Messen (Mathematik) - Measure (mathematics)
Messen ist ein grundlegender Begriff der Mathematik . Maße bieten eine mathematische Abstraktion für gängige Begriffe wie Masse , Entfernung / Länge , Fläche , Volumen , Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und – nach einigen Anpassungen – elektrische Ladung . Diese scheinbar unterschiedlichen Konzepte sind von Natur aus sehr ähnlich und können in vielen Fällen als mathematisch nicht unterscheidbar behandelt werden. Messungen sind die Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie . In der Quantenphysik und in der Physik im Allgemeinen werden weitreichende Verallgemeinerungen von Maßen verwendet .
Die Intuition hinter diesem Konzept stammt aus dem antiken Griechenland, als Archimedes versuchte, die Fläche eines Kreises zu berechnen. Aber erst im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert wurde die Maßtheorie zu einem Zweig der Mathematik. Die Grundlagen der modernen Maßtheorie wurden unter anderem in den Werken von Émile Borel , Henri Lebesgue , Johann Radon , Constantin Carathéodory und Maurice Fréchet gelegt .
Definition
Lassen X eine Menge und Σ eine σ -Algebra über X . Eine Funktion μ von Σ zum erweiterten reellen Zahlenstrahl heißt Maß, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:
- Nicht-Negativität : Für alle E in Σ gilt μ ( E ) 0 .
- Null leere Menge : .
-
Abzählbar additiv (oder σ -additivity ): Für alle zählbaren Sammlungen von paarweise disjunkten Mengen in Σ,
Wenn mindestens eine Menge endliches Maß hat, dann wird die Anforderung automatisch erfüllt. Durch zählbare Additivität,
und deshalb
Wenn die Nicht-Negativitätsbedingung weggelassen wird, aber die zweite und dritte dieser Bedingungen erfüllt sind und μ höchstens einen der Werte ±∞ annimmt , dann wird μ als vorzeichenbehaftetes Maß bezeichnet .
Das Paar ( X , Σ) heißt ein messbarer Raum , die Mitglieder von Σ heißen messbare Mengen . Wenn und zwei Messräume sind, dann wird eine Funktion aufgerufen werden messbar , wenn für jeden Y -messbar Satz , das Urbild ist X meßbar - dh: . In diesem Setup ist die Zusammensetzung der messbaren Funktionen messbar, was die messbaren Räume und die messbaren Funktionen zu einer Kategorie macht , mit den messbaren Räumen als Objekten und der Menge der messbaren Funktionen als Pfeile. Siehe auch Messbare Funktion § Variationen der Begriffsverwendung zu einem anderen Setup.
Ein Tripel ( X , Σ, μ ) heißt Maßraum . Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß mit Gesamtmaß eins – dh μ ( X ) = 1 . Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß.
Für Maßräume, die auch topologische Räume sind, können verschiedene Kompatibilitätsbedingungen für Maß und Topologie aufgestellt werden. Die meisten in der Analyse (und in vielen Fällen auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie ) in der Praxis getroffenen Maßzahlen sind Radonmaße . Radon Maßnahmen haben eine alternative Definition in Bezug auf der linearen Funktionale auf dem lokalkonvexer Raum von stetigen Funktionen mit kompaktem Träger . Diesen Ansatz verfolgen Bourbaki (2004) und eine Reihe anderer Quellen. Weitere Details finden Sie im Artikel zu Radon-Maßnahmen .
Instanzen
Einige wichtige Maßnahmen sind hier aufgeführt.
- Die Zählmaß ist definiert durch μ ( S ) = Anzahl der Elemente in S .
- Das Lebesgue-Maß auf ℝ ist ein vollständiges translationsinvariantes Maß auf einer σ- Algebra , die die Intervalle in ℝ enthält, so dass μ ([0, 1]) = 1 ; und jedes andere Maß mit diesen Eigenschaften erweitert das Lebesgue-Maß.
- Das Kreiswinkelmaß ist bei Rotation invariant , und das hyperbolische Winkelmaß ist bei Squeeze Mapping invariant .
- Das Haar-Maß für eine lokal kompakte topologische Gruppe ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes (und auch des Zählmaßes und Kreiswinkelmaßes) und hat ähnliche Eindeutigkeitseigenschaften.
- Das Hausdorff-Maß ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maß auf Mengen mit nicht ganzzahliger Dimension, insbesondere fraktale Mengen.
- Jeder Wahrscheinlichkeitsraum führt zu einem Maß, das auf dem gesamten Raum den Wert 1 annimmt (und daher alle seine Werte im Einheitsintervall [0, 1] annimmt ). Ein solches Maß wird Wahrscheinlichkeitsmaß genannt . Siehe Wahrscheinlichkeitsaxiome .
- Das Dirac-Maß δ a (vgl. Dirac-Deltafunktion ) ist gegeben durch δ a ( S ) = χ S (a), wobei χ S die Indikatorfunktion von S ist . Das Maß einer Menge ist 1, wenn sie den Punkt a enthält, andernfalls 0.
Andere "benannte" Maße, die in verschiedenen Theorien verwendet werden, sind: Borel-Maß , Jordan-Maß , Ergod-Maß , Euler-Maß , Gauß-Maß , Baire-Maß , Radon-Maß , Young-Maß und Loeb-Maß .
In der Physik ist ein Beispiel für ein Maß eine räumliche Massenverteilung (siehe zB Gravitationspotential ) oder eine andere nicht negative extensive Eigenschaft , konserviert (siehe Erhaltungssatz für eine Liste davon) oder nicht. Negative Werte führen zu vorzeichenbehafteten Maßen, siehe unten "Verallgemeinerungen".
- Das Liouville-Maß , auch als natürliche Volumenform auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit bekannt, ist in der klassischen statistischen und Hamiltonschen Mechanik nützlich.
- Das Gibbs-Maß wird in der statistischen Mechanik häufig unter dem Namen kanonisches Ensemble verwendet .
Grundeigenschaften
Sei μ ein Maß.
Monotonie
Wenn E 1 und E 2 messbare Mengen mit E 1 ⊆ E 2 sind, dann
Maß für zählbare Vereinigungen und Schnittmengen
Subadditivität
Für jede abzählbare Folge E 1 , E 2 , E 3 , ... von (nicht unbedingt disjunkten) messbaren Mengen E n in :
Kontinuität von unten
Sind E 1 , E 2 , E 3 , ... messbare Mengen und für alle n , dann ist die Vereinigung der Mengen E n messbar, und
Kontinuität von oben
Wenn E 1 , E 2 , E 3 , ... sind meßbaren Mengen und, für alle n , dann wird der Schnittpunkt der Sätze E n meßbar ist; außerdem, wenn mindestens eines der E n endliches Maß hat, dann
Diese Eigenschaft ist ohne die Annahme falsch, dass mindestens eines der E n ein endliches Maß hat. Zum Beispiel, für jedes n ∈ N , lassen E n = [ n , ∞) ⊂ R , die alle unendlich Lebesguemaß haben, aber der Schnitt ist leer.
Andere Eigenschaften
Vollständigkeit
Eine messbare Menge X heißt Nullmenge, wenn μ ( X ) = 0 ist . Eine Teilmenge einer Nullmenge wird als vernachlässigbare Menge bezeichnet . Eine vernachlässigbare Menge muss nicht messbar sein, aber jede messbare vernachlässigbare Menge ist automatisch eine Nullmenge. Ein Maß heißt vollständig, wenn jede vernachlässigbare Menge messbar ist.
Ein Maß kann zu einem vollständigen erweitert werden, indem man die σ-Algebra von Teilmengen Y betrachtet, die sich um eine vernachlässigbare Menge von einer messbaren Menge X unterscheiden , d. h. derart, dass die symmetrische Differenz von X und Y in einer Nullmenge enthalten ist. Man definiert μ ( Y ) gleich μ ( X ) .
μ{x : f(x)≥t}=μ{x : f(x)>t} (ae)
Wenn die -messbare Funktion Werte annimmt, dann
für fast alle in Bezug auf die Lebesgue-Maßnahme . Diese Eigenschaft wird in Verbindung mit dem Lebesgue-Integral verwendet .
Nachweisen. |
Beide und sind monoton nicht ansteigende Funktionen von, so dass beide relativ zum Lebesgue-Maß fast überall stetig sind. Wenn für alle , dann durch Additivität und Nicht-Negativität, nach Bedarf. Wenn es im Gegenteil für einige eine Eindeutigkeit gibt, so dass diese Funktion links von unendlich ist (was nur passieren kann, wenn und endlich rechts. Argumentieren wie oben, wenn Für LET zu eine monoton nicht abnehmende Sequenz konvergierenden wird The monoton nicht-wachsende Folge von -messbar Sätzen mindestens ein endlich -messbar Element und Kontinuität von oben zeigt das Die rechte Seite ist dann gleich wenn ein Stetigkeitspunkt ist. |
Additiv
Maßnahmen müssen abzählbar additiv sein. Die Bedingung kann jedoch wie folgt verstärkt werden. Definiere für jede Menge und jede Menge von nichtnegativen :
Das heißt, wir definieren die Summe der als die Supremum aller Summen von endlich vielen von ihnen.
Ein Maß auf ist -additiv, wenn für eine beliebige Familie von Disjunkten folgendes gilt:
Beachten Sie, dass die zweite Bedingung äquivalent zu der Aussage ist, dass das Ideal von Nullmengen -vollständig ist.
Sigma-endliche Maßnahmen
Ein Maßraum ( X , Σ, μ ) heißt endlich, wenn μ ( X ) eine endliche reelle Zahl (statt ∞) ist. Finite Maße ungleich Null sind den Wahrscheinlichkeitsmaßen in dem Sinne analog , dass jedes endliche Maß μ proportional zum Wahrscheinlichkeitsmaß ist . Ein Maß μ heißt σ-endlich, wenn X in eine abzählbare Vereinigung messbarer Mengen endlicher Maße zerlegt werden kann. Analog heißt eine Menge in einem Maßraum ein σ-endliches Maß, wenn es sich um eine abzählbare Vereinigung von Mengen mit endlichem Maß handelt.
Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem Standard- Lebesgue-Maß σ-endlich, aber nicht endlich. Betrachten Sie die geschlossenen Intervalle [ k , k +1] für alle ganzen Zahlen k ; es gibt abzählbar viele solcher Intervalle, jedes hat den Takt 1 und ihre Vereinigung ist die gesamte reelle Linie. Betrachten Sie alternativ die reellen Zahlen mit dem Zählmaß , das jeder endlichen Menge von reellen Zahlen die Anzahl der Punkte in der Menge zuweist. Dieser Maßraum ist nicht σ-endlich, weil jede Menge mit endlichem Maß nur endlich viele Punkte enthält und es unzählig viele solcher Mengen braucht, um die gesamte reelle Gerade abzudecken. Die σ-endlichen Maßräume haben einige sehr praktische Eigenschaften; σ-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Lindelöf-Eigenschaft topologischer Räume verglichen werden. Sie können auch als eine vage Verallgemeinerung der Idee angesehen werden, dass ein Maßraum „unzählbare Maße“ haben kann.
s-endliche Maße
Ein Maß heißt s-endlich, wenn es eine abzählbare Summe von beschränkten Maßen ist. S-endliche Maße sind allgemeiner als sigma-endliche und haben Anwendungen in der Theorie stochastischer Prozesse .
Nicht messbare Sätze
Wenn das Auswahlaxiom als wahr angenommen wird, kann bewiesen werden , dass nicht alle Teilmengen von euklidischen Raum sind Lebesgue messbar ; Beispiele für solche Mengen umfassen die Vitali-Menge und die nicht messbaren Mengen, die vom Hausdorff-Paradoxon und dem Banach-Tarski-Paradoxon postuliert werden .
Verallgemeinerungen
Für bestimmte Zwecke ist es nützlich, ein "Maß" zu haben, dessen Werte nicht auf die nicht-negativen reellen Zahlen oder die Unendlichkeit beschränkt sind. Zum Beispiel wird eine abzählbar additive Mengenfunktion mit Werten in den (vorzeichenbehafteten) reellen Zahlen als vorzeichenbehaftetes Maß bezeichnet , während eine solche Funktion mit Werten in den komplexen Zahlen als komplexes Maß bezeichnet wird . Maßnahmen, die in Banach-Räumen Werte annehmen, wurden ausführlich untersucht. Ein Maß, das Werte in der Menge selbstadjungierter Projektionen auf einem Hilbert-Raum annimmt, wird projektionsbewertetes Maß genannt ; diese werden in der Funktionalanalyse für den Spektralsatz verwendet . Wenn es notwendig ist, die üblichen Maße, die nicht-negative Werte annehmen, von Verallgemeinerungen zu unterscheiden, wird der Begriff positives Maß verwendet. Positive Maße sind unter konischer Kombination geschlossen, aber nicht unter allgemeiner Linearkombination , während vorzeichenbehaftete Maße der lineare Abschluss positiver Maße sind.
Eine weitere Verallgemeinerung ist das endlich additive Maß , auch Inhalt genannt . Dies ist dasselbe wie ein Maß, außer dass wir statt abzählbarer Additivität nur endliche Additivität benötigen . Historisch wurde diese Definition zuerst verwendet. Es zeigt sich, dass im Allgemeinen endlich additive Maße mit Begriffen wie Banach-Grenzen , dem Dual von L ∞ und der Stone-Čech-Kompaktifikation verbunden sind . All dies ist auf die eine oder andere Weise mit dem Auswahlaxiom verknüpft . Die Inhalte bleiben bei bestimmten technischen Problemen der geometrischen Maßtheorie nützlich ; Dies ist die Theorie der Banach-Maßnahmen .
Eine Ladung ist eine Verallgemeinerung in beide Richtungen: sie ist ein endlich additives, vorzeichenbehaftetes Maß.
Siehe auch
- Abelian von Neumann Algebra
- Fast überall
- Erweiterungssatz von Carathéodory
- Inhalt (Maßtheorie)
- Satz von Fubini
- Fatous Lemma
- Fuzzy-Maß-Theorie
- Geometrische Maßtheorie
- Hausdorff-Maßnahme
- Inneres Maß
- Lebesgue-Integration
- Lebesgue-Maßnahme
- Lorentz-Raum
- Hebetheorie
- Messbarer Kardinal
- Messbare Funktion
- Minkowski-Inhalte
- Äußeres Maß
- Produktmaß
- Vorschubmaßnahme
- Regelmäßige Maßnahme
- Vektormaß
- Bewertung (Maßtheorie)
- Volumenform
Verweise
Literaturverzeichnis
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Externe Links
- "Measure" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
- Tutorial: Maßtheorie für Dummies