Maximal ideal - Maximal ideal

In der Mathematik , genauer gesagt in der Ringtheorie , ist ein maximales Ideal ein Ideal , das unter allen echten Idealen maximal ist (in Bezug auf die Mengeninklusion ) . Mit anderen Worten, I ist ein maximales Ideal eines Rings R, wenn zwischen I und R keine anderen Ideale enthalten sind .

Maximale Ideale sind wichtig, weil die Quotienten von Ringen durch maximale Ideale einfache Ringe sind , und im Spezialfall unitaler kommutativer Ringe auch Körper .

In der nichtkommutativen Ringtheorie wird ein maximales rechtes Ideal analog als maximales Element im Poset von echten rechten Idealen definiert, und in ähnlicher Weise wird ein maximales linkes Ideal als maximales Element des Poset von echten linken Idealen definiert. Da ein einseitiges maximales Ideal A nicht unbedingt zweiseitig ist, ist der Quotient R / A nicht unbedingt ein Ring, sondern ein einfacher Modul über R . Wenn R ein eindeutiges maximales Rechtsideal hat, dann ist R als lokaler Ring bekannt , und das maximale Rechtsideal ist auch das eindeutige maximale linke und eindeutige maximale zweiseitige Ideal des Rings, und zwar das Jacobson-Radikal J( R ).

Es ist möglich, dass ein Ring ein einzigartiges maximales zweiseitiges Ideal hat und dennoch keine eindeutigen maximalen einseitigen Ideale hat: zum Beispiel im Ring von 2 mal 2 quadratischen Matrizen über einem Körper ist das Nullideal ein maximales zweiseitiges Ideal , aber es gibt viele maximale rechte Ideale.

Definition

Es gibt andere äquivalente Möglichkeiten, die Definition maximaler einseitiger und maximaler zweiseitiger Ideale auszudrücken. Gegeben ein Ring R und ein echtes Ideal I von R (also IR ), ist I ein maximales Ideal von R, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Es gibt keine andere richtige ideal J von R , so dass ichJ .
  • Für jedes ideale J mit IJ ist entweder J = I oder J = R .
  • Der Quotientenring R / I ist ein einfacher Ring.

Für einseitige Ideale gibt es eine analoge Liste, für die nur die rechten Versionen angegeben werden. Für ein Rechtsideal A eines Rings R sind die folgenden Bedingungen äquivalent dazu, dass A ein maximales Rechtsideal von R ist :

  • Es gibt kein anderes richtiges Rechtsideal B von R , so dass AB .
  • Für jedes rechte Ideal B mit AB ist entweder B = A oder B = R .
  • Der Quotientenmodul R / A ist ein einfacher rechter R -Modul.

Maximale rechte/linke/zweiseitige Ideale sind die duale Vorstellung von minimalen Idealen .

Beispiele

  • Wenn F ein Körper ist, dann ist das einzige maximale Ideal {0}.
  • Im Ring Z der ganzen Zahlen sind die maximalen Ideale die Hauptideale, die von einer Primzahl erzeugt werden.
  • Allgemeiner gesagt sind alle von Null verschiedenen Primideale maximal in einem Hauptidealbereich .
  • Das Ideal ist ein maximales Ideal im Ring . Im Allgemeinen haben die maximalen Ideale von die Form wo eine Primzahl und ein Polynom ist, in dem es modulo irreduzibel ist .
  • Jedes Primideal ist ein maximales Ideal in einem Booleschen Ring, dh einem Ring, der nur aus idempotenten Elementen besteht. Tatsächlich ist jedes Primideal in einem kommutativen Ring immer dann maximal, wenn es eine ganze Zahl gibt, so dass für any .
  • Die maximalen Ideale des Polynomrings sind Hauptideale, die von für einige erzeugt werden .
  • Allgemeiner ausgedrückt sind die maximalen Ideale des Polynomrings K [ x 1 , ..., x n ] über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K die Ideale der Form ( x 1  −  a 1 , ..., x n  −  a n ) . Dieses Ergebnis wird als schwacher Nullstellensatz bezeichnet .

Eigenschaften

  • Ein wichtiges Ideal des Rings, das Jacobson-Radikal genannt wird, kann unter Verwendung von maximalen rechten (oder maximalen linken) Idealen definiert werden.
  • Wenn R ein unitaler kommutativer Ring mit einem Ideal m ist , dann ist k = R / m genau dann ein Körper, wenn m ein maximales Ideal ist. In diesem Fall wird R / m als Restfeld bezeichnet . Diese Tatsache kann bei nicht-unitalen Ringen fehlschlagen. Zum Beispiel ist ein maximales Ideal in , aber kein Körper.
  • Ist L ein maximales Linksideal, dann ist R / L ein einfacher linker R -Modul. Umgekehrt entsteht in Ringen mit Eins jeder einfache linke R -Modul auf diese Weise. Dies zeigt übrigens, dass eine Sammlung von Repräsentanten einfacher linker R- Module tatsächlich eine Menge ist, da sie mit einem Teil der Menge der maximalen linken Ideale von R in Übereinstimmung gebracht werden kann .
  • Satz von Krull (1929): Jeder von Null verschiedene unitale Ring hat ein maximales Ideal. Das Ergebnis ist auch wahr, wenn "Ideal" durch "Rechts-Ideal" oder "Links-Ideal" ersetzt wird. Allgemeiner gesagt gilt, dass jedes endlich erzeugte Modul ungleich nulleinen maximalen Untermodul hat. Angenommen, I ist ein Ideal, das nicht R ist (bzw. A ist ein richtiges Ideal, das nicht R ist ). Dann ist R / I ein Ring mit Eins (bzw. R / A ist ein endlich erzeugter Modul), und so können die obigen Sätze auf den Quotienten angewendet werden, um zu schließen, dass es ein maximales Ideal (bzw. maximales Rechtsideal) von R . gibt mit I (bzw. A ).
  • Der Satz von Krull kann für Ringe ohne Einheit versagen. Ein Radikalring , dh ein Ring, bei dem das Jacobson-Radikal der gesamte Ring ist, hat keine einfachen Module und somit keine maximalen Rechts- oder Linksideale. Siehe regelmäßige Ideale für mögliche Wege, dieses Problem zu umgehen.
  • In einem kommutativen Ring mit Eins ist jedes maximale Ideal ein Primideal . Das Umgekehrte gilt nicht immer: zum Beispiel ist in jedem Nichtfeld- Integralbereich das Nullideal ein Primideal, das nicht maximal ist. Kommutative Ringe, in denen Primideale maximal sind, werden als nulldimensionale Ringe bezeichnet , wobei die verwendete Dimension die Krull-Dimension ist .
  • Ein maximales Ideal eines nichtkommutativen Rings ist möglicherweise keine Primzahl im kommutativen Sinne. Sei zum Beispiel der Ring aller Matrizen über . Dieser Ring hat ein maximales Ideal für jede Primzahl , aber dies ist kein Primideal, da (in dem Fall ) und nicht in , aber sind . Maximale Ideale nichtkommutativer Ringe sind jedoch im folgenden verallgemeinerten Sinne prim .

Verallgemeinerung

Für einen R -Modul A eine maximale Submodul M von A ist ein Submodul MA die Eigenschaft erfüllt , dass für jede andere Submodul N , MNA bedeutet N = M oder N = A . Äquivalent ist M genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Quotientenmodul A / M ein einfacher Modul ist . Die maximalen Rechtsideale eines Rings R sind genau die maximalen Untermodule des Moduls R R .

Im Gegensatz zu Ringen mit Eins hat ein Nicht-Null-Modul nicht unbedingt maximale Untermodule. Jedoch haben, wie oben angemerkt, endlich erzeugte Nicht-Null-Module maximale Untermodule und auch projektive Module haben maximale Untermodule.

Wie bei Ringen kann man den Rest eines Moduls durch maximale Untermodule definieren. Darüber hinaus können maximale Ideale verallgemeinert werden, indem ein maximaler Sub-Bimodul M eines Bimoduls B als echter Sub-Bimodul von M definiert wird, der in keinem anderen echten Sub-Bimodul von M enthalten ist . Die maximalen Ideale von R sind dann genau die maximalen Sub-Bimodule des Bimoduls R R R .

Verweise