden von René Magritte und in Stichen von MC Escher. Computerkunst verwendet oft Fraktale einschließlich der Mandelbrot-Menge und erforscht manchmal andere mathematische Objekte wie zelluläre Automaten . Der Künstler David Hockney hat kontrovers argumentiert, dass Künstler ab der Renaissance die Camera lucida benutzten, um präzise Darstellungen von Szenen zu zeichnen; der Architekt Philip Steadman argumentierte ähnlich, dass Vermeer die Camera Obscura in seinen unverwechselbar beobachteten Gemälden verwendet.

Andere Beziehungen umfassen die algorithmische Analyse von Kunstwerken durch Röntgenfluoreszenzspektroskopie , die Feststellung, dass traditionelle Batiken aus verschiedenen Regionen Javas unterschiedliche fraktale Dimensionen aufweisen , und Anregungen für die Mathematikforschung, insbesondere Filippo Brunelleschis Theorie der Perspektive, die schließlich zu Girard . führte Die projektive Geometrie von Desargues . Eine hartnäckige Ansicht, die letztlich auf der pythagoräischen Vorstellung von Harmonie in der Musik beruht, ist der Ansicht, dass alles nach Zahlen geordnet wurde, dass Gott der Geometer der Welt ist und dass daher die Geometrie der Welt heilig ist .

Ursprünge: vom antiken Griechenland bis zur Renaissance

Kanon und Symmetrie von Polykletos

Römische Kopie in Marmor von Doryphoros , ursprünglich eine Bronze von Polykletos

Polykletos der Ältere (ca. 450–420 v. Chr.) war ein griechischer Bildhauer aus der Schule von Argos und ein Zeitgenosse von Phidias . Seine Werke und Statuen bestanden hauptsächlich aus Bronze und waren von Sportlern. Laut dem Philosophen und Mathematiker Xenocrates gilt Polykleitos mit seinen Arbeiten zum Doryphorus und der Hera- Statue im Heraion von Argos als einer der bedeutendsten Bildhauer der klassischen Antike . Obwohl seine Skulpturen vielleicht nicht so berühmt sind wie die von Phidias, werden sie viel bewundert. In seinem Kanon , einer Abhandlung, die er geschrieben hat, um die "perfekten" Körperproportionen des männlichen Aktes zu dokumentieren , gibt uns Polykletos einen mathematischen Ansatz zur Bildhauerei des menschlichen Körpers.

Der Kanon selbst ist verloren gegangen, aber es wird vermutet, dass Polykletos eine Folge von Proportionen verwendet hat, bei denen jede Länge der Diagonale eines Quadrats entspricht, das auf seinem Vorgänger gezeichnet wurde, 1: 2 (etwa 1:1,4142).

Der Einfluss des Kanons von Polykletos ist in der klassischen griechischen , römischen und Renaissance- Skulptur immens , viele Bildhauer folgen der Vorschrift von Polykleitos. Obwohl keines der Originalwerke von Polykletos überlebt hat, demonstrieren römische Kopien sein Ideal von physischer Perfektion und mathematischer Präzision. Einige Gelehrte argumentieren, dass das pythagoräische Denken den Kanon des Polykletos beeinflusst hat. Der Kanon wendet die grundlegenden mathematischen Konzepte der griechischen Geometrie wie Verhältnis, Proportion und Symmetrie (griechisch für "harmonische Proportionen") an und verwandelt sie in ein System, das die menschliche Form durch eine Reihe kontinuierlicher geometrischer Progressionen beschreiben kann .

Perspektive und Proportion

Anstatt entfernte Figuren mit linearer Perspektive zu verkleinern , haben Maler in der klassischen Zeit Objekte und Figuren nach ihrer thematischen Bedeutung sortiert. Im Mittelalter verwendeten einige Künstler die umgekehrte Perspektive, um besondere Akzente zu setzen. Der muslimische Mathematiker Alhazen (Ibn al-Haytham) beschrieb 1021 in seinem Buch der Optik eine Theorie der Optik , wandte sie jedoch nie auf die Kunst an. Die Renaissance erlebte eine Wiedergeburt der klassischen griechischen und römischen Kultur und Ideen, darunter das Studium der Mathematik, um die Natur und die Künste zu verstehen . Zwei Hauptmotive trieben Künstler des Spätmittelalters und der Renaissance zur Mathematik. Zuerst mussten Maler herausfinden, wie man dreidimensionale Szenen auf einer zweidimensionalen Leinwand darstellt. Zweitens waren Philosophen und Künstler gleichermaßen davon überzeugt, dass die Mathematik die wahre Essenz der physikalischen Welt ist und dass das gesamte Universum, einschließlich der Künste, mit geometrischen Begriffen erklärt werden kann.

Die Anfänge der Perspektive kamen mit Giotto (1266/7 – 1337), der versuchte, mit einer algebraischen Methode die Perspektive zu zeichnen, um die Platzierung entfernter Linien zu bestimmen. 1415 demonstrierten der italienische Architekt Filippo Brunelleschi und sein Freund Leon Battista Alberti in Florenz die geometrische Methode der Anwendung der Perspektive, indem sie ähnliche Dreiecke wie von Euklid formuliert verwendet, um die scheinbare Höhe entfernter Objekte zu finden. Brunelleschis eigene perspektivische Gemälde gehen verloren, aber Masaccios Gemälde der Heiligen Dreifaltigkeit zeigt seine Prinzipien bei der Arbeit.

Paolo Uccello nutzte die Perspektive in der Schlacht von San Romano (ca. 1435–1460) auf innovative Weise .

Der italienische Maler Paolo Uccello (1397–1475) war fasziniert von der Perspektive, wie seine Gemälde Die Schlacht von San Romano (um 1435–1460) zeigen: Gebrochene Lanzen liegen bequem entlang perspektivischer Linien.

Der Maler Piero della Francesca (ca. 1415–1492) ist ein Beispiel für diesen neuen Wandel im Denken der italienischen Renaissance. Er war ein erfahrener Mathematiker und Geometer und schrieb Bücher über feste Geometrie und Perspektive , darunter De Prospectiva pingendi (Über die Perspektive der Malerei) , Trattato d'Abaco (Abakus-Abhandlung) und De quinque corporibus regularibus (Über die fünf regelmäßigen Körper) . Der Historiker Vasari nennt Piero in seinen Leben der Maler den "größten Geometer seiner Zeit oder vielleicht aller Zeiten". Pieros Interesse an der Perspektive zeigt sich in seinen Gemälden wie dem Polyptychon von Perugia , dem Altarbild von San Agostino und Die Geißelung Christi . Seine Arbeiten zur Geometrie beeinflussten spätere Mathematiker und Künstler, darunter Luca Pacioli in seiner De divina proportione und Leonardo da Vinci . Piero studierte klassische Mathematik und die Werke von Archimedes . Er wurde in "Abakus-Schulen" in kaufmännischer Arithmetik unterrichtet; seine Schriften sind wie Lehrbücher der Abakus-Schule formatiert, darunter vielleicht Leonardo Pisano ( Fibonacci ) 1202 Liber Abaci . Die lineare Perspektive wurde gerade in die künstlerische Welt eingeführt. Alberti erklärte 1435 in seinem De pictura : "Lichtstrahlen wandern geradlinig von Punkten in der beobachteten Szene zum Auge und bilden eine Art Pyramide mit dem Auge als Scheitelpunkt." Ein mit linearer Perspektive konstruiertes Gemälde ist ein Querschnitt dieser Pyramide.

In De Prospectiva Pingendi wandelt Piero seine empirischen Beobachtungen, wie sich Aspekte einer Figur mit Blickwinkeln verändern, in mathematische Beweise um. Seine Abhandlung beginnt im Sinne von Euklid: Er definiert den Punkt als "das Kleinste, was das Auge erfassen kann". Mit deduktiver Logik führt er den Leser zur perspektivischen Darstellung eines dreidimensionalen Körpers.

Der Künstler David Hockney argumentierte in seinem Buch Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters, dass Künstler ab den 1420er Jahren begannen, eine Camera lucida zu verwenden , was zu einer plötzlichen Veränderung der Präzision und des Realismus führte, und dass diese Praxis von großen Künstlern fortgesetzt wurde, darunter Ingres , Van Eyck und Caravaggio . Kritiker sind sich nicht einig, ob Hockney Recht hatte. In ähnlicher Weise argumentierte der Architekt Philip Steadman kontrovers, dass Vermeer ein anderes Gerät, die Camera Obscura , verwendet habe, um ihm bei der Erstellung seiner unverwechselbar beobachteten Gemälde zu helfen.

1509 veröffentlichte Luca Pacioli (ca. 1447–1517) De divina proportione über mathematische und künstlerische Proportionen , auch im menschlichen Gesicht. Leonardo da Vinci (1452–1519) illustrierte den Text mit Holzschnitten aus regelmäßigen Körpern, während er in den 1490er Jahren bei Pacioli studierte. Leonardos Zeichnungen sind wahrscheinlich die ersten Illustrationen skelettierter Körper. Diese, wie das Rhombikuboktaeder , gehörten zu den ersten, die gezeichnet wurden, um die Perspektive zu demonstrieren, indem sie übereinander gelegt wurden. Die Arbeit diskutiert Perspektiven in den Werken von Piero della Francesca , Melozzo da Forlì und Marco Palmezzano . Da Vinci studierte Paciolis Summa , von der er Proportionstabellen abschrieb. In Mona Lisa und The Last Supper integriert Da Vincis Arbeit eine lineare Perspektive mit einem Fluchtpunkt, um eine scheinbare Tiefe zu schaffen. Das letzte Abendessen in einem engen Verhältnis von 12 konstruiert: 6: 4: 3, wie Raphael ‚s die Schule von Athen , die Pythagoras mit einer Tablette von idealen Verhältnissen, sakraler die Pythagoräern umfassen. In Vitruvian Man drückte Leonardo die Ideen des römischen Architekten Vitruv aus , indem er die männliche Figur auf innovative Weise zweimal zeigte und ihn sowohl in einem Kreis als auch in einem Quadrat zentrierte.

Bereits im 15. Jahrhundert hielt die krummlinige Perspektive Einzug in die Malerei von Künstlern, die sich für Bildverzerrungen interessierten. Jan van Eyck ‚s 1434 Arnolfini Porträt enthält einen konvexen Spiegel mit Reflexionen der Menschen in der Szene, während Parmigianino ‘ s Selbstporträt in einem konvexen Spiegel , c. 1523–1524, zeigt in der Mitte das weitgehend unverzerrte Gesicht des Künstlers mit stark geschwungenem Hintergrund und Künstlerhand um den Rand.

Der dreidimensionale Raum lässt sich in der Kunst wie in der technischen Zeichnung auch anders als perspektivisch überzeugend darstellen . Schräge Projektionen , einschließlich der Kavaliersperspektive (von französischen Militärkünstlern verwendet, um Festungen im 18. Jahrhundert darzustellen), wurden von chinesischen Künstlern vom ersten oder zweiten Jahrhundert bis zum 18. Jahrhundert kontinuierlich und allgegenwärtig verwendet. Die Chinesen erwarben die Technik aus Indien, das sie aus dem antiken Rom erwarb. Schräge Projektionen sind in der japanischen Kunst zu sehen, beispielsweise in den Ukiyo-e- Gemälden von Torii Kiyonaga (1752–1815).

Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt (ungefähr gleich 1,618) war Euklid bekannt . In der Neuzeit wurde beharrlich behauptet, dass der Goldene Schnitt von den Alten in Ägypten, Griechenland und anderswo in Kunst und Architektur verwendet wurde, ohne dass zuverlässige Beweise vorliegen. Die Behauptung kann aus einer Verwechslung mit "goldener Mitte" stammen, was für die alten Griechen "Vermeidung von Übermaß in beide Richtungen" bedeutete, kein Verhältnis. Pyramidologen seit dem 19. Jahrhundert argumentieren aus zweifelhaften mathematischen Gründen für den Goldenen Schnitt im Pyramidendesign. Der Parthenon , ein Tempel aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. in Athen, soll den Goldenen Schnitt in seiner Fassade und seinem Grundriss verwenden, aber auch diese Behauptungen werden durch Messungen widerlegt. Die Große Moschee von Kairouan in Tunesien wurde in ähnlicher Weise behauptet, den Goldenen Schnitt in ihrem Design zu verwenden, aber der Schnitt erscheint nicht in den ursprünglichen Teilen der Moschee. Der Architekturhistoriker Frederik Macody Lund argumentiert , im Jahre 1919 , dass die Kathedrale von Chartres (12. Jahrhundert), Notre-Dame von Laon (1157-1205) und Notre Dame de Paris (1160) sind nach dem goldenen Schnitt, Regler Zeichnen von Linien zu seinen Fall machen. Andere Gelehrte argumentieren, dass der Goldene Schnitt bis zu Paciolis Werk im Jahr 1509 Künstlern und Architekten unbekannt war. Zum Beispiel haben die Höhe und Breite der Vorderseite von Notre-Dame von Laon das Verhältnis 8/5 oder 1,6, nicht 1,618. Solche Fibonacci-Verhältnisse sind schnell schwer vom Goldenen Schnitt zu unterscheiden. Nach Pacioli ist der Goldene Schnitt in Kunstwerken wie Leonardos Mona Lisa deutlicher erkennbar .

Ein anderes Verhältnis, die einzige andere morphische Zahl, wurde 1928 vom niederländischen Architekten Hans van der Laan als plastische Zahl bezeichnet (ursprünglich le nombre radiant auf Französisch). Sein Wert ist die Lösung der kubischen Gleichung

,

eine irrationale Zahl, die ungefähr 1,325 beträgt. Dies hat nach Ansicht des Architekten Richard Padovan charakteristische Verhältnisse3/4 und 1/7, die die Grenzen der menschlichen Wahrnehmung regeln, indem sie eine physikalische Größe zu einer anderen in Beziehung setzen. Van der Laan verwendete diese Verhältnisse beim Entwurf der Abteikirche St. Benedictusberg 1967 in den Niederlanden.

Planare Symmetrien

Kraftvolle Präsenz: Teppich mit Doppelmedaillon. Zentralanatolien (Konya - Karapınar), Wende des 16. / 17. Jahrhunderts. Alâeddin-Moschee

Planare Symmetrien werden seit Jahrtausenden in Kunstwerken wie Teppichen , Gittern, Textilien und Fliesen ausgenutzt .

Viele traditionelle Teppiche, ob Florteppiche oder flachgewebte Kelims , sind in ein Mittelfeld und eine Rahmungsbordüre unterteilt; beide können Symmetrien aufweisen, die jedoch bei handgewebten Teppichen oft durch kleine Details, Mustervariationen und vom Weber eingeführte Farbverschiebungen leicht unterbrochen werden. Bei Kelims aus Anatolien sind die verwendeten Motive selbst meist symmetrisch. Auch das allgemeine Layout ist in der Regel vorhanden, mit Anordnungen wie Streifen, Streifen im Wechsel mit Motivreihen und gepackten Arrays von etwa sechseckigen Motiven. Das Feld wird üblicherweise als eine Tapete mit einer angelegten Tapete Gruppe wie pmm, während die Grenze als Fries verlegt werden kann Fries Gruppe PM11, pmm2 oder PMA2. Türkische und zentralasiatische Kelims haben oft drei oder mehr Bordüren in verschiedenen Friesgruppen. Weber hatten sicherlich die Absicht der Symmetrie, ohne explizite Kenntnisse ihrer Mathematik. Der Mathematiker und Architekturtheoretiker Nikos Salingaros schlägt vor , dass die „starke Präsenz“ (ästhetische Wirkung) von einem „großen Teppich“ wie die besten Konya zwei Medaillon Teppiche des 17. Jahrhunderts wird durch mathematische Techniken zu den Theorien des Architekten im Zusammenhang erstellt Christopher Alexander . Zu diesen Techniken gehören das Paaren von Gegensätzen; gegensätzliche Farbwerte; geometrisches Unterscheiden von Bereichen, sei es durch die Verwendung komplementärer Formen oder durch Ausgleichen der Ausrichtung scharfer Winkel; Bereitstellung kleiner Komplexität (von der Knotenebene aufwärts) und sowohl kleiner als auch großer Symmetrie; sich wiederholende Elemente in einer Hierarchie verschiedener Skalen (mit einem Verhältnis von etwa 2,7 von jeder Ebene zur nächsten). Salingaros argumentiert, dass "alle erfolgreichen Teppiche mindestens neun der oben genannten zehn Regeln erfüllen" und schlägt vor, dass es möglich sein könnte, eine Metrik aus diesen Regeln zu erstellen.

Aufwendige Gitter finden sich in indischen Jali- Arbeiten, die in Marmor geschnitzt sind, um Gräber und Paläste zu schmücken. Chinesische Gitter, immer mit einer gewissen Symmetrie, existieren in 14 der 17 Tapetengruppen; sie haben oft Spiegel-, Doppelspiegel- oder Rotationssymmetrie. Einige haben ein zentrales Medaillon, andere eine Bordüre in einer Friesgruppe. Viele chinesische Gitter wurden von Daniel S. Dye mathematisch analysiert; er identifiziert Sichuan als Zentrum des Handwerks.

Symmetrien sind in der Textilkunst wie Quilten , Stricken , Kreuzstich , Häkeln , Sticken und Weben von großer Bedeutung , wo sie rein dekorativ sein oder Statuszeichen darstellen können. Rotationssymmetrie findet man in kreisförmigen Strukturen wie Kuppeln ; diese sind manchmal innen und außen aufwendig mit symmetrischen Mustern verziert, wie bei der Scheich-Lotfollah-Moschee von 1619 in Isfahan . Stickereien und Spitzenarbeiten wie Tischdecken und Tischsets , die aus Spulen oder durch Flicken hergestellt werden , können eine Vielzahl von Reflexions- und Rotationssymmetrien aufweisen, die mathematisch untersucht werden.

Die islamische Kunst nutzt Symmetrien in vielen ihrer Kunstformen, insbesondere in den Girih-Fliesen . Diese werden aus einem Satz von fünf Fliesenformen gebildet, nämlich einem regelmäßigen Zehneck, einem länglichen Sechseck, einer Fliege, einer Raute und einem regelmäßigen Fünfeck. Alle Seiten dieser Fliesen haben die gleiche Länge; und alle ihre Winkel sind Vielfache von 36° (π/5 Radiant ) und bieten fünf- und zehnfache Symmetrien. Die Fliesen sind mit Riemchenlinien (girih) verziert , die im Allgemeinen besser sichtbar sind als die Fliesengrenzen. Im Jahr 2007 argumentierten die Physiker Peter Lu und Paul Steinhardt , dass girih quasikristallinen Penrose- Fliesen ähnelt . Aufwändige geometrische Zellige- Fliesen sind ein unverwechselbares Element der marokkanischen Architektur. Muqarnas- Gewölbe sind dreidimensional, wurden jedoch in zwei Dimensionen mit Zeichnungen geometrischer Zellen entworfen.

Polyeder

Die erste gedruckte Illustration eines Rhombikuboktaeders von Leonardo da Vinci , veröffentlicht in De Divina Proportione , 1509

Die platonischen Körper und andere Polyeder sind ein wiederkehrendes Thema in der westlichen Kunst. Sie finden sich zum Beispiel in einem Marmormosaik mit dem kleinen sternförmigen Dodekaeder , das Paolo Uccello zugeschrieben wird, im Boden der Basilika San Marco in Venedig; in Leonardo da Vincis Diagrammen regelmäßiger Polyeder, die als Illustrationen für Luca Paciolis Buch The Divine Proportion aus dem Jahr 1509 gezeichnet wurden ; als gläserner Rhombikuboktaeder in Jacopo de Barbaris Porträt von Pacioli, gemalt 1495; im abgeschnittenen Polyeder (und verschiedenen anderen mathematischen Objekten) in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I ; und in Salvador Dalís Gemälde Das letzte Abendmahl, in dem Christus und seine Jünger in einem riesigen Dodekaeder abgebildet sind .

Albrecht Dürer (1471-1528) war ein deutscher Renaissance -Printmaker , die wichtigen Beiträge zur polyedrische Literatur in seinem 1525 Buch, machte Underweysung der MESSUNG (Bildung auf Measurement) , bedeutete die Themen zu lehren linearer Perspektive , Geometrie in Architektur , platonischer Körper , und regelmäßige Polygone . Dürer wurde während seiner Italienreisen wahrscheinlich von den Werken von Luca Pacioli und Piero della Francesca beeinflusst . Während die Perspektivenbeispiele in Underweysung der Messung unterentwickelt sind und Ungenauigkeiten enthalten, wird Polyeder ausführlich diskutiert. Dürer ist auch der erste, der die Idee von polyedrischen Netzen in Text einführt , Polyeder, die zum Drucken flach aufliegen. Dürer veröffentlichte 1528 ein weiteres einflussreiches Buch über die menschlichen Proportionen mit dem Titel Vier Bücher von menschlicher Proportion .

Salvador Dalí ‚s Kreuzigung (Corpus Hypercubus) , 1954, zeigt Christus auf das mathematische Netz eines hypercube , (Öl auf Leinwand, 194,3 x 123,8 cm, Metropolitan Museum of Art , New York)

Dürers bekannter Kupferstich Melencolia I zeigt einen frustrierten Denker, der neben einem abgestumpften Dreiecktrapezoeder und einem magischen Quadrat sitzt . Diese beiden Objekte und der Stich als Ganzes wurden moderner interpretiert als der Inhalt fast aller anderen Drucke, darunter ein zweibändiges Buch von Peter-Klaus Schuster und eine einflussreiche Diskussion in der Monographie von Erwin Panofsky von Dürer.

Salvador Dalí ‚s Corpus Hypercubus zeigt ein entfalteten dreidimensionales Netz nach einem hypercube , auch bekannt als ein tesseract ; die Entfaltung eines Tesserakts in diese acht Würfel ist analog zum Entfalten der Seiten eines Würfels in eine Kreuzform von sechs Quadraten, die hier die göttliche Perspektive mit einem vierdimensionalen regelmäßigen Polyeder darstellt.

Fraktale Dimensionen

Batiken aus Surakarta , Java, wie dieses Parang-Klithik- Schwertmuster, haben eine fraktale Dimension zwischen 1,2 und 1,5.

Traditionelle indonesische Wachsresist- Batik- Designs auf Stoff kombinieren gegenständliche Motive (z. Batik-Designs haben eine fraktale Dimension zwischen 1 und 2, die in verschiedenen regionalen Stilen variieren. Zum Beispiel hat die Batik von Cirebon eine fraktale Dimension von 1,1; die Batiken von Yogyakarta und Surakarta (Solo) in Zentral- Java haben eine fraktale Dimension von 1,2 bis 1,5; und die Batiken von Lasem an der Nordküste von Java und von Tasikmalaya in West-Java haben eine fraktale Dimension zwischen 1,5 und 1,7.

Die Drip-Painting- Arbeiten des modernen Künstlers Jackson Pollock sind in ihrer fraktalen Dimension ähnlich markant. Seine 1948er Nummer 14 hat eine küstenlinienähnliche Dimension von 1,45, während seine späteren Gemälde sukzessive höhere fraktale Dimensionen und dementsprechend aufwendigere Muster aufwiesen. Eines seiner letzten Werke, Blue Poles , hat sechs Monate in Anspruch genommen und hat die fraktale Dimension von 1,72.

Eine komplexe Beziehung

Der Astronom Galileo Galilei schrieb in seinem Il Saggiatore , dass "[Das Universum] in der Sprache der Mathematik geschrieben ist und seine Zeichen Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren sind." Künstler, die danach streben, die Natur zu studieren, müssen nach Galileis Ansicht zunächst die Mathematik vollständig verstehen. Im Gegensatz dazu haben Mathematiker versucht, Kunst durch die Linse von Geometrie und Rationalität zu interpretieren und zu analysieren. Der Mathematiker Felipe Cucker schlägt vor, dass die Mathematik und insbesondere die Geometrie eine Quelle von Regeln für "regelgesteuertes künstlerisches Schaffen" ist, wenn auch nicht die einzige. Einige der vielen Stränge der resultierenden komplexen Beziehung werden unten beschrieben.

Der Mathematiker GH Hardy hat eine Reihe von Kriterien für mathematische Schönheit definiert .

Mathematik als Kunst

Der Mathematiker Jerry P. King beschreibt Mathematik als eine Kunst, indem er feststellt, dass "die Schlüssel zur Mathematik Schönheit und Eleganz sind und nicht Stumpfheit und Technik", und dass Schönheit die motivierende Kraft für die mathematische Forschung ist. King zitiert den Aufsatz A Mathematician's Apology aus dem Jahr 1940 des Mathematikers GH Hardy . Darin diskutiert Hardy, warum er zwei Sätze der klassischen Zeit als erstklassig findet, nämlich Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt , und den Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist . King bewertet letzteres anhand von Hardys Kriterien für mathematische Eleganz : „ Ernstheit, Tiefe, Allgemeinheit, Unerwartetheit, Unvermeidlichkeit und Sparsamkeit “ (Kings Kursivschrift) und bezeichnet den Beweis als „ästhetisch ansprechend“. Der ungarische Mathematiker Paul Erdős stimmte zu, dass Mathematik Schönheit besitze, betrachtete jedoch die unerklärlichen Gründe: "Warum sind Zahlen schön? Es ist, als würde man fragen, warum Beethovens Neunte Symphonie schön ist. Wenn Sie nicht sehen, warum, kann es Ihnen niemand sagen. Ich weiß Zahlen sind schön."

Mathematische Werkzeuge für die Kunst

Mathematik kann in vielen Künsten wie Musik , Tanz , Malerei , Architektur und Bildhauerei erkannt werden . Jeder von ihnen ist reich mit Mathematik verbunden. Neben den Verbindungen zur bildenden Kunst kann die Mathematik Künstlern Werkzeuge zur Verfügung stellen, wie zum Beispiel die Regeln der linearen Perspektive, wie sie von Brook Taylor und Johann Lambert beschrieben wurden , oder die Methoden der beschreibenden Geometrie , die heute bei der Softwaremodellierung von Körpern angewendet werden und auf Albrecht zurückgehen Dürer und Gaspard Monge . Künstler wie Luca Pacioli im Mittelalter und Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer in der Renaissance haben mathematische Ideen für ihre künstlerische Arbeit genutzt und weiterentwickelt. Die Verwendung der Perspektive begann trotz einiger embryonaler Verwendungen in der Architektur des antiken Griechenlands mit italienischen Malern wie Giotto im 13. Jahrhundert; Regeln wie der Fluchtpunkt wurden erstmals um 1413 von Brunelleschi formuliert , seine Theorie beeinflusste Leonardo und Dürer. Isaac Newton seine Arbeit auf dem optischen Spektrum beeinflusst Goethe 's Farbenlehre und wiederum Künstler wie Philipp Otto Runge , JMW Turner , der Präraffaeliten und Wassily Kandinsky . Künstler können auch die Symmetrie einer Szene analysieren . Werkzeuge können von Mathematikern angewendet werden, die sich mit Kunst beschäftigen, oder von der Mathematik inspirierten Künstlern wie MC Escher (inspiriert von HSM Coxeter ) und dem Architekten Frank Gehry , der dürftiger argumentierte, dass computergestütztes Design es ihm ermöglichte, sich in einer völlig neuen Form auszudrücken Weg.

Octopod von Mikael Hvidtfeldt Christensen. Algorithmische Kunst produziert mit der Software Structure Synth

Der Künstler Richard Wright argumentiert, dass konstruierbare mathematische Objekte entweder "als Prozesse zur Simulation von Phänomenen" oder als Werke der " Computerkunst " gesehen werden können. Er betrachtet die Natur des mathematischen Denkens und stellt fest, dass Fraktale den Mathematikern ein Jahrhundert lang bekannt waren, bevor sie als solche erkannt wurden. Wright schließt mit der Feststellung, dass es angemessen ist, mathematische Objekte allen Methoden zu unterziehen, die verwendet werden, um "kulturelle Artefakte wie Kunst, die Spannung zwischen Objektivität und Subjektivität, ihre metaphorischen Bedeutungen und den Charakter von Repräsentationssystemen zu verarbeiten". Er gibt als Instanzen ein Bild aus der Mandelbrot-Menge , ein von einem zellulären Automatenalgorithmus erzeugtes Bild und ein computergerendertes Bild und diskutiert anhand des Turing-Tests , ob algorithmische Produkte Kunst sein können. Sasho Kalajdzievskis Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics verfolgt einen ähnlichen Ansatz und betrachtet geeignete visuelle Mathematikthemen wie Kacheln, Fraktale und hyperbolische Geometrie.

Einige der ersten Computerkunstwerke wurden von Desmond Paul Henrys "Drawing Machine 1" geschaffen, einer analogen Maschine, die auf einem Bombenzielcomputer basiert und 1962 ausgestellt wurde. Die Maschine war in der Lage, komplexe, abstrakte, asymmetrische, krummlinige, aber sich wiederholende Strichzeichnungen. In jüngerer Zeit hat Hamid Naderi Yeganeh Formen geschaffen, die an reale Objekte wie Fische und Vögel erinnern, indem er Formeln verwendet, die sukzessive variiert werden, um Familien von Kurven oder abgewinkelten Linien zu zeichnen. Künstler wie Mikael Hvidtfeldt Christensen schaffen Werke generativer oder algorithmischer Kunst, indem sie Skripte für ein Softwaresystem wie Structure Synth schreiben : Der Künstler leitet das System effektiv an, eine gewünschte Kombination mathematischer Operationen auf einen ausgewählten Datensatz anzuwenden.

Von der Mathematik zur Kunst

Protokubismus : Pablo Picassos Gemälde Les Demoiselles d'Avignon aus dem Jahr 1907 verwendet eine Projektion der vierten Dimension , um eine Figur sowohl mit vollem Gesicht als auch im Profil zu zeigen.

Der Mathematiker und theoretischer Physiker Henri Poincaré ‚s Wissenschaft und Hypothese wurde weitgehend von den gelesenen Kubisten , darunter Pablo Picasso und Jean Metzinger . Poincaré war mit Bernhard Riemanns Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie bestens vertraut und war sich mehr als bewusst, dass die euklidische Geometrie nur eine von vielen möglichen geometrischen Konfigurationen und nicht eine absolute objektive Wahrheit ist. Die mögliche Existenz einer vierten Dimension inspirierte Künstler dazu, die klassische Renaissance-Perspektive in Frage zu stellen : Die nichteuklidische Geometrie wurde zu einer gültigen Alternative. Das Konzept, dass Malerei in Farbe und Form mathematisch ausgedrückt werden kann, trug zum Kubismus bei, der Kunstbewegung, die zur abstrakten Kunst führte . Metzinger schrieb 1910: „[Picasso] legt eine freie, bewegliche Perspektive dar, aus der der geniale Mathematiker Maurice Princet eine ganze Geometrie abgeleitet hat“. Später schrieb Metzinger in seinen Memoiren:

Maurice Princet kam oft zu uns ... als Künstler konzeptualisierte er die Mathematik, als Ästhetiker beschwor er n- dimensionale Kontinuums. Er liebte die Künstler in den interessiert zu bekommen neue Ansichten über Raum , der durch eröffnet worden war Schlegel und einige andere. Das ist ihm gelungen.

Der Impuls, Lehr- oder Forschungsmodelle mathematischer Formen zu erstellen, schafft natürlich Objekte mit Symmetrien und überraschenden oder gefälligen Formen. Einige von ihnen haben Künstler wie die Dadaisten Man Ray , Marcel Duchamp und Max Ernst sowie nach Man Ray Hiroshi Sugimoto inspiriert .

Enneper taucht als Dadaismus auf : Man Rays Objet Mathematique von 1934

Man Ray fotografierte einige der mathematischen Modelle im Institut Henri Poincaré in Paris, darunter Objet mathematique (Mathematisches Objekt). Er stellte fest, dass dies Enneper-Flächen mit konstanter negativer Krümmung darstellte , abgeleitet von der Pseudosphäre . Diese mathematische Grundlage war ihm wichtig, denn sie erlaubte ihm zu leugnen, dass das Objekt "abstrakt" sei, sondern behauptete, es sei so real wie das Urinal, das Duchamp zu einem Kunstwerk gemacht hat. Man Ray gab zu, dass die Formel des Objekts [Enneper-Oberfläche] "für mich nichts bedeutete, aber die Formen selbst waren so vielfältig und authentisch wie alle anderen in der Natur." Er verwendete seine Fotografien der mathematischen Modelle als Figuren in seinen Serien zu Shakespeares Dramen, wie etwa seinem Gemälde Antonius und Kleopatra von 1934 . Der Kunstreporter Jonathan Keats, der in ForbesLife schreibt , argumentiert, dass Man Ray „die elliptischen Paraboloide und konischen Punkte im gleichen sinnlichen Licht wie seine Bilder von Kiki de Montparnasse fotografiert hat“ und „die kühlen Berechnungen der Mathematik auf geniale Weise umfunktioniert, um die Topologie von Verlangen". Bildhauer des 20. Jahrhunderts wie Henry Moore , Barbara Hepworth und Naum Gabo ließen sich von mathematischen Modellen inspirieren. Moore schrieb 1938 über seine Stringed Mother and Child : "Zweifellos war die Quelle meiner aufgereihten Figuren das Science Museum  ... Ich war fasziniert von den mathematischen Modellen, die ich dort sah ... Es war nicht das wissenschaftliche Studium dieser Modelle, sondern die Fähigkeit, wie bei einem Vogelkäfig durch die Schnüre zu schauen und eine Form in einer anderen zu sehen, was mich begeisterte."

Theo van Does ‚s Six Moments in der Entwicklung von Flugzeug Space , 1926 oder 1929

Die Künstler Theo van Doesburg und Piet Mondrian gründeten die De Stijl- Bewegung, mit der sie „ein visuelles Vokabular etablieren wollten, das aus elementaren geometrischen Formen besteht, die für alle verständlich und an jede Disziplin anpassbar sind“. Viele ihrer Kunstwerke bestehen sichtbar aus linierten Quadraten und Dreiecken, manchmal auch mit Kreisen. Die Künstler von De Stijl arbeiteten in den Bereichen Malerei, Möbel, Innenarchitektur und Architektur. Nach der Auflösung von De Stijl gründete Van Doesburg die Avantgarde Art Concret- Bewegung und beschrieb seine Arithmetic Composition von 1929 bis 1930 , eine Reihe von vier schwarzen Quadraten auf der Diagonale eines quadratischen Hintergrunds, als „eine kontrollierbare Struktur, a bestimmte Oberfläche ohne Zufallselemente oder individuelle Willkür", doch "nicht ohne Geist, nicht ohne das Allgemeine und nicht ... leer, da alles vorhanden ist, was zum inneren Rhythmus passt". Die Kunstkritikerin Gladys Fabre stellt fest, dass in dem Gemälde zwei Progressionen am Werk sind, nämlich die wachsenden schwarzen Quadrate und die abwechselnden Hintergründe.

Die Mathematik der Tessellation , Polyeder, Raumgestaltung und Selbstreferenz lieferte dem Grafiker MC Escher (1898-1972) lebenslängliche Materialien für seine Holzschnitte. In der Alhambra-Skizze zeigte Escher, dass mit Polygonen oder regelmäßigen Formen wie Dreiecken, Quadraten und Sechsecken Kunst geschaffen werden kann. Escher verwendete unregelmäßige Polygone beim Kacheln der Ebene und verwendete häufig Reflexionen, Gleitreflexionen und Translationen , um weitere Muster zu erhalten. Viele seiner Werke enthalten unmögliche Konstruktionen aus geometrischen Objekten, die einen Widerspruch zwischen perspektivischer Projektion und Dreidimensionalität aufstellen, aber für das menschliche Auge angenehm sind. Eschers Auf- und Abstieg basiert auf der „ unmöglichen Treppe “, die der Mediziner Lionel Penrose und sein Sohn, der Mathematiker Roger Penrose, geschaffen haben .

Einige von Eschers zahlreichen Tessellationszeichnungen wurden durch Gespräche mit dem Mathematiker HSM Coxeter über hyperbolische Geometrie inspiriert . Escher interessierte sich besonders für fünf spezifische Polyeder, die in seinem Werk mehrfach vorkommen. Die platonischen Körper – Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder – sind in Ordnung und Chaos und Vier reguläre Körper besonders prominent . Diese sternförmigen Figuren befinden sich oft in einer anderen Figur, die den Blickwinkel und die Form der Polyeder weiter verzerrt und ein facettenreiches perspektivisches Kunstwerk liefert.

Die visuelle Komplexität mathematischer Strukturen wie Tessellationen und Polyeder hat eine Vielzahl mathematischer Kunstwerke inspiriert. Stewart Coffin stellt polyedrische Puzzles in seltenen und schönen Wäldern her; George W. Hart arbeitet an der Theorie der Polyeder und formt von ihnen inspirierte Objekte; Magnus Wenninger fertigt "besonders schöne" Modelle komplexer Sternpolyeder an .

Die verzerrten Perspektiven der Anamorphose werden in der Kunst seit dem 16. Jahrhundert erforscht, als Hans Holbein der Jüngere in seinem Gemälde Die Botschafter von 1533 einen stark verzerrten Schädel einbaute . Viele Künstler, darunter auch Escher, bedienen sich seitdem anamorphotischer Tricks.

Die Mathematik der Topologie hat in der Neuzeit mehrere Künstler inspiriert. Der Bildhauer John Robinson (1935–2007) schuf Werke wie Gordian Knot und Bands of Friendship und zeigt die Knotentheorie in polierter Bronze. Andere Arbeiten von Robinson untersuchen die Topologie von Torussen . Genesis basiert auf Borromäischen Ringen – einem Satz von drei Kreisen, von denen keine zwei miteinander verbunden sind, aber in denen die gesamte Struktur nicht zerlegt werden kann, ohne zu brechen. Der Bildhauer Helaman Ferguson schafft komplexe Oberflächen und andere topologische Objekte . Seine Werke sind visuelle Darstellungen mathematischer Objekte; Der Achtfache Weg basiert auf der projektiven speziellen linearen Gruppe PSL(2,7) , einer endlichen Gruppe von 168 Elementen. Auch die Bildhauerin Bathsheba Grossman stützt ihre Arbeit auf mathematische Strukturen. Der Künstler Nelson Saiers bezieht mathematische Konzepte und Theoreme in seine Kunst ein, von Topos und Schemata bis hin zum Vierfarben-Theorem und der Irrationalität von π .

Ein Forschungsprojekt der freien Künste untersucht Verbindungen zwischen Mathematik und Kunst durch den Möbiusstreifen , Flexagons , Origami und Panoramafotografie .

Mathematische Objekte wie die Lorenz-Mannigfaltigkeit und die hyperbolische Ebene wurden mit Faserkunst einschließlich Häkeln hergestellt. Die amerikanische Weberin Ada Dietz schrieb 1949 eine Monographie Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , in der sie Webmuster basierend auf der Expansion multivariater Polynome definierte . Die Mathematikerin Daina Taimiņa demonstrierte 2001 beim Häkeln Merkmale der hyperbolischen Ebene. Dies veranlasste Margaret und Christine Wertheim , ein Korallenriff zu häkeln , das aus vielen Meerestieren wie Nacktschnecken besteht, deren Formen auf hyperbolischen Ebenen basieren. Der Mathematiker JCP Miller verwendete den zellularen Automaten Rule 90 , um Wandteppiche zu entwerfen, die sowohl Bäume als auch abstrakte Dreiecksmuster darstellen. Die "Mathestricker" Pat Ashforth und Steve Plummer verwenden in ihrem Unterricht gestrickte Versionen mathematischer Objekte wie Hexaflexagons , obwohl sich ihr Menger-Schwamm zum Stricken als zu mühsam erwies und stattdessen aus Plastikleinen bestand. Ihr Projekt "Mathghans" (Afghanen für Schulen) führte Stricken in den britischen Lehrplan für Mathematik und Technologie ein.

Mathematik veranschaulichen

Vorderseite Giotto ‚s Stefaneschi Triptych , 1320 zeigt Rekursion .
Detail von Kardinal Stefaneschi mit dem Triptychon

Modellierung ist bei weitem nicht die einzige Möglichkeit, mathematische Konzepte zu veranschaulichen. Giottos Stefaneschi Triptychon , 1320, illustriert Rekursion in Form von Mise en Abyme ; die Mitteltafel des Triptychons enthält unten links die kniende Figur von Kardinal Stefaneschi, die das Triptychon als Opfergabe hochhält. Giorgio de Chirico ‚s metaphysische Gemälde wie sein 1917 Großes Metaphysisches Interieur der Frage der Darstellungsebenen in der Kunst erkunden von Gemälden in seinen Gemälden.

Kunst kann logische Paradoxien veranschaulichen, wie in einigen Gemälden des Surrealisten René Magritte , die als semiotische Witze über die Verwirrung zwischen den Ebenen gelesen werden können. In La condition humaine (1933) stellt Magritte eine Staffelei (auf der echten Leinwand) dar, die nahtlos einen Blick durch ein Fenster unterstützt, das im Gemälde von "echten" Vorhängen eingerahmt wird. In ähnlicher Weise ist Eschers Print Gallery (1956) ein Druck, der eine verzerrte Stadt darstellt, die eine Galerie enthält, die das Bild rekursiv enthält, und so bis ins Unendliche . Magritte Gebrauch gemacht von Kugeln und Quadern zu verzerren der Wirklichkeit in einer anderen Art und Weise, so dass sich neben einer Auswahl von Häusern in seinen 1931 Malerei Kopfrechnen , als ob sie Kinder wurden Bauklötze, aber das Haus groß. The Guardian stellte fest, dass das "unheimliche Spielzeugstadt-Image" die Usurpation "gemütlicher traditioneller Formen " durch die Moderne prophezeite , aber auch mit der menschlichen Tendenz spielt, Muster in der Natur zu suchen .

Diagramm des scheinbaren Paradoxons, das in MC Eschers 1956er Lithographie Print Gallery verkörpert ist , wie von Douglas Hofstadter in seinem 1980 erschienenen Buch Gödel, Escher, Bach . diskutiert

Salvador Dalís letztes Gemälde, das Heck des Swallow (1983), war Teil einer Serie inspiriert von René Thom ‚s Katastrophentheorie . Der spanische Maler und Bildhauer Pablo Palazuelo (1916–2007) konzentrierte sich auf die Erforschung der Form. Er entwickelte einen Stil, den er als Geometrie des Lebens und als Geometrie aller Natur beschrieb. Bestehend aus einfachen geometrischen Formen mit detaillierter Musterung und Farbgebung, drückte sich Palazuelo in Werken wie Angular I und Automnes in geometrischen Transformationen aus.

Der Künstler Adrian Gray praktiziert das Balancieren von Steinen , indem er Reibung und den Schwerpunkt ausnutzt , um markante und scheinbar unmögliche Kompositionen zu schaffen.

Lithographie- Druckgalerie von MC Escher , 1956

Künstler nehmen Geometrie jedoch nicht unbedingt wörtlich. Als Douglas Hofstadter in seinem 1980 Reflexion über das menschliche Denken schreibt, Gödel, Escher, Bach , im Wege der (unter anderem) die Mathematik der Kunst: „Der Unterschied zwischen einem Escher Zeichnung und nicht-euklidischen Geometrie ist , dass im letzteren verständlich Für die undefinierten Begriffe lassen sich Interpretationen finden, die zu einem nachvollziehbaren Gesamtsystem führen, während für erstere das Endergebnis nicht mit dem eigenen Weltbild vereinbar ist, egal wie lange man die Bilder anstarrt." Hofstadter diskutiert die scheinbar paradoxe Lithographie Print Gallery von MC Escher; es zeigt eine Küstenstadt mit einer Kunstgalerie, die ein Gemälde der Küstenstadt zu enthalten scheint, wobei es eine "seltsame Schleife oder verworrene Hierarchie" zu den Realitätsebenen im Bild gibt. Der Künstler selbst, bemerkt Hofstadter, wird nicht gesehen; seine Realität und sein Verhältnis zur Lithographie sind nicht paradox. Die zentrale Leere des Bildes hat auch das Interesse der Mathematiker Bart de Smit und Hendrik Lenstra geweckt , die vorschlagen, dass es eine Droste-Effekt- Kopie von sich selbst enthalten könnte , gedreht und geschrumpft; dies wäre eine weitere Illustration der Rekursion, die über die von Hofstadter angemerkte hinausgeht.

Analyse der Kunstgeschichte

Die algorithmische Analyse von Bildern von Kunstwerken, zum Beispiel mit Röntgenfluoreszenzspektroskopie , kann Informationen über Kunst aufdecken. Solche Techniken können Bilder in Farbschichten freilegen, die später von einem Künstler bedeckt werden; Kunsthistorikern helfen, ein Kunstwerk zu visualisieren, bevor es rissig oder verblasst ist; helfen, eine Kopie von einem Original zu unterscheiden oder den Pinselstrich eines Meisters von dem seiner Lehrlinge zu unterscheiden.

Max Ernst macht Lissajous-Figuren , New York, 1942

Jackson Pollock ‚s Drip Painting - Stil hat eine bestimmte fraktale Dimension ; Unter den Künstlern, die Pollocks kontrolliertes Chaos beeinflusst haben könnten , malte Max Ernst Lissajous-Figuren direkt, indem er einen durchlöcherten Farbeimer über eine Leinwand schwenkte.

Der Informatiker Neil Dodgson untersuchte, ob sich Bridget Rileys Streifenbilder mathematisch charakterisieren ließen, und kam zu dem Schluss, dass während der Trennungsabstand "eine Charakterisierung liefern" konnte und die globale Entropie bei einigen Bildern funktionierte, die Autokorrelation scheiterte, da Rileys Muster unregelmäßig waren. Die lokale Entropie funktionierte am besten und korrelierte gut mit der Beschreibung des Kunstkritikers Robert Kudielka.

Die amerikanische Mathematiker George Birkhoff ‚s 1933 ästhetische Maßnahme schlägt eine quantitative Metrik der ästhetischen Qualität eines Kunstwerkes. Es versucht nicht, die Konnotationen eines Werks zu messen, wie etwa das, was ein Gemälde bedeuten könnte, sondern beschränkt sich auf die "Ordnungselemente" einer polygonalen Figur. Birkhoff kombiniert zunächst (als Summe) fünf solcher Elemente: ob es eine vertikale Symmetrieachse gibt; ob optisches Gleichgewicht besteht; wie viele Rotationssymmetrien es hat; wie tapetenartig die Figur ist; und ob es unbefriedigende Merkmale gibt, wie z. B. das Vorhandensein von zwei Scheitelpunkten zu nahe beieinander. Diese Metrik O nimmt einen Wert zwischen -3 und 7 an. Die zweite Metrik C zählt Elemente der Figur, die für ein Polygon die Anzahl verschiedener gerader Linien ist, die mindestens eine seiner Seiten enthalten. Birkhoff definiert dann sein ästhetisches Maß für die Schönheit eines Objekts als O/C . Dies kann als Balance zwischen der Freude beim Betrachten des Objekts und der Anstrengung interpretiert werden, die erforderlich ist, um es aufzunehmen behauptete, das getan zu haben.

Impulse für die mathematische Forschung

Kunst hat manchmal die Entwicklung der Mathematik stimuliert, wie zum Beispiel als Brunelleschis Theorie der Perspektive in Architektur und Malerei einen Forschungszyklus in Gang setzte, der zu Brook Taylor und Johann Heinrich Lambert über die mathematischen Grundlagen des perspektivischen Zeichnens und schließlich zur Mathematik des projektive Geometrie von Girard Desargues und Jean-Victor Poncelet .

Die japanische Papierfaltkunst des Origami wurde von Tomoko Fusé mit Modulen , deckungsgleichen Papierstücken wie Quadraten, mathematisch überarbeitet und zu Polyedern oder Kacheln verarbeitet. Das Papierfalten wurde 1893 von T. Sundara Rao in seinen Geometrischen Übungen zum Papierfalten verwendet , um geometrische Beweise zu demonstrieren. Die Mathematik des Papierfaltens wurde in Maekawas Theorem , Kawasakis Theorem und den Huzita-Hatori-Axiomen erforscht .

Illusion zur Op-Art

Die Fraser-Spiralillusion , benannt nach Sir James Fraser, der sie 1908 entdeckte.

Optische Täuschungen wie die Fraser-Spirale demonstrieren eindrücklich die Einschränkungen der menschlichen visuellen Wahrnehmung und führen zu dem, was der Kunsthistoriker Ernst Gombrich als "verwirrenden Trick" bezeichnete. Die schwarzen und weißen Seile, die Spiralen zu bilden scheinen, sind in Wirklichkeit konzentrische Kreise . Die Op-Art oder optische Kunst der Malerei und Grafik Mitte des 20. Jahrhunderts nutzte solche Effekte, um den Eindruck von Bewegung und blinkenden oder vibrierenden Mustern zu erzeugen, die in den Werken von Künstlern wie Bridget Riley , Spyros Horemis und Victor Vasarely zu sehen sind .

Heilige Geometrie

Eine Kunstrichtung ab dem antiken Griechenland sieht Gott als Geometer der Welt und damit deren Geometrie als heilig an. Der Glaube, dass Gott das Universum nach einem geometrischen Plan erschaffen hat, hat uralte Ursprünge. Plutarch schrieb den Glauben Platon zu und schrieb, dass "Plato sagte, dass Gott ständig geometrisiert" ( Convivialium disputationum , Liber 8,2). Dieses Bild hat seitdem das westliche Denken beeinflusst. Das platonische Konzept leitete sich wiederum von einer pythagoräischen Vorstellung von Harmonie in der Musik ab, bei der die Noten in perfekten Proportionen angeordnet waren, entsprechend den Längen der Leiersaiten; tatsächlich glaubten die Pythagoräer, dass alles nach Zahl geordnet sei. Ebenso diktieren im platonischen Denken die regelmäßigen oder platonischen Körper die Proportionen, die man in der Natur und in der Kunst findet. Eine Illumination im Codex Vindobonensis aus dem 13. der Tiefe" (Sprüche 8,27), . 1596 modellierte der mathematische Astronom Johannes Kepler das Universum als eine Reihe von verschachtelten platonischen Körpern und bestimmte die relativen Größen der Umlaufbahnen der Planeten. William Blake ‚s Hochbetagten (Darstellung Urizen , Blakes Verkörperung der Vernunft und Rechts) und seine Malerei des Physikers Isaac Newton , nackt, gebeugt und mit einem Kompass zeichnen, verwenden Sie die Symbolik der Kompasse konventionelle Vernunft und Materialismus als Schmal- zur Kritik bedacht. Salvador Dalís Kreuzigung von 1954 (Corpus Hypercubus) zeigt das Kreuz als Hyperwürfel , der die göttliche Perspektive mit vier Dimensionen anstelle der üblichen drei darstellt. In Dalís Das Sakrament des letzten Abendmahls (1955) sind Christus und seine Jünger in einem riesigen Dodekaeder abgebildet .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links