Messbarer Raum - Measurable space

In der Mathematik ist ein messbarer Raum oder Borel-Raum ein grundlegendes Objekt in der Maßtheorie . Es besteht aus einer Menge und einer σ-Algebra , die die zu messenden Teilmengen definiert .

Definition

Betrachten wir einen Satz und eine σ-Algebra auf . Dann wird das Tupel als messbarer Raum bezeichnet. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

Beachten Sie, dass im Gegensatz zu einem Messraum für einen messbaren Raum kein Maß erforderlich ist.

Beispiel

Schauen Sie sich das Set an:

${\ displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}$

Eine mögliche Algebra wäre: ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ {X, \ Emptyset \}.}$

Dann ist ein messbarer Raum. Eine weitere mögliche -Algebra wäre die Potenzmenge auf : ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {1})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2} = {\ mathcal {P}} (X).}$

Damit ist ein zweiter messbarer Raum am Set gegeben durch . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {2})}$

Gemeinsame messbare Räume

Wenn endlich oder abzählbar unendlich ist, das ist -Algebra am häufigsten die Potenzmenge auf , so . Dies führt zum messbaren Raum . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {P}} (X))}$

Wenn eine ist topologischer Raum , das ist -Algebra am häufigsten die Borel -Algebra , so . Dies führt zu dem messbaren Raum , der allen topologischen Räumen wie den reellen Zahlen gemeinsam ist . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Mehrdeutigkeit mit Borel-Räumen

Der Begriff Borelraum wird für verschiedene Arten messbarer Räume verwendet. Es kann sich beziehen

• jeder messbare Raum, daher ist es ein Synonym für einen messbaren Raum wie oben definiert
• ein messbarer Raum, der Borel isomorph zu einer messbaren Teilmenge der reellen Zahlen ist (wieder mit der Borel- Algebra) ${\ displaystyle \ sigma}$

Verweise