Minimales Polynom (Feldtheorie) - Minimal polynomial (field theory)

In der Feldtheorie , einem Zweig der Mathematik , ist das Minimalpolynom eines Wertes α grob gesagt das Polynom niedrigsten Grades mit Koeffizienten eines bestimmten Typs, so dass α eine Wurzel des Polynoms ist. Wenn das minimale Polynom von α existiert, ist es eindeutig. Der Koeffizient des Terms höchsten Grades im Polynom muss 1 sein, und der angegebene Typ für die verbleibenden Koeffizienten kann ganze Zahlen , rationale Zahlen , reelle Zahlen oder andere sein.

Formal wird ein minimales Polynom relativ zu einer Felderweiterung E / F und einem Element des Erweiterungsfelds E definiert . Das minimal - Polynom eines Elements, wenn es vorhanden ist , ist ein Mitglied der F [ x ], dem Ring von Polynomen in der Variablen x mit Koeffizienten in F . Wenn ein Element α von E gegeben ist , sei J α die Menge aller Polynome f ( x ) in F [ x ], so dass f ( α ) = 0. Das Element α wird als Wurzel oder Null jedes Polynoms in J α bezeichnet . Die Menge J α wird so genannt, weil sie ein Ideal von F [ x ] ist. Das Nullpolynom, dessen Koeffizienten alle 0 sind, liegt in jedem J α, da 0 α i = 0 für alle α und i ist . Dies macht das Nullpolynom unbrauchbar, um verschiedene Werte von α in Typen zu klassifizieren , so dass es ausgenommen ist. Wenn es irgendwelche Nicht-Null - Polynome sind in J α , dann α wird eine genannte algebraische Element über F , und es existiert ein normiertes Polynom des kleinsten Grades in J α . Dies ist das minimale Polynom von α in Bezug auf E / F . Es ist einzigartig und über F nicht reduzierbar . Wenn das Nullpolynom das einzige Mitglied ist J α , dann α ist ein sogenannter transzendentalen Element über F und hat keine Minimalpolynoms mit Bezug auf E / F .

Minimale Polynome sind nützlich für die Konstruktion und Analyse von Felderweiterungen. Wenn α algebraisch mit minimalem Polynom a ( x ), dass der kleinste Bereich enthält sowohl F und α ist isomorph zu dem Quotienten Ring F [ x ] / ⟨ a ( x )⟩, wo ⟨ a ( x )⟩ ist das Ideal F [ x ] erzeugt durch a ( x ). Minimale Polynome werden auch verwendet, um konjugierte Elemente zu definieren .

Definition

Lassen E / F sein , Felderweiterung , α ein Element von E , und F [ x ] der Ring von Polynomen in x über F . Das Element α hat ein minimales Polynom, wenn α über F algebraisch ist, dh wenn f ( α ) = 0 für ein Nicht-Null-Polynom f ( x ) in F [ x ] ist. Dann wird das minimale Polynom von α als das monische Polynom mit dem geringsten Grad unter allen Polynomen in F [ x ] mit α als Wurzel definiert.

Einzigartigkeit

Lassen Sie ein ( x ) das Minimalpolynom von α in Bezug auf E / F . Die Einzigartigkeit eines ( x ) wird unter Berücksichtigung der etablierten Ringhomomorphismus sub α von F [ x ] , um E dass Substitute & agr; für x , das, sub ist α ( f ( x )) = f ( α ). Der Kern von sub α , ker (sub α ), ist die Menge aller Polynome in F [ x ], die α als Wurzel haben. Das heißt, ker (sub & agr; ) = J & agr; von oben. Da sub α ein Ringhomomorphismus ist, ist ker (sub α ) ein Ideal von F [ x ]. Da F [ x ] a ist Hauptring , wenn F ein Feld ist, gibt es mindestens ein Polynom in Ker (sub α ) , den Ker (sub erzeugt α ). Ein solches Polynom hat unter allen Nicht-Null-Polynomen in ker (sub α ) den geringsten Grad , und a ( x ) wird als das einzigartige monische Polynom unter diesen angesehen.

Einzigartigkeit des monischen Polynoms

Angenommen, p und q sind monische Polynome in J α von minimalem Grad n > 0. Da p - q J α und deg ( p - q ) < n sind , folgt, dass p - q = 0 ist, dh p = q .

Eigenschaften

Ein minimales Polynom ist nicht reduzierbar. Sei E / F eine Felderweiterung über F wie oben, α E und f F [ x ] ein minimales Polynom für α . Angenommen, f = gh , wobei g , h F [ x ] einen niedrigeren Grad als f haben . Jetzt ist f ( α ) = 0. Da Felder auch integrale Domänen sind , haben wir g ( α ) = 0 oder h ( α ) = 0. Dies widerspricht der Minimalität des Grades von f . Somit sind minimale Polynome nicht reduzierbar.

Beispiele

Minimales Polynom einer Galois-Felderweiterung

Bei einer Galois-Felderweiterung kann das minimale Polynom eines Nicht-In berechnet werden als

if hat keine Stabilisatoren in der Galois-Aktion. Da es irreduzibel ist, was durch Betrachten der Wurzeln von abgeleitet werden kann , ist es das minimale Polynom. Man beachte , dass die gleiche Art der Formel durch Ersatz zu finden ist mit dem die Stabilisatorgruppe aus . Wenn dann beispielsweise sein Stabilisator ist , ist dies sein minimales Polynom.

Quadratische Felderweiterungen

Q ( 2 )

Wenn F = Q , E = R , α = 2 , dann ist das minimale Polynom für α ist a ( x ) = x 2 - 2. Das Basisfeld F ist wichtig , da sie die Möglichkeiten für die Koeffizienten bestimmt a ( x ) . Zum Beispiel, wenn wir F = R , dann ist das minimale Polynom für α = 2 ist ein ( x ) = x - 2 .

Q ( d )

Im Allgemeinen kann für die quadratische Erweiterung, die durch ein Quadrat gegeben ist , die Berechnung des minimalen Polynoms eines Elements unter Verwendung der Galois-Theorie gefunden werden. Dann

dies impliziert insbesondere und . Dies kann verwendet werden, um durch eine Reihe von Beziehungen unter Verwendung modularer Arithmetik zu bestimmen .

Biquadratische Felderweiterungen

Wenn α = 2 + 3 ist , dann ist das minimale Polynom in Q [ x ] a ( x ) = x 4 - 10 x 2 + 1 = ( x - 2 - 3 ) ( x + 2 - 3) ) ( x - 2 + 3 ) ( x + 2 + 3 ).

Beachten Sie, ob sich dann die Galois-Aktion stabilisiert . Daher kann das minimale Polynom unter Verwendung der Quotientengruppe gefunden werden .

Wurzeln der Einheit

Die minimalen Polynome in Q [ x ] der Wurzeln der Einheit sind die zyklotomischen Polynome .

Swinnerton-Dyer-Polynome

Das minimale Polynom in Q [ x ] der Summe der Quadratwurzeln der ersten n Primzahlen ist analog aufgebaut und wird als Swinnerton-Dyer-Polynom bezeichnet .

Siehe auch

Verweise

  • Weisstein, Eric W. "Algebraisches Zahlenminimalpolynom" . MathWorld .
  • Minimales Polynom bei PlanetMath .
  • Pinter, Charles C. Ein Buch der abstrakten Algebra . Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN   978-0-486-47417-5