Kreismittelwert - Circular mean

In Mathematik und Statistik ist ein kreisförmiger Mittelwert oder Winkelmittelwert ein Mittelwert, der für Winkel und ähnliche zyklische Größen wie Tageszeiten und Bruchteile von reellen Zahlen bestimmt ist . Dies ist notwendig, da die meisten der üblichen Mittel für winkelähnliche Größen möglicherweise nicht geeignet sind. Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel von 0° und 360° 180°, was irreführend ist, da 360° gleich 0° modulo eines vollen Zyklus ist. Als weiteres Beispiel ist die "durchschnittliche Zeit" zwischen 23:00 Uhr und 1:00 Uhr entweder Mitternacht oder Mittag, je nachdem, ob die beiden Zeiten Teil einer einzigen Nacht oder Teil eines einzelnen Kalendertages sind. Der zirkuläre Mittelwert ist eines der einfachsten Beispiele für die zirkuläre Statistik und die Statistik nichteuklidischer Räume .

Definition

Da der arithmetische Mittelwert für Winkel nicht immer geeignet ist, kann mit folgendem Verfahren sowohl ein Mittelwert als auch ein Maß für die Varianz der Winkel erhalten werden:

Wandeln Sie alle Winkel in entsprechende Punkte auf dem Einheitskreis um , zB in . Konvertieren Sie also Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten . Berechnen Sie dann das arithmetische Mittel dieser Punkte. Der resultierende Punkt liegt innerhalb der Einheitsscheibe. Wandeln Sie diesen Punkt wieder in Polarkoordinaten um. Der Winkel ist ein vernünftiger Mittelwert der Eingabewinkel. Der resultierende Radius ist 1, wenn alle Winkel gleich sind. Wenn die Winkel gleichmäßig auf dem Kreis verteilt sind, ist der resultierende Radius 0 und es gibt keinen Kreismittelwert. (Tatsächlich ist es unmöglich, eine kontinuierliche Mittelwertoperation auf dem Kreis zu definieren .) Mit anderen Worten, der Radius misst die Konzentration der Winkel. ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle (\cos\alpha,\sin\alpha)}$

Bei gegebenen Winkeln lautet eine übliche Mittelwertformel mit der atan2- Variante der Arkustangensfunktion${\displaystyle \alpha_{1},\dots,\alpha_{n}}$

${\displaystyle {\bar {\alpha}}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha_{j} ,{\frac{1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha_{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1 }^{n}\sin\alpha_{j},\sum_{j=1}^{n}\cos\alpha_{j}\right)}$

oder mit komplexen Zahlen :

${\displaystyle {\bar{\alpha}}=\arg\left(\sum_{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha_{j})\right)}$

Um die obige Herleitung mit arithmetischen Mittelwerten abzugleichen, müssten die Summen durch geteilt werden . Doch unabhängig von der Skalierung nicht für und , es kann also verzichtet werden. ${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {atan2} }$${\displaystyle \arg}$

Diese Berechnung ergibt ein anderes Ergebnis als das arithmetische Mittel, wobei die Differenz größer ist, wenn die Winkel weit verteilt sind. Beispielsweise beträgt das arithmetische Mittel der drei Winkel 0°, 0° und 90° (0+0+90)/3 = 30°, aber das vektorielle Mittel beträgt 26,565°. Außerdem ist mit dem arithmetischen Mittel die Kreisvarianz nur ±180° definiert.

Eigenschaften

Das kreisförmige Mittel ${\displaystyle {\bar {\alpha}}}$

• maximiert die Wahrscheinlichkeit des mittleren Parameters der von Mises-Verteilung und
• minimiert die Summe einer bestimmten Distanz auf dem Kreis, genauer gesagt

${\displaystyle {\bar {\alpha}}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha_{j},\beta ),{\text{ wobei }}d(\varphi,\beta)=1-\cos(\varphi -\beta).}$

Der Abstand ist gleich der Hälfte des quadrierten euklidischen Abstands zwischen den beiden Punkten auf dem Einheitskreis, der mit und verbunden ist .${\displaystyle d(\varphi,\beta)}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle \beta}$

Beispiel

Eine einfache Möglichkeit, den Mittelwert einer Reihe von Winkeln (im Intervall [0°, 360°)) zu berechnen, besteht darin, den Mittelwert der Kosinus und Sinus jedes Winkels zu berechnen und den Winkel durch Berechnung des inversen Tangens zu erhalten. Betrachten Sie die folgenden drei Winkel als Beispiel: 10, 20 und 30 Grad. Intuitiv würde die Berechnung des Mittelwerts das Addieren dieser drei Winkel und das Teilen durch 3 beinhalten, was in diesem Fall tatsächlich zu einem korrekten mittleren Winkel von 20 Grad führt. Durch Drehen dieses Systems um 15 Grad gegen den Uhrzeigersinn werden die drei Winkel 355 Grad, 5 Grad und 15 Grad. Der naive Mittelwert beträgt jetzt 125 Grad, was die falsche Antwort ist, da es 5 Grad sein sollte. Der Vektormittelwert kann wie folgt berechnet werden, indem der mittlere Sinus und der mittlere Kosinus verwendet werden : ${\textstyle {\bar {\theta}}}$${\textstyle {\bar{s}}}$${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$

${\displaystyle {\bar{s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ})+\sin(5^{\circ})+\sin(15^{ \circ}))={\frac {1}{3}}(-0,087+0,087+0,259)\approx 0,086}$

${\displaystyle {\bar{c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ})+\cos(5^{\circ})+\cos(15^{ \circ}))={\frac {1}{3}}(0,996+0,996+0,966)\approx 0,986}$

${\displaystyle {\bar {\theta}}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar{s}}{\bar {c}}}\right)&{\ bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar{s}}{\bar {c}}}\right)+180^{ \circ }&{\bar{c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar{s}}{\bar{c}}}\right)+360^{\circ}&{ \bar {s}}<0,\ {\bar{c}}>0\end{Fälle}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\ arctan(0.087)=5^{\circ}.}$

Dies kann prägnanter ausgedrückt werden, indem man erkennt, dass Richtungsdaten tatsächlich Vektoren einer Einheitslänge sind. Im Fall von eindimensionalen Daten können diese Datenpunkte bequem als komplexe Zahlen der Einheitsgröße dargestellt werden , wobei der gemessene Winkel ist. Der mittlere resultierende Vektor für die Stichprobe ist dann: ${\displaystyle z=\cos(\theta)+i\,\sin(\theta)=e^{i\theta}}$${\displaystyle\theta}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf{\rho}}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

Der mittlere Abtastwinkel ist dann das Argument der mittleren Resultierenden:

${\displaystyle {\overline {\theta}}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho}}}).}$

Die Länge des resultierenden Vektors des Stichprobenmittelwerts ist:

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho} }}|}$

und hat einen Wert zwischen 0 und 1. Somit kann der resultierende Vektor des Stichprobenmittelwerts wie folgt dargestellt werden:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho}}}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta}}}.}$

Ähnliche Berechnungen werden auch verwendet, um die zirkuläre Varianz zu definieren .

Siehe auch

• Kreisförmige Verteilung
• Zirkuläre Standardabweichung
• Richtungsstatistiken
• Schwerpunkt
• Massezentrum

Verweise

Weiterlesen

Jammalamadaka, S. Rao und SenGupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics , Abschnitt 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN  981-02-3778-2

Externe Links

• Circular Values ​​Math and Statistics mit C++11 , Eine C++11-Infrastruktur für zirkuläre Werte (Winkel, Uhrzeit usw.) Mathematik und Statistik