metrischer Raum - Metric space

In der Mathematik ist ein metrischer Raum eine Menge zusammen mit einer Metrik auf der Menge. Die Metrik ist eine Funktion , die ein Konzept des Abstands zwischen zwei beliebigen Mitgliedern der Menge definiert, die normalerweise als Punkte bezeichnet werden . Die Metrik erfüllt einige einfache Eigenschaften. Informell:

• Die Entfernung von auf Null , wenn und nur wenn , und ist der gleiche Punkt,${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten ist positiv,
• der Abstand von bis ist gleich dem Abstand von bis , und${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$
• die Entfernung von bis ist kleiner oder gleich der Entfernung von bis über einen beliebigen dritten Punkt .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Eine Metrik auf einem Raum induziert topologische Eigenschaften wie offene und abgeschlossene Mengen , die zum Studium abstrakterer topologischer Räume führen .

Der bekannteste metrische Raum ist der 3-dimensionale euklidische Raum . Tatsächlich ist eine "Metrik" die Verallgemeinerung der euklidischen Metrik, die sich aus den vier seit langem bekannten Eigenschaften der euklidischen Distanz ergibt. Die euklidische Metrik definiert den Abstand zwischen zwei Punkten als die Länge des geraden Liniensegments , das sie verbindet. Andere metrische Räume kommen zum Beispiel in der elliptischen Geometrie und der hyperbolischen Geometrie vor , wo der Abstand auf einer Kugel gemessen durch den Winkel eine Metrik ist und das Hyperboloidmodell der hyperbolischen Geometrie von der speziellen Relativitätstheorie als metrischer Geschwindigkeitsraum verwendet wird . Einige der nicht-geometrischer metrischer Räume umfassen Räume endlicher Strings ( finite - Sequenzen von Symbolen aus einer vordefinierten Alphabet) ausgestattet mit zB eines Hamming ‚s oder Levenshtein Abstand , ein Abstand von Untergruppen von jedem metrischen Raum ausgestattet mit Hausdorff - Abstand , einen Raum von realen Funktionen integrierbar auf einem Einheitsintervall mit einem integralen Metrik oder probabilistischen Räumen auf jedem gewählten metrischen Raum ausgestattet mit Wasserstein - Metrik . Siehe auch Abschnitt § Beispiele für metrische Räume . ${\displaystyle d(f,g)=\int _{x=0}^{x=1}\left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx}$

Geschichte

1906 führte Maurice Fréchet in seinem Werk Sur quelques points du calcul fonctionnel metrische Räume ein . Der Name geht jedoch auf Felix Hausdorff zurück .

Definition

Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar, wobei eine Menge und eine Metrik auf ist , dh eine Funktion${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\,\colon M\times M\to\mathbb{R}}$

so dass für any gilt: ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1.	${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$	Identität der Ununterscheidbaren
2.	${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$	Symmetrie
3.	${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$	Subadditivität oder Dreiecksungleichung

Angesichts der obigen drei Axiome haben wir das auch für alle . Dies ergibt sich wie folgt (von oben nach unten): ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$${\displaystyle x,y\in M}$

${\displaystyle d(x,y)+d(y,x)\geq d(x,x)}$	durch Dreiecksungleichung
${\displaystyle d(x,y)+d(x,y)\geq d(x,x)}$	durch Symmetrie
${\displaystyle 2d(x,y)\geq 0}$	nach Identität von Ununterscheidbaren
${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$	Wir haben Nicht-Negativität

Die Funktion wird auch Distanzfunktion oder einfach Distanz genannt . Oft wird weggelassen und man schreibt nur für einen metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, welche Metrik verwendet wird. ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Ohne mathematische Details kann für jedes Straßen- und Geländesystem die Entfernung zwischen zwei Orten als die Länge der kürzesten Route definiert werden, die diese Orte verbindet. Um eine Metrik zu sein, sollte es keine Einbahnstraßen geben. Die Dreiecksungleichung drückt aus, dass Umwege keine Abkürzungen sind. Wenn der Abstand zwischen zwei Punkten null ist, sind die beiden Punkte nicht voneinander zu unterscheiden. Viele der folgenden Beispiele können als konkrete Versionen dieser allgemeinen Idee angesehen werden.

Beispiele für metrische Räume

• Die reellen Zahlen mit der durch die absolute Differenz gegebenen Distanzfunktion und allgemeiner der euklidische n- Raum mit der euklidischen Distanz sind vollständige metrische Räume. Auch die rationalen Zahlen mit gleicher Distanzfunktion bilden einen metrischen Raum, jedoch keinen vollständigen.${\displaystyle d(x,y)=|yx|}$
• Die positiven reellen Zahlen mit Distanzfunktion sind ein vollständiger metrischer Raum.${\displaystyle d(x,y)=\left|\log(y/x)\right|}$
• Jeder normierte Vektorraum ist durch Definition ein metrischer Raum , siehe auch Metriken zu Vektorräumen . (Wenn ein solcher Raum vollständig ist , nennen wir ihn Banach-Raum .) Beispiele: ${\displaystyle d(x,y)=\lVert yx\rVert}$
  • Die Manhattan-Norm führt zur Manhattan-Distanz , wobei der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten oder Vektoren die Summe der Differenzen zwischen entsprechenden Koordinaten ist.
  • Die zyklische Mannheim-Metrik oder Mannheim-Distanz ist eine Modulo-Variante der Manhattan-Metrik.
  • Die maximale Norm ergibt die Chebyshev-Distanz oder Schachbrett-Distanz, die minimale Anzahl von Zügen, die ein Schachkönig braucht, um von bis zu reisen .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• Die British-Rail- Metrik (auch „Post-Metrik“ oder „ SNCF- Metrik“ genannt) auf einem normierten Vektorraum ist durch für verschiedene Punkte und , und gegeben . Allgemeiner kann durch eine Funktion ersetzt werden, die eine beliebige Menge auf nicht negative reelle Zahlen nimmt und den Wert höchstens einmal annimmt : dann wird die Metrik durch für verschiedene Punkte und definiert und . Der Name spielt auf die Tendenz an, dass Bahnreisen unabhängig vom endgültigen Zielort über London (oder Paris) verlaufen.${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,x)=0}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Wenn ein metrischer Raum und eine Teilmenge von ist , dann wird ein metrischer Raum, indem der Bereich von auf eingeschränkt wird .${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X\times X}$
• Die diskrete Metrik , wo wenn und nicht, ist ein einfaches, aber wichtiges Beispiel und kann auf alle Mengen angewendet werden. Dies zeigt insbesondere, dass jeder Menge immer ein metrischer Raum zugeordnet ist. Mit dieser Metrik ist das Singleton eines jeden Punktes eine offene Kugel , daher ist jede Teilmenge offen und der Raum hat die diskrete Topologie .${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle d(x,y)=1}$
• Ein endlicher metrischer Raum ist ein metrischer Raum mit einer endlichen Anzahl von Punkten. Nicht jeder endliche metrische Raum lässt sich isometrisch in einen euklidischen Raum einbetten .
• Die hyperbolische Ebene ist ein metrischer Raum. Allgemeiner:
  • Wenn es sich um eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit handelt , dann können wir uns in einen metrischen Raum verwandeln, indem wir den Abstand zweier Punkte als das Infimum der Längen der sie verbindenden Wege (stetig differenzierbaren Kurven ) definieren.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$
• Wenn eine Menge ist und ein metrischer Raum ist, dann kann die Menge aller beschränkten Funktionen (dh der Funktionen, deren Bild eine beschränkte Teilmenge von ist ) in einen metrischen Raum umgewandelt werden, indem für zwei beliebige beschränkte Funktionen definiert werden und (wo ist supremum ) . Diese Metrik wird als einheitliche Metrik oder Supremum-Metrik bezeichnet, und wenn vollständig ist, dann ist auch dieser Funktionsraum vollständig. Wenn X auch ein topologischer Raum ist, dann ist die Menge aller beschränkten stetigen Funktionen von bis (mit der einheitlichen Metrik ausgestattet) auch eine vollständige Metrik, wenn M ist.${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\colon X\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \sup}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$
• Wenn es sich um einen ungerichteten zusammenhängenden Graphen handelt , dann kann die Menge der Knoten von in einen metrischen Raum umgewandelt werden, indem die Länge des kürzesten Pfads definiert wird , der die Knoten und verbindet . In der geometrischen Gruppentheorie wird dies auf den Cayley-Graphen einer Gruppe angewendet , was das Wort Metrik ergibt .${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• Graph bearbeiten Abstand ist ein Maß der Unähnlichkeit zwischen zwei Graphen , definiert als die minimale Anzahl von Graphen Editieroperationen erforderlich , um einen Graphen in ein anderes zu transformieren.
• Der Levenshtein-Abstand ist ein Maß für die Unähnlichkeit zwischen zwei Zeichenfolgen und , definiert als die minimale Anzahl von Zeichenlöschungen, Einfügungen oder Ersetzungen, die für die Transformation in erforderlich sind . Dies kann man sich als Sonderfall der kürzesten Pfadmetrik in einem Graphen vorstellen und ist ein Beispiel für einen Bearbeitungsabstand .${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$
• Gegeben ein metrischer Raum und eine ansteigende konkave Funktion, so dass genau dann , wenn , dann auch eine Metrik on ist .${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f\circ d}$${\displaystyle X}$
• Angesichts einer injektiven Funktion von jedem Satz auf einem metrischen Raum , definiert eine Metrik auf .${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d(f(x),f(y))}$${\displaystyle A}$
• Nach der T-Theorie ist die enge Spanne eines metrischen Raums auch ein metrischer Raum. Die enge Spanne ist für verschiedene Arten von Analysen nützlich.
• Die Menge aller durch Matrizen über einiges Feld ist ein metrischer Raum in Bezug auf den Rang Abstand .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(X,Y)=\mathrm {Rang} (YX)}$
• Die Helly-Metrik wird in der Spieltheorie verwendet .

Offene und geschlossene Mengen, Topologie und Konvergenz

Jeder metrische Raum ist auf natürliche Weise ein topologischer Raum , und daher gelten alle Definitionen und Sätze über allgemeine topologische Räume auch für alle metrischen Räume.

Über jeden Punkt in einem metrischen Raum definieren wir die offene Kugel mit Radius (wo eine reelle Zahl ist) etwa als Menge ${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle B(x;r)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$

Diese offenen Kugeln bilden die Basis für eine Topologie auf M , was sie zu einem topologischen Raum macht .

Explizit eine Teilmenge von aufgerufen wird geöffnet , wenn für jeden in dort ein existiert , so dass in enthalten ist . Das Komplement einer offenen Menge heißt abgeschlossen . Eine Umgebung des Punktes ist jede Teilmenge davon , die eine offene Kugel als Teilmenge enthält. ${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B(x;r)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

Ein topologischer Raum, der auf diese Weise aus einem metrischen Raum entstehen kann, heißt metrisierbarer Raum .

Eine Sequenz ( ) in einem metrischen Raum ist , um die Konvergier bis an die Grenze , wenn und nur wenn für jeden gibt es eine natürliche Zahl existiert N , so daß für alle . Äquivalent kann man die allgemeine Definition der Konvergenz verwenden, die in allen topologischen Räumen verfügbar ist. ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon}$${\displaystyle n>N}$

Eine Teilmenge des metrischen Raums ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die gegen einen Grenzwert in konvergiert, seinen Grenzwert in hat . ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

Arten von metrischen Räumen

Komplette Räume

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert . Das heißt: wenn beide und unabhängig voneinander ins Unendliche gehen, dann gibt es einige mit . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\to 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y\in M}$${\displaystyle d(x_{n},y)\to 0}$

Jeder euklidische Raum ist vollständig, ebenso wie jede abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen Raums. Die rationalen Zahlen, die die Absolutwertmetrik verwenden , sind nicht vollständig. ${\displaystyle d(x,y)=\vert xy\vert }$

Jeder metrische Raum hat eine (bis auf Isometrie ) eindeutige Vervollständigung , die ein vollständiger Raum ist, der den gegebenen Raum als dichte Teilmenge enthält. Zum Beispiel sind die reellen Zahlen die Vervollständigung der rationalen Zahlen.

Wenn eine vollständige Teilmenge des metrischen Raums ist , dann ist in abgeschlossen . Tatsächlich ist ein Raum genau dann vollständig, wenn er in einem enthaltenden metrischen Raum abgeschlossen ist. ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$

Jeder vollständige metrische Raum ist ein Baire-Raum .

Begrenzte und vollständig begrenzte Räume

Ein metrischer Raum heißt${\displaystyle M}$ beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, so dassfür alle Die kleinstmögliche solcheheißt${\displaystyle r}$${\displaystyle d(x,y)\leq r}$${\displaystyle x,y\in M.}$${\displaystyle r}$Durchmesser vonDer Raumheißtvorkompaktodertotal beschränkt,wenn es für jedeendlich viele offene Kugeln mit Radius gibt,deren Vereinigung überdecktDa die Menge der Mittelpunkte dieser Kugeln endlich ist, hat sie endlichen Durchmesser, woraus folgt ), dass jeder total beschränkte Raum beschränkt ist. Das Umgekehrte gilt nicht, da jeder unendlichen Menge die diskrete Metrik (eines der obigen Beispiele) gegeben werden kann, unter der sie beschränkt und doch nicht vollständig beschränkt ist. ${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle M.}$

Beachten Sie, dass im Kontext von Intervallen im Raum der reellen Zahlen und gelegentlich Regionen in einem euklidischen Raum eine beschränkte Menge als "ein endliches Intervall" oder "endliches Gebiet" bezeichnet wird. Beschränktheit sollte jedoch im Allgemeinen nicht mit "endlich" verwechselt werden, was sich auf die Anzahl der Elemente bezieht, nicht darauf, wie weit sich die Menge erstreckt; Endlichkeit impliziert Beschränktheit, aber nicht umgekehrt. Beachten Sie auch, dass eine unbeschränkte Teilmenge von ein endliches Volumen haben kann . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Kompakte Räume

Ein metrischer Raum ist kompakt, wenn jede Folge in eine Teilfolge hat , die gegen einen Punkt in in konvergiert . Dies ist als sequentielle Kompaktheit bekannt und entspricht in metrischen Räumen (aber nicht in allgemeinen topologischen Räumen) den topologischen Begriffen der abzählbaren Kompaktheit und Kompaktheit, die über offene Abdeckungen definiert werden . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Beispiele für kompakte metrische Räume sind das geschlossene Intervall mit der Absolutwertmetrik, alle metrischen Räume mit endlich vielen Punkten und die Cantor-Menge . Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist selbst kompakt. ${\displaystyle [0,1]}$

Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und total beschränkt ist. Dies ist als Heine-Borel-Theorem bekannt . Beachten Sie, dass die Kompaktheit nur von der Topologie abhängt, während die Beschränktheit von der Metrik abhängt.

Das Lebesgue-Zahlenlemma besagt, dass für jede offene Hülle eines kompakten metrischen Raums eine "Lebesgue-Zahl" existiert, so dass jede Teilmenge des Durchmessers in einem Mitglied der Hülle enthalten ist. ${\displaystyle M}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r<\delta }$

Jeder kompakte metrische Raum ist zweitzählbar und ein kontinuierliches Abbild der Cantor-Menge . (Das letztere Ergebnis ist Pavel Alexandrov und Urysohn zu verdanken .)

Lokal kompakte und richtige Räume

Ein metrischer Raum heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung hat. Euklidische Räume sind lokal kompakt, unendlichdimensionale Banach-Räume jedoch nicht.

Ein Raum ist richtig, wenn jede geschlossene Kugel kompakt ist. Eigene Räume sind lokal kompakt, aber das Umgekehrte gilt im Allgemeinen nicht. ${\displaystyle \{y\,\colon d(x,y)\leq r\}}$

Verbundenheit

Ein metrischer Raum ist zusammenhängend, wenn die einzigen Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, die leere Menge und sich selbst sind. ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Ein metrischer Raum ist pfadzusammenhängend, wenn für zwei beliebige Punkte eine kontinuierliche Karte mit und existiert . Jeder pfadverbundene Raum ist zusammenhängend, aber das Umgekehrte gilt im Allgemeinen nicht. ${\displaystyle M}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle f\colon [0,1]\to M}$${\displaystyle f(0)=x}$${\displaystyle f(1)=y}$

Es gibt auch lokale Versionen dieser Definitionen: lokal verbundene Räume und lokal pfadverbundene Räume .

Einfach zusammenhängende Räume sind solche, die in gewissem Sinne keine "Löcher" haben.

Trennbare Räume

Ein metrischer Raum ist separierbar, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Typische Beispiele sind die reellen Zahlen oder ein beliebiger euklidischer Raum. Für metrische Räume (aber nicht für allgemeine topologische Räume) ist die Trennbarkeit äquivalent zur zweiten Abzählbarkeit und auch zur Lindelöf- Eigenschaft.

Spitze metrische Räume

Wenn ist ein metrischer Raum und dann heißt ein spitzer metrischer Raum und heißt ein ausgezeichneter Punkt . Beachten Sie, dass ein spitzer metrischer Raum nur ein nichtleerer metrischer Raum ist, wobei die Aufmerksamkeit auf seinen herausragenden Punkt gelenkt wird, und dass jeder nichtleere metrische Raum als ein spitzer metrischer Raum angesehen werden kann. Der Distinguished Point wird manchmal aufgrund seines ähnlichen Verhaltens wie Null in bestimmten Kontexten bezeichnet. ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle (X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0}$

Kartentypen zwischen metrischen Räumen

Angenommen und sind zwei metrische Räume. ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Kontinuierliche Karten

Die Karte ist stetig, wenn sie eine (und damit alle) der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt: ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

Allgemeine topologische Stetigkeit

für jeden offenen Satz in ist das Urbild offen in${\displaystyle U}$${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}[U]}$${\displaystyle M_{1}}$

Dies ist die allgemeine Definition der Stetigkeit in der Topologie .

Sequentielle Kontinuität

wenn eine Folge in ist , die gegen konvergiert , dann konvergiert die Folge gegen in .${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (f(x_{n}))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M_{2}}$

Das ist sequentielle Kontinuität , die Eduard Heine zu verdanken ist .

ε-δ Definition

für alles und jedes existiert so, dass für alles in uns ist ${\displaystyle x\in M_{1}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M_{1}}$

${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$

Dies verwendet die (ε, δ)-Definition von limit und geht auf Augustin Louis Cauchy zurück .

Außerdem ist sie genau dann stetig, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von stetig ist . ${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{1}}$

Das Bild jeder kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt, und das Bild jeder zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Funktion ist zusammenhängend.

Gleichmäßig kontinuierliche Karten

Die Abbildung ist gleichmäßig stetig, wenn es für jeden so gibt , dass ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon \quad {\mbox{für alle}}\quad x,y \in M_{1}.}$

Jede gleichmäßig stetige Abbildung ist stetig. Das Umgekehrte gilt, wenn kompakt ist ( Satz von Heine-Cantor ). ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle M_{1}}$

Gleichförmig stetige Abbildungen verwandeln Cauchy-Sequenzen in Cauchy-Sequenzen in . Für kontinuierliche Karten ist dies im Allgemeinen falsch; zum Beispiel verwandelt eine kontinuierliche Abbildung vom offenen Intervall auf die reelle Linie einige Cauchy-Folgen in unbeschränkte Folgen. ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle (0,1)}$

Lipschitz-stetige Karten und Kontraktionen

Eine reelle Zahl , die Karte ist K -Lipschitz kontinuierlich , wenn ${\displaystyle K>0}$${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\mbox{für alle}}\quad x,y\in M_{1} .}$

Jede Lipschitz-stetige Abbildung ist gleichmäßig stetig, aber das Umgekehrte gilt im Allgemeinen nicht.

Wenn , dann heißt es Kontraktion . Angenommen und ist vollständig. Ist eine Kontraktion, dann gilt ein eindeutiger Fixpunkt ( Banach-Fixpunkt-Theorem ). Wenn kompakt ist, kann die Bedingung etwas abgeschwächt werden: Erlaubt einen eindeutigen Fixpunkt, wenn ${\displaystyle K<1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{2}=M_{1}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{für alle}}\quad x\neq y\in M_{1}}$.

Isometrien

Die Karte ist eine Isometrie, wenn ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)\quad {\mbox{für alle}}\quad x,y\in M_{1}}$

Isometrien sind immer injektiv ; das Bild einer kompakten oder vollständigen Menge unter einer Isometrie ist kompakt bzw. vollständig. Wenn die Isometrie jedoch nicht surjektiv ist , muss das Bild einer geschlossenen (oder offenen) Menge nicht geschlossen (oder offen) sein.

Quasi-Isometrien

Die Abbildung ist eine Quasi-Isometrie, wenn es Konstanten gibt und so dass ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$${\displaystyle A\geq 1}$${\displaystyle B\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f( x),f(y))+B\quad {\text{ für alle }}\quad x,y\in M_{1}}$

und eine Konstante, so dass jeder Punkt in höchstens einen Abstand von einem Punkt im Bild hat . ${\displaystyle C\geq 0}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f(M_{1})}$

Beachten Sie, dass eine Quasi-Isometrie nicht kontinuierlich sein muss. Quasi-Isometrien vergleichen die "großräumige Struktur" metrischer Räume; sie finden Verwendung in der geometrischen Gruppentheorie in Bezug auf das Wort Metrik .

Begriffe der metrischen Raumäquivalenz

Gegeben zwei metrische Räume und : ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

• Sie werden homöomorph (topologisch isomorph) genannt, wenn zwischen ihnen ein Homöomorphismus besteht (dh eine in beide Richtungen stetige Bijektion ).
• Sie heißt uniformic (einheitlich isomorph) , wenn es einen gibt einheitlichen Isomorphismus zwischen ihnen (dh einer Bijektion gleichmäßig stetig in beiden Richtungen).
• Sie heißen isometrisch, wenn zwischen ihnen eine bijektive Isometrie besteht . In diesem Fall sind die beiden metrischen Räume im Wesentlichen identisch.
• Sie werden quasi-isometrisch genannt, wenn zwischen ihnen eine Quasi-Isometrie besteht .

Topologische Eigenschaften

Metrische Räume sind parakompakte Hausdorff-Räume und daher normal (ja, sie sind vollkommen normal). Eine wichtige Konsequenz ist, dass jeder metrische Raum Partitionen der Einheit zulässt und dass jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines metrischen Raums definierte stetige reellwertige Funktion zu einer stetigen Abbildung auf dem ganzen Raum erweitert werden kann ( Tietze-Erweiterungssatz ). Es gilt auch, dass jede reellwertige Lipschitz-stetige Abbildung, die auf einer Teilmenge eines metrischen Raums definiert ist, zu einer Lipschitz-stetigen Abbildung auf dem ganzen Raum erweitert werden kann.

Metrische Räume sind erst abzählbar, da man Kugeln mit rationalem Radius als Nachbarschaftsbasis verwenden kann.

Die metrische Topologie auf einem metrischen Raum ist die gröbste Topologie, relativ zu der die Metrik eine kontinuierliche Abbildung vom Produkt von mit sich selbst zu den nicht-negativen reellen Zahlen ist. ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Abstand zwischen Punkten und Sätzen; Hausdorff-Distanz und Gromov-Metrik

Eine einfache Möglichkeit, eine Funktion zu konstruieren, die einen Punkt von einer abgeschlossenen Menge trennt (wie es für einen vollständig regulären Raum erforderlich ist), besteht darin, den Abstand zwischen dem Punkt und der Menge zu berücksichtigen . Wenn ein metrischer Raum, eine Teilmenge von und ein Punkt von ist , definieren wir den Abstand von nach als ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}}$wobei steht für das Infimum .${\displaystyle\inf}$

Dann und nur wenn gehört zur Schließung von . Weiterhin haben wir folgende Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung: ${\displaystyle d(x,S)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$

was insbesondere zeigt, dass die Karte stetig ist. ${\displaystyle x\mapsto d(x,S)}$

Gegeben zwei Teilmengen und von definieren wir ihren Hausdorff-Abstand als ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T \}\}}$wobei steht für das Supremum .${\displaystyle \sup}$

Im Allgemeinen kann der Hausdorff-Abstand unendlich sein. Zwei Mengen liegen im Hausdorff-Abstand nahe beieinander, wenn jedes Element einer der Mengen nahe an einem Element der anderen Menge liegt. ${\displaystyle d_{H}(S,T)}$

Der Hausdorff-Abstand verwandelt die Menge aller nichtleeren kompakten Teilmengen von in einen metrischen Raum. Man kann zeigen, dass vollständig ist, wenn vollständig ist. (Ein anderer Begriff der Konvergenz kompakter Teilmengen ist durch die Kuratowski-Konvergenz gegeben .) ${\displaystyle d_{H}}$${\displaystyle K(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K(M)}$${\displaystyle M}$

Man kann dann den Gromov-Hausdorff-Abstand zwischen zwei beliebigen metrischen Räumen definieren, indem man den minimalen Hausdorff-Abstand isometrisch eingebetteter Versionen der beiden Räume berücksichtigt. Mit diesem Abstand wird die Klasse aller (Isometrieklassen von) kompakten metrischen Räumen zu einem eigenen metrischen Raum.

Produktmessbereiche

Wenn metrische Räume sind und die euklidische Norm auf ist , dann ist ein metrischer Raum, in dem die Produktmetrik definiert ist durch ${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots,(M_{n},d_{n})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle {\Bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},N(d_{1},\ldots,d_{n}){\Bigr)}}$

${\displaystyle N(d_{1},\ldots,d_{n}){\Big (}(x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n }){\Groß)}=N{\Groß (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\ Groß )},}$

und die induzierte Topologie stimmt mit der Produkttopologie . Durch die Äquivalenz von Normen in endlichen Dimensionen erhält man eine äquivalente Metrik, wenn es sich um die Taxi-Norm , eine p-Norm , die maximale Norm oder eine andere Norm handelt, die als Koordinaten eines positiven Tupelzuwachses nicht abnimmt (was die Dreiecksungleichung). ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

In ähnlicher Weise kann ein abzählbares Produkt metrischer Räume mit der folgenden Metrik erhalten werden

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i} ,y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$

Ein überzähliges Produkt metrischer Räume muss nicht metrisierbar sein. Zum Beispiel ist nicht zuerst zählbar und daher nicht metrisierbar. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{\mathbb{R}}}$

Kontinuität der Distanz

Im Fall eines einzelnen Raums ist die Distanzabbildung (aus der Definition ) bezüglich jeder der obigen Produktmetriken gleichmäßig stetig und insbesondere bezüglich der Produkttopologie von stetig . ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle d\colon M\times M\to R^{+}}$${\displaystyle N(d,d)}$${\displaystyle M\times M}$

Quotientenmetrische Räume

Wenn M ein metrischer Raum mit Metrik und eine Äquivalenzrelation auf ist , dann können wir die Quotientenmenge mit einer Pseudometrik ausstatten. Gegeben zwei Äquivalenzklassen und definieren wir ${\displaystyle d}$${\displaystyle\sim}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M/\!\sim}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [y]}$

${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d( p_{n},q_{n})\}}$

wobei das Infimum über alle endlichen Folgen genommen wird und mit , , . Im Allgemeinen wird dies nur eine Pseudometrik definieren , dh bedeutet dies nicht unbedingt . Für einige Äquivalenzbeziehungen (z. B. solche, die durch Zusammenkleben von Polyedern entlang von Flächen gegeben sind) ist jedoch eine Metrik. ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots,p_{n})}$${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots,q_{n})}$${\displaystyle [p_{1}]=[x]}$${\displaystyle [q_{n}]=[y]}$${\displaystyle [q_{i}]=[p_{i+1}],i=1,2,\dots,n-1}$${\displaystyle d'([x],[y])=0}$${\displaystyle [x]=[y]}$${\displaystyle d'}$

Die Quotientenmetrik ist durch die folgende universelle Eigenschaft gekennzeichnet . If ist eine metrische Abbildung zwischen metrischen Räumen (d. h. für alle , ), die immer dann erfüllt, wenn die induzierte Funktion , gegeben durch , eine metrische Abbildung ist${\displaystyle d}$${\displaystyle f\,\colon (M,d)\to (X,\delta)}$${\displaystyle \delta (f(x),f(y))\leq d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon M/\!\sim\to X}$${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon (M/\!\sim ,d')\to (X,\delta).}$

Ein topologischer Raum ist genau dann sequentiell, wenn er ein Quotient eines metrischen Raums ist.

Verallgemeinerungen metrischer Räume

• Jeder metrische Raum ist auf natürliche Weise ein einheitlicher Raum , und jeder einheitliche Raum ist natürlich ein topologischer Raum . Uniforme und topologische Räume können daher als Verallgemeinerungen metrischer Räume angesehen werden.
• Die Lockerung der Anforderung, dass der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten nicht Null sein muss, führt zu den Konzepten eines pseudometrischen Raums oder eines dislozierten metrischen Raums. Wenn wir die Symmetrieanforderung entfernen, erhalten wir einen quasimetrischen Raum . Das Ersetzen der Dreiecksungleichung durch eine schwächere Form führt zu semimetrischen Räumen .
• Wenn die Distanzfunktion Werte in der erweiterten reellen Zahlengeraden annimmt , aber ansonsten die Bedingungen einer Metrik erfüllt, dann heißt sie erweiterte Metrik und der entsprechende Raum heißt -metrischer Raum . Wenn die Distanzfunktion Werte in einer (geeigneten) geordneten Menge annimmt (und die Dreiecksungleichung entsprechend angepasst wird), dann erhalten wir den Begriff der verallgemeinerten ultrametrischen .${\displaystyle \mathbb{R}\cup\{+\infty\}}$${\displaystyle\infty}$
• Annäherungsräume sind eine Verallgemeinerung metrischer Räume, basierend auf Punkt-zu-Satz-Abständen anstelle von Punkt-zu-Punkt-Abständen.
• Ein Kontinuitätsraum ist eine Verallgemeinerung von metrischen Räumen und Posets , die verwendet werden kann, um die Begriffe metrischer Räume und Domänen zu vereinheitlichen .
• Ein partieller metrischer Raum soll die geringste Verallgemeinerung des Begriffs eines metrischen Raums sein, so dass der Abstand jedes Punktes von sich selbst nicht mehr notwendigerweise Null ist.

Metrische Räume als angereicherte Kategorien

Die geordnete Menge kann als Kategorie angesehen werden, indem genau ein Morphismus angefordert wird, wenn und sonst keiner. Durch die Verwendung als Tensorprodukt und als Identität wird es zu einer monoiden Kategorie . Jeder metrische Raum kann jetzt als eine um angereicherte Kategorie betrachtet werden : ${\displaystyle (\mathbb{R},\geq)}$ ${\displaystyle a\to b}$${\displaystyle a\geq b}$${\displaystyle +}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

• Satz ${\displaystyle \operatorname {Ob} (M^{*}):=M}$
• Für jeden Satz${\displaystyle X,Y\in M}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y):=d(X,Y)\in \operatorname {Ob} (R^{*})}$
• Der Kompositionsmorphismus ist der eindeutige Morphismus in gegeben aus der Dreiecksungleichung${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y,Z)\otimes \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z)}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle d(y,z)+d(x,y)\geq d(x,z)}$
• Der Identitätsmorphismus ist der eindeutige Morphismus, der sich aus der Tatsache ergibt, dass .${\displaystyle 0\to\operatorname {Hom} (X,X)}$${\displaystyle 0\geq d(X,X)}$
• Da es sich um ein Poset handelt, pendeln alle Diagramme , die für eine angereicherte Kategorie benötigt werden, automatisch.${\displaystyle R^{*}}$

Siehe das unten aufgeführte Papier von FW Lawvere.

Siehe auch

• Assouad-Nagata-Dimension
• Aleksandrov-Rassias-Problem
• Kategorie der metrischen Räume
• Klassischer Wiener Raum
• Kontraktions-Mapping  – Funktion, die den Abstand zwischen allen Punkten reduziert
• Glossar der Riemannschen und metrischen Geometrie  – Mathematik-Glossar
• Hilbert-Raum  – Verallgemeinerung des euklidischen Raums mit unendlichen Dimensionen
• Hilberts viertes Problem
• Isometrie
• Lee-Abstand
• Lipschitz-Stetigkeit  – Starke Form gleichförmiger Stetigkeit
• Messen (Mathematik)  – Verallgemeinerung von Länge, Fläche, Volumen und Integral
• Metrisch (Mathematik)  – Mathematische Funktion, die den Abstand definiert
• Metrische Karte
• Metriksignatur  – Anzahl positiver, negativer und Null-Eigenwerte eines metrischen Tensors
• Metrischer Tensor  – Struktur, die lokal einen Abstand auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert
• Messwertbaum
• Norm (Mathematik)  – Länge in einem Vektorraum
• Normierter Vektorraum  – Vektorraum, auf dem ein Abstand definiert ist
• Produktkennzahl
• Weltraum (Mathematik)  – Mathematisches Set mit etwas zusätzlicher Struktur
• Dreiecksungleichung  – Eigenschaft der Geometrie, die auch verwendet wird, um den Begriff "Entfernung" in metrischen Räumen zu verallgemeinern
• Ultrametrischer Raum  – Art des metrischen Raums

Verweise

Weiterlesen

• Victor Bryant, Metric Spaces: Iteration and Application , Cambridge University Press , 1985, ISBN  0-521-31897-1 .
• Dmitri Burago, Yu D Burago , Sergei Ivanov, Ein Kurs in metrischer Geometrie , American Mathematical Society, 2001, ISBN  0-8218-2129-6 .
• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , European Mathematical Society , Erstausgabe 2004, ISBN  978-3-03719-010-4 . Zweite Ausgabe 2014, ISBN  978-3-03719-132-3 .
• Mícheál Ó Searcóid , Metric Spaces , Springer Undergraduate Mathematics Series , 2006, ISBN  1-84628-369-8 .
• Lawvere, F. William, "Metrische Räume, verallgemeinerte Logik und geschlossene Kategorien", [Rend. Sem. Matte. Fis. Milano 43 (1973), 135-166 (1974); (italienische Zusammenfassung)

Dies wird (mit Autorenkommentar) unter Nachdrucke in Theorie und Anwendungen von Kategorien auch (mit einem Autorenkommentar) in Angereicherte Kategorien in der Logik der Geometrie und Analysis nachgedruckt . Repr. Theorie Appl. Kategorie Nr. 1 (2002), 1–37.

• Weisstein, Eric W. "Produktmetrik" . MathWorld .

Externe Links

• "Metric space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Fern und nah — mehrere Beispiele für Entfernungsfunktionen beim Durchtrennen .