Messbare Funktion - Measurable function

In der Mathematik und insbesondere der Maßtheorie ist eine messbare Funktion eine Funktion zwischen den zugrunde liegenden Mengen zweier messbarer Räume , die die Struktur der Räume bewahrt: Das Urbild jeder messbaren Menge ist messbar. Dies steht in direkter Analogie zu der Definition, dass eine stetige Funktion zwischen topologischen Räumen die topologische Struktur bewahrt : Das Urbild jeder offenen Menge ist offen. In der realen Analysis werden bei der Definition des Lebesgue-Integrals messbare Funktionen verwendet . In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine messbare Funktion auf einem Wahrscheinlichkeitsraum als Zufallsvariable bezeichnet .

Formale Definition

Seien und messbare Räume, was bedeutet, dass und Mengen sind, die mit entsprechenden -Algebren ausgestattet sind und eine Funktion messbar ist, wenn für jeden das Urbild von under in ist ; das heißt für alle${\displaystyle (X,\Sigma)}$${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \mathrm {T} .}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle E\in\mathrm {T}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle E\in\mathrm {T}}$

Das heißt, wo ist die von f erzeugte σ-Algebra . Wenn eine messbare Funktion ist, schreiben wir ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$${\displaystyle \sigma (f)}$${\displaystyle f:X\to Y}$

um die Abhängigkeit von den -Algebren zu betonen und${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \mathrm {T} .}$

Variationen der Begriffsverwendung

Die Wahl von -Algebren in der obigen Definition ist manchmal implizit und wird dem Kontext überlassen. Für oder andere topologische Räume ist beispielsweise die Borel-Algebra (die alle offenen Mengen enthält) eine gängige Wahl. Einige Autoren definieren messbare Funktionen als ausschließlich reellwertige Funktionen in Bezug auf die Borel-Algebra. ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle\mathbb{R},}$ ${\displaystyle\mathbb{C},}$

Liegen die Werte der Funktion in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum , existieren andere nicht äquivalente Definitionen der Messbarkeit, wie z. B. schwache Messbarkeit und Bochner-Messbarkeit .

Bemerkenswerte Klassen messbarer Funktionen

• Zufallsvariablen sind per Definition messbare Funktionen, die auf Wahrscheinlichkeitsräumen definiert sind.
• Wenn und sind Borel-Räume , wird eine messbare Funktion auch Borel-Funktion genannt . Stetige Funktionen sind Borel-Funktionen, aber nicht alle Borel-Funktionen sind stetig. Eine messbare Funktion ist jedoch fast eine stetige Funktion; siehe Satz von Luzin . Wenn eine Borel-Funktion zufällig ein Abschnitt einer Karte ist , wird sie als Borel-Abschnitt bezeichnet .${\displaystyle (X,\Sigma)}$${\displaystyle (Y,T)}$${\displaystyle f:(X,\Sigma)\to (Y,T)}$${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$
• Eine messbare Lebesgue- Funktion ist eine messbare Funktion, wobei die -Algebra von Lebesgue-messbaren Mengen und die Borel-Algebra auf den komplexen Zahlen ist Lebesgue-messbare Funktionen sind für die mathematische Analyse von Interesse, weil sie integriert werden können. Im Fall ist Lebesgue messbar, wenn für alle messbar Dies ist auch gleichbedeutend damit, dass für alle messbar ist oder das Urbild einer offenen Menge messbar ist. Stetige Funktionen, monotone Funktionen, Stufenfunktionen, halbstetige Funktionen, Riemann-integrierbare Funktionen und Funktionen beschränkter Variation sind alle nach Lebesgue messbar. Eine Funktion ist messbar, wenn Real- und Imaginärteil messbar sind.${\displaystyle f:(\mathbb{R},{\mathcal{L}})\to (\mathbb{C},{\mathcal{B}}_{\mathbb{C}}),}$${\displaystyle {\mathcal{L}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal{B}}_{\mathbb{C}}}$ ${\displaystyle\mathbb{C}.}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{R},}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f>\alpha\}=\{x\in X:f(x)>\alpha\}}$${\displaystyle\alpha\in\mathbb{R}.}$${\displaystyle \{f\geq \alpha\},\{f<\alpha\},\{f\leq \alpha\}}$${\displaystyle\alpha,}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{C}}$

Eigenschaften messbarer Funktionen

• Die Summe und das Produkt zweier komplexwertiger messbarer Funktionen sind messbar. Ebenso der Quotient, solange keine Division durch Null erfolgt.
• Wenn und sind messbare Funktionen, dann ist es auch ihre Zusammensetzung${\displaystyle f:(X,\Sigma_{1})\to (Y,\Sigma_{2})}$${\displaystyle g:(Y,\Sigma_{2})\to (Z,\Sigma_{3})}$${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma_{1})\to (Z,\Sigma_{3}).}$
• Wenn und messbare Funktionen sind, muss ihre Zusammensetzung nicht messbar sein, es sei denn, tatsächlich können zwei nach Lebesgue messbare Funktionen so konstruiert werden, dass ihre Zusammensetzung nicht nach Lebesgue messbar ist.${\displaystyle f:(X,\Sigma_{1})\to (Y,\Sigma_{2})}$${\displaystyle g:(Y,\Sigma_{3})\to (Z,\Sigma_{4})}$${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$${\displaystyle (\Sigma_{1},\Sigma_{4})}$${\displaystyle \Sigma_{3}\subseteq\Sigma_{2}.}$
• Das (punktweise) Supremum , Infimum , Limit superior und Limit Inferior einer Folge (dh abzählbar viele) reellwertiger messbarer Funktionen sind alle ebenfalls messbar.
• Der punktweise Grenzwert einer Folge von messbaren Funktionen ist messbar, wobei ein metrischer Raum (mit der Borelschen Algebra ausgestattet) ist. Dies gilt im Allgemeinen nicht, wenn nicht metrisierbar ist. Beachten Sie, dass die entsprechende Aussage für stetige Funktionen stärkere Bedingungen erfordert als die punktweise Konvergenz, wie etwa die gleichmäßige Konvergenz.${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

Nicht messbare Funktionen

In Anwendungen angetroffene reellwertige Funktionen sind in der Regel messbar; es ist jedoch nicht schwer, die Existenz nicht messbarer Funktionen zu beweisen. Solche Beweise stützen sich im Wesentlichen auf das Auswahlaxiom , in dem Sinne, dass die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ohne das Auswahlaxiom die Existenz solcher Funktionen nicht beweist.

In jedem Maßraum mit einer nicht messbaren Menge kann man eine nicht messbare Indikatorfunktion konstruieren : ${\displaystyle (X,\Sigma)}$ ${\displaystyle A\subset X,}$ ${\displaystyle A\notin\Sigma,}$

wo ist mit der üblichen Borel-Algebra ausgestattet . Dies ist eine nicht messbare Funktion, da das Urbild der messbaren Menge das nicht messbare ist${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle A.}$  

Als weiteres Beispiel ist jede nichtkonstante Funktion in Bezug auf die triviale -Algebra nicht messbar, da das Urbild eines beliebigen Punktes im Bereich eine echte, nichtleere Teilmenge ist, von der kein Element der trivialen${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \Sigma.}$

Siehe auch

• Bochner messbare Funktion
• Bochner-Raum
• Lp-Raum  – Funktionsräume, die endlichdimensionale p-Normräume verallgemeinern – Vektorräume messbarer Funktionen: die

Räume${\displaystyle L^{p}}$

Maßerhaltendes dynamisches System  – Studienfach Ergodik

Vektormaß

Schwach messbare Funktion

Anmerkungen

Externe Links

• Messbare Funktion bei Encyclopedia of Mathematics
• Borel-Funktion bei Encyclopedia of Mathematics