Modelltheorie - Model theory

In der mathematischen Logik , Modelltheorie ist die Untersuchung der Beziehung zwischen formalen Theorien (einer Sammlung von Sätzen in einer formalen Sprache Aussagen über eine exprimierenden mathematische Struktur ) und ihre Modelle, die eingenommenen Interpretationen , die die Sätze dieser Theorie genügen. Untersucht werden unter anderem die Anzahl und Größe der Modelle einer Theorie, das Verhältnis verschiedener Modelle zueinander und deren Interaktion mit der formalen Sprache selbst. Insbesondere untersuchen Modelltheoretiker auch die Mengen, die in einem Modell einer Theorie definiert werden können, und das Verhältnis solcher definierbarer Mengen zueinander. Als eigene Disziplin, geht Modelltheorie zurück Alfred Tarski , der den Begriff „Theorie des Models“ in der Veröffentlichung im Jahr 1954. Seit den 1970er Jahren zum ersten Mal verwendet, ist Gegenstand entscheidend geprägt durch Saharon Shelah ‚s Stabilitätstheorie . Die relative Gewichtung der Klasse der Modelle einer Theorie gegenüber der Klasse der definierbaren Mengen innerhalb eines Modells schwankte in der Geschichte des Faches, und die beiden Richtungen werden durch die prägnanten Charakterisierungen von 1973 bzw. 1997 zusammengefasst:

Modelltheorie = universelle Algebra + Logik

wobei universelle Algebra für mathematische Strukturen und Logik für logische Theorien steht; und

Modelltheorie = algebraische Geometrie − Felder .

wobei logische Formeln zu definierbaren Mengen sind, was Gleichungen zu Varietäten über einem Feld sind.

Nichtsdestotrotz war das Zusammenspiel von Modellklassen und den in ihnen definierbaren Mengen von entscheidender Bedeutung für die Entwicklung der Modelltheorie im Laufe ihrer Geschichte. Während Stabilität beispielsweise ursprünglich eingeführt wurde, um Theorien nach ihrer Anzahl von Modellen in einer bestimmten Kardinalität zu klassifizieren, erwies sich die Stabilitätstheorie als entscheidend für das Verständnis der Geometrie definierbarer Mengen.

Im Vergleich zu anderen Bereichen der mathematischen Logik wie der Beweistheorie beschäftigt sich die Modelltheorie oft weniger mit formaler Strenge und steht im Geiste näher an der klassischen Mathematik. Dies hat zu dem Kommentar geführt, dass "wenn es in der Beweistheorie um das Heilige geht, dann handelt es sich bei der Modelltheorie um das Profane" . Die Anwendungen der Modelltheorie auf die algebraische und diophantische Geometrie spiegeln diese Nähe zur klassischen Mathematik wider, da sie oft eine Integration algebraischer und modelltheoretischer Ergebnisse und Techniken beinhalten.

Die bekannteste wissenschaftliche Organisation auf dem Gebiet der Modelltheorie ist die Association for Symbolic Logic .

Geäst

Diese Seite konzentriert sich auf die endliche Modelltheorie erster Ordnung unendlicher Strukturen. Die Finite-Modell-Theorie , die sich auf endliche Strukturen konzentriert, weicht sowohl hinsichtlich der untersuchten Probleme als auch der verwendeten Techniken erheblich von der Untersuchung unendlicher Strukturen ab. Die Modelltheorie in Logiken höherer Ordnung oder infinitärer Logik wird dadurch erschwert, dass Vollständigkeit und Kompaktheit für diese Logiken im Allgemeinen nicht gelten. Es wurde jedoch auch viel über solche Logiken studiert.

Informell kann die Modelltheorie in die klassische Modelltheorie, die auf Gruppen und Felder angewendete Modelltheorie und die geometrische Modelltheorie unterteilt werden. Eine fehlende Unterteilung ist die berechenbare Modelltheorie , die aber wohl als eigenständiges Teilgebiet der Logik angesehen werden kann.

Beispiele für frühe Theoreme aus der klassischen Modelltheorie sind der Vollständigkeitssatz von Gödel , der Aufwärts- und Abwärtssatz von Löwenheim-Skolem , der Zwei-Kardinal-Satz von Vaught , der Isomorphismus-Satz von Scott , der Satz von weggelassenen Typen und der Satz von Ryll-Nardzewski . Beispiele der frühen Ergebnisse von Modelltheorie anzuwenden Felder sind Tarski ‚s Beseitigung von quantifiers für echte geschlossene Felder , Ax ‘ s Theorem auf pseudo-endlichen Körpern und Robinson ‚s Entwicklung von Nicht-Standard - Analyse . Ein wichtiger Schritt in der Entwicklung der klassischen Modelltheorie erfolgte mit der Geburt der Stabilitätstheorie (durch Morleys Theorem über unzählbar kategoriale Theorien und Shelahs Klassifikationsprogramm), die ein Unabhängigkeits- und Rangkalkül basierend auf syntaktischen Bedingungen entwickelte, die von Theorien erfüllt wurden.

In den letzten Jahrzehnten ist die angewandte Modelltheorie immer wieder mit der reineren Stabilitätstheorie verschmolzen. Das Ergebnis dieser Synthese wird in diesem Artikel als geometrische Modelltheorie bezeichnet (wozu z. B. die o-Minimalität sowie die klassische geometrische Stabilitätstheorie gehören). Ein Beispiel für einen Beweis aus der geometrischen Modelltheorie ist Hrushovskis Beweis der Mordell-Lang-Vermutung für Funktionskörper. Der Ehrgeiz der geometrischen Modelltheorie besteht darin, eine Geographie der Mathematik zu schaffen, indem sie sich auf ein detailliertes Studium definierbarer Mengen in verschiedenen mathematischen Strukturen einlässt, unterstützt durch die wesentlichen Werkzeuge, die beim Studium der reinen Modelltheorie entwickelt wurden.

Grundbegriffe der Modelltheorie erster Ordnung

Logik erster Ordnung

Eine Formel erster Ordnung wird aus atomaren Formeln wie R ( f ( x , y ), z ) oder y = x + 1 mit Hilfe der Booleschen Verknüpfungen und Voranstellen von Quantoren oder gebildet . Ein Satz ist eine Formel, in der jedes Vorkommen einer Variablen im Geltungsbereich eines entsprechenden Quantors liegt. Beispiele für Formeln sind φ (oder φ(x) um zu kennzeichnen, dass höchstens x eine ungebundene Variable in φ ist) und ψ wie folgt definiert: ${\displaystyle \neg,\land,\lor,\rightarrow}$${\displaystyle \forall v}$${\displaystyle \exists v}$

${\displaystyle {\varphi\;=\;\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}}$

${\displaystyle \psi\;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\ erforderl. 1.}$

(Beachten Sie, dass das Gleichheitssymbol hier eine doppelte Bedeutung hat.) Es ist intuitiv klar, wie man solche Formeln in mathematische Bedeutung übersetzt. In der σ _smr -Struktur der natürlichen Zahlen beispielsweise erfüllt ein Element n die Formel φ genau dann, wenn n eine Primzahl ist. Die Formel ψ definiert auf ähnliche Weise Irreduzibilität. Tarski hat eine rigorose Definition, manchmal auch "Tarskis Definition der Wahrheit" genannt , für die Zufriedenheitsrelation gegeben , so dass man leicht beweisen kann: ${\displaystyle {\mathcal{N}}}$ ${\displaystyle \models}$

${\displaystyle {\mathcal{N}}\models\varphi(n)\iff n}$ ist eine Primzahl.

${\displaystyle {\mathcal{N}}\models \psi(n)\iff n}$ ist irreduzibel.

Eine Menge T von Sätzen heißt Theorie (erster Ordnung) . Eine Theorie ist erfüllbar, wenn sie ein Modell hat , dh eine Struktur (mit der entsprechenden Signatur), die alle Sätze der Menge T erfüllt . Eine vollständige Theorie ist eine Theorie, die jeden Satz oder seine Negation enthält. Die vollständige Theorie aller von einer Struktur erfüllten Sätze wird auch Strukturtheorie genannt . ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$

Gödels Vollständigkeitssatz (nicht zu verwechseln mit seinen Unvollständigkeitssätzen ) besagt, dass eine Theorie genau dann ein Modell hat, wenn sie konsistent ist , dh kein Widerspruch durch die Theorie bewiesen ist. Daher verwenden Modelltheoretiker häufig „konsistent“ als Synonym für „erfüllbar“.

Grundlegende modelltheoretische Konzepte

Eine Signatur oder Sprache ist ein Satz nicht-logischer Symbole , sodass jedes Symbol entweder ein Funktionssymbol oder ein Beziehungssymbol ist und eine bestimmte Stelligkeit hat . Eine Struktur ist eine Menge zusammen mit Interpretationen jedes der Symbole der Signatur als Beziehungen und Funktionen (nicht zu verwechseln mit der Interpretation einer Struktur in einer anderen). Eine übliche Signatur für geordnete Ringe ist , wobei und 0-äre Funktionssymbole (auch als Konstantensymbole bekannt) sind und binäre Funktionssymbole sind, ein unäres Funktionssymbol und ein binäres Beziehungssymbol sind. Dann, wenn diese Symbole so interpretiert werden, dass sie ihrer üblichen Bedeutung auf entsprechen (also zB eine Funktion von bis und eine Teilmenge von ist ), erhält man eine Struktur . Eine Struktur soll einen Satz von Sätzen erster Ordnung in der gegebenen Sprache modellieren, wenn jeder Satz in in Bezug auf die Interpretation der zuvor für spezifizierten Signatur wahr ist . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma _{or}=\{0,1,+,\times ,-,<\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \times}$${\displaystyle -}$${\displaystyle <}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb{Q} ^{2}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \mathbb{Q} ^{2}}$${\displaystyle (\mathbb{Q},\sigma_{oder})}$${\displaystyle {\mathcal{N}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal{N}}}$${\displaystyle {\mathcal{N}}}$

Eine Unterstruktur einer σ-Struktur ist eine unter allen Funktionen in ihrer Signatur σ abgeschlossene Teilmenge ihres Definitionsbereichs, die als σ-Struktur betrachtet wird, indem alle Funktionen und Relationen in σ auf die Teilmenge beschränkt werden. Dies verallgemeinert die analogen Konzepte aus der Algebra; Eine Untergruppe ist beispielsweise eine Unterstruktur in der Signatur mit Multiplikation und Invers. ${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Eine Unterstruktur heißt elementar, wenn für jede Formel erster Ordnung φ und beliebige Elemente a ₁ , ..., a _n von , ${\displaystyle {\mathcal{A}}}$

${\displaystyle {\mathcal{A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$wenn und nur wenn .${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

Insbesondere wenn φ ein Satz und eine elementare Unterstruktur von ist , dann genau dann, wenn . Ein elementarer Unterbau ist also genau dann ein Modell einer Theorie, wenn der Überbau ein Modell ist. Während also der Körper der algebraischen Zahlen eine elementare Unterstruktur des Körpers der komplexen Zahlen ist , ist der rationale Körper dies nicht, da wir "Es gibt eine Quadratwurzel aus 2" als Satz erster Ordnung ausdrücken können, der von erfüllt, aber nicht von erfüllt ist . ${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal{A}}\models\varphi}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi}$${\displaystyle {\overline {\mathbb{Q}}}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Eine Einbettung einer σ-Struktur in eine andere σ-Struktur ist eine Abbildung f : A → B zwischen den Domänen, die als Isomorphismus von mit einer Unterstruktur von geschrieben werden kann . Wenn es als Isomorphismus mit elementarer Unterstruktur geschrieben werden kann, wird es als elementare Einbettung bezeichnet. Jede Einbettung ist ein injektiver Homomorphismus, aber das Umgekehrte gilt nur, wenn die Signatur keine Relationssymbole enthält, etwa in Gruppen oder Feldern. ${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal{A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Ein Körper oder ein Vektorraum kann als (kommutative) Gruppe betrachtet werden, indem man einfach einen Teil seiner Struktur ignoriert. Der entsprechende Begriff in der Modelltheorie ist der einer Reduktion einer Struktur auf eine Teilmenge der Originalsignatur. Die umgekehrte Beziehung nennt man Erweiterung - zB kann die (additive) Gruppe der rationalen Zahlen , als Struktur in der Signatur {+,0} betrachtet, zu einem Körper mit der Signatur {×,+,1,0} oder erweitert werden zu einer geordneten Gruppe mit der Signatur {+,0,<}.

Wenn ' eine Signatur ist, die eine andere Signatur σ erweitert, dann kann eine vollständige σ'-Theorie auf σ beschränkt werden, indem die Menge ihrer Sätze mit der Menge der σ-Formeln geschnitten wird. Umgekehrt kann eine vollständige σ-Theorie als σ'-Theorie betrachtet werden, und man kann sie (auf mehr als eine Weise) zu einer vollständigen σ'-Theorie erweitern. Die Begriffe Reduktion und Expansion werden manchmal auch auf diese Beziehung angewendet.

Kompaktheit und der Satz von Löwenheim-Skolem

Der Kompaktheitssatz besagt, dass eine Menge von Sätzen S erfüllbar ist, wenn jede endliche Teilmenge von S erfüllbar ist. Die analoge Aussage mit konsistent statt erfüllbar ist trivial, da jeder Beweis nur eine endliche Anzahl von im Beweis verwendeten Antezedenten haben kann. Der Vollständigkeitssatz erlaubt uns, dies auf die Erfüllbarkeit zu übertragen. Es gibt jedoch auch mehrere direkte (semantische) Beweise des Kompaktheitssatzes. Als Korollar (dh sein Kontrapositiv) sagt der Kompaktheitssatz , dass jede unerfüllbare Theorie erster Ordnung eine endliche unerfüllbare Teilmenge hat. Dieser Satz ist von zentraler Bedeutung in der Modelltheorie, wo die Worte "durch Kompaktheit" gebräuchlich sind.

Ein weiterer Eckpfeiler der Modelltheorie erster Ordnung ist das Löwenheim-Skolem-Theorem. Nach dem Satz von Löwenheim-Skolem hat jede unendliche Struktur in einer abzählbaren Signatur eine abzählbare elementare Unterstruktur. Umgekehrt kann für jede unendliche Kardinalität κ jede unendliche Struktur in einer abzählbaren Signatur mit einer Kardinalität kleiner als κ elementar in eine andere Kardinalitätsstruktur eingebettet werden κ (Es gibt eine einfache Verallgemeinerung auf überzählbare Signaturen). Insbesondere der Satz von Löwenheim-Skolem impliziert, dass jede Theorie in einer abzählbaren Signatur mit unendlichen Modellen ein abzählbares Modell sowie beliebig große Modelle hat.

In einem gewissen Sinn, der durch den Satz von Lindström präzisiert wird , ist die Logik erster Ordnung die ausdrucksstärkste Logik, für die sowohl der Löwenheim-Skolem-Satz als auch der Kompaktheitssatz gelten.

Definierbarkeit

Definierbare Sets

In der Modelltheorie sind definierbare Mengen wichtige Studienobjekte. Zum Beispiel in der Formel ${\displaystyle \mathbb{N}}$

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v )))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

definiert die Teilmenge der Primzahlen, während die Formel

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

definiert die Teilmenge der geraden Zahlen. In ähnlicher Weise definieren Formeln mit n freien Variablen Teilmengen von . In einem Feld ist beispielsweise die Formel ${\displaystyle {\mathcal{M}}^{n}}$

${\displaystyle y=x\times x}$

definiert die Kurve aller so, dass . ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y=x^{2}}$

Die beiden hier genannten Definitionen sind parameterfrei , dh die definierenden Formeln erwähnen keine festen Domänenelemente. Man kann aber auch Definitionen mit Parametern aus dem Modell berücksichtigen . Zum Beispiel in , die Formel ${\displaystyle \mathbb{R}}$

${\displaystyle y=x\times x+\pi}$

verwendet den Parameter from , um eine Kurve zu definieren. ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Eliminieren von Quantoren

Im Allgemeinen sind definierbare Mengen ohne Quantoren leicht zu beschreiben, während definierbare Mengen mit möglicherweise verschachtelten Quantoren viel komplizierter sein können.

Dies macht die Quantoreneliminierung zu einem entscheidenden Werkzeug für die Analyse definierbarer Mengen: Eine Theorie T hat eine Quantoreneliminierung, wenn jede Formel erster Ordnung φ( x ₁ , ..., x _n ) über ihrer Signatur modulo T einer Formel erster Ordnung ψ . äquivalent ist ( x ₁ , ..., x _n ) ohne Quantoren, dh gilt in allen Modellen von T . Wenn die Theorie einer Struktur eine Quantoreneliminierung hat, ist jede in einer Struktur definierbare Menge durch eine quantorenfreie Formel über dieselben Parameter wie die ursprüngliche Definition definierbar. Zum Beispiel hat die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper in der Signatur σ _ring = (×,+,−,0,1) eine Quantoreneliminierung. Dies bedeutet, dass in einem algebraisch abgeschlossenen Körper jede Formel äquivalent zu einer booleschen Kombination von Gleichungen zwischen Polynomen ist. ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n }))}$

Wenn eine Theorie keine Quantoreneliminierung hat, kann man ihrer Signatur zusätzliche Symbole hinzufügen, damit dies der Fall ist. Die frühe Modelltheorie hat viel Mühe darauf verwendet, die Axiomatisierbarkeit und die Ergebnisse der Eliminierung von Quantoren für bestimmte Theorien, insbesondere in der Algebra, zu beweisen. Aber oft genügt statt der Quantoreneliminierung eine schwächere Eigenschaft:

Eine Theorie T heißt modellvollständig, wenn jede Unterstruktur eines Modells von T, die selbst ein Modell von T ist, eine elementare Unterstruktur ist. Es gibt ein nützliches Kriterium, um zu testen, ob eine Unterstruktur eine elementare Unterstruktur ist, den sogenannten Tarski-Vaught-Test . Aus diesem Kriterium folgt, dass eine Theorie T genau dann modellvollständig ist, wenn jede Formel erster Ordnung φ( x ₁ , ..., x _n ) über ihre Signatur modulo T einer existenziellen Formel erster Ordnung äquivalent ist , dh eine Formel der folgenden Form:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

wobei ψ frei von Quantoren ist. Eine Theorie, die nicht modellvollständig ist, kann eine Modellvollständigkeit haben oder nicht , die eine verwandte modellvollständige Theorie ist, die im Allgemeinen keine Erweiterung der ursprünglichen Theorie ist. Eine allgemeinere Vorstellung ist die eines vorbildlichen Begleiters .

Minimalität

In jeder Struktur ist jede endliche Teilmenge mit Parametern definierbar: Verwenden Sie einfach die Formel ${\displaystyle \{a_{1},\dots,a_{n}\}}$

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee a_{n}}$.

Da wir diese Formel negieren können, ist auch jede kofinite Teilmenge (die alle bis auf endlich viele Elemente des Definitionsbereichs enthält) immer definierbar.

Dies führt zu dem Konzept einer minimalen Struktur . Eine Struktur heißt minimal, wenn jede mit Parametern von definierbare Teilmenge entweder endlich oder kofinit ist. Das entsprechende Konzept auf der Ebene der Theorien heißt starke Minimalität : Eine Theorie T heißt stark minimal, wenn jedes Modell von T minimal ist. Eine Struktur heißt stark minimal, wenn die Theorie dieser Struktur stark minimal ist. Äquivalent ist eine Struktur stark minimal, wenn jede elementare Erweiterung minimal ist. Da die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper eine Quantoreneliminierung hat, ist jede definierbare Teilmenge eines algebraisch abgeschlossenen Körpers durch eine quantorenfreie Formel in einer Variablen definierbar. Quantorenfreie Formeln in einer Variablen drücken boolesche Kombinationen von Polynomgleichungen in einer Variablen aus, und da eine nichttriviale Polynomgleichung in einer Variablen nur endlich viele Lösungen hat, ist die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper stark minimal. ${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$

Andererseits ist der Körper der reellen Zahlen nicht minimal: Betrachten wir zum Beispiel die definierbare Menge ${\displaystyle \mathbb{R}}$

${\displaystyle \varphi(x)\;=\;\exists y(y\times y=x)}$.

Dies definiert die Teilmenge der nicht-negativen reellen Zahlen, die weder endlich noch kofinit ist. Tatsächlich kann man damit beliebige Intervalle auf dem reellen Zahlenstrahl definieren. Es stellt sich heraus, dass diese ausreichen, um jede definierbare Teilmenge von darzustellen . Diese Verallgemeinerung der Minimalität hat sich in der Modelltheorie geordneter Strukturen als sehr nützlich erwiesen. Eine dicht total geordnete Struktur in einer Signatur mit einem Symbol für die Ordnungsrelation heißt o-minimal, wenn jede mit Parametern von definierbare Teilmenge eine endliche Vereinigung von Punkten und Intervallen ist. ${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$

Definierbare und interpretierbare Strukturen

Besonders wichtig sind jene definierbaren Mengen, die auch Unterstrukturen sind, dh alle Konstanten enthalten und unter Funktionsanwendung abgeschlossen sind. Beispielsweise kann man die definierbaren Untergruppen einer bestimmten Gruppe studieren. Es besteht jedoch keine Notwendigkeit, sich auf Unterstrukturen in derselben Signatur zu beschränken. Da Formeln mit n freien Variablen Teilmengen von definieren , können auch n- äre Relationen definierbar sein. Funktionen sind definierbar, wenn der Funktionsgraph eine definierbare Relation ist, und Konstanten sind definierbar, wenn es eine Formel gibt , bei der a das einzige Element einer solchen ist, das wahr ist. Auf diese Weise kann man beispielsweise definierbare Gruppen und Felder in allgemeinen Strukturen studieren, was in der geometrischen Stabilitätstheorie wichtig war. ${\displaystyle {\mathcal{M}}^{n}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle\varphi(x)}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle\varphi (a)}$

Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und über unmittelbare Unterkonstruktionen hinausgehen. Bei einer mathematischen Struktur gibt es sehr oft assoziierte Strukturen, die über eine Äquivalenzrelation als Quotient eines Teils der ursprünglichen Struktur konstruiert werden können. Ein wichtiges Beispiel ist eine Quotientengruppe einer Gruppe. Man könnte sagen, dass man diese Quotienten verstehen muss, um die vollständige Struktur zu verstehen. Wenn die Äquivalenzrelation definierbar ist, können wir dem vorherigen Satz eine genaue Bedeutung geben. Wir sagen, dass diese Strukturen interpretierbar sind . Eine wesentliche Tatsache ist, dass man Sätze aus der Sprache der interpretierten Strukturen in die Sprache der Originalstruktur übersetzen kann. So kann man zeigen, dass, wenn eine Struktur eine andere interpretiert, deren Theorie unentscheidbar ist, sie selbst unentscheidbar ist. ${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$

Typen

Grundbegriffe

Für eine Folge von Elementen einer Struktur und einer Teilmenge A von kann man die Menge aller Formeln erster Ordnung mit Parametern in A betrachten , die von erfüllt sind . Dies wird als vollständiger (n-)Typ bezeichnet, der durch über A realisiert wird . Wenn es einen Automorphismus gibt, der auf A konstant ist und an jeweils sendet , dann und den gleichen vollständigen Typ über A realisieren . ${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle\varphi(x_{1},\dots,x_{n})}$${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots,b_{n}}$${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots,b_{n}}$

Als laufendes Beispiel dient in diesem Abschnitt der reelle Zahlenstrahl , der als Struktur nur mit der Ordnungsrelation {<} betrachtet wird. Jedes Element erfüllt den gleichen 1-Typ über die leere Menge. Dies ist klar, da zwei beliebige reelle Zahlen a und b durch den Ordnungsautomorphismus verbunden sind, der alle Zahlen um ba verschiebt . Der vollständige 2-Typ über der leeren Menge, die durch ein Zahlenpaar realisiert wird, hängt von ihrer Reihenfolge ab: entweder , oder . Über die Teilmenge der ganzen Zahlen hängt der 1-Typ einer nicht ganzzahligen reellen Zahl a von ihrem Wert ab, der auf die nächste ganze Zahl abgerundet wird. ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle a\in\mathbb{R}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$${\displaystyle\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}}$

Allgemeiner gesagt, wann immer eine Struktur und A eine Teilmenge von ist , ist ein (partieller) n-Typ über A eine Menge von Formeln p mit höchstens n freien Variablen, die in einer elementaren Erweiterung von realisiert werden . Wenn p jede solche Formel oder deren Negation enthält, dann p ist komplett . Die Menge der vollständigen n- Typen über A wird oft als geschrieben . Ist A die leere Menge, dann hängt der Typraum nur von der Theorie T von ab . Die Notation wird häufig für die Menge von Typen über der leeren Menge verwendet, die mit T konsistent ist . Wenn es eine einzige Formel ist , so dass die Theorie der impliziert für jede Formel in p , dann p heißt isoliert . ${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{N}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle S_{n}^{\mathcal{M}}(A)}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle S_{n}(T)}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle\varphi\rightarrow\psi}$${\displaystyle \psi}$

Da die reellen Zahlen sind archimedische , gibt es keine reelle Zahl größer als jede ganze Zahl. Ein Kompaktheitsargument zeigt jedoch, dass es eine elementare Erweiterung der reellen Zahlengerade gibt, in der es ein Element gibt, das größer als jede ganze Zahl ist. Daher ist die Menge der Formeln ein 1-Typ , der in der reellen Zahlengeraden nicht realisiert wird . ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \{n<x|n\in\mathbb{Z}\}}$${\displaystyle\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

Eine Untergruppe von das kann ausgedrückt werden , wie genau die Elemente eines bestimmten Typs über die Realisierung A heißt Typ definierbare über A . Für ein algebraisches Beispiel sei ein algebraisch abgeschlossener Körper angenommen . Die Theorie hat Quantoreneliminierung. Damit können wir zeigen, dass ein Typ genau durch die darin enthaltenen Polynomgleichungen bestimmt wird. Somit entspricht die Menge der vollständigen -Typen über einem Teilkörper der Menge der Primideale des Polynomrings , und die typdefinierbaren Mengen sind genau die affinen Varietäten. ${\displaystyle {\mathcal{M}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots,x_{n}]}$

Strukturen und Typen

Während nicht jeder Typ in jeder Struktur realisiert wird, realisiert jede Struktur ihre isolierten Typen. Wenn die einzigen Typen über der leeren Menge, die in einer Struktur realisiert werden, die isolierten Typen sind, dann heißt die Struktur atomar .

Andererseits realisiert keine Struktur jeden Typ über jeden Parametersatz; nimmt man all of als Parametersatz, dann wird jeder in realisierte 1-Typ durch eine Formel der Form a = x für an isoliert . Jede richtige elementare Erweiterung von enthält jedoch ein Element, das nicht in . Daher wurde ein schwächerer Begriff eingeführt, der die Idee einer Struktur einfängt, die alle Typen realisiert, von denen erwartet werden kann, dass sie realisiert werden. Eine Struktur wird als gesättigt bezeichnet, wenn sie jeden Typ über einen Parametersatz realisiert , der eine kleinere Kardinalität als sie selbst hat. ${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$

Während ein automorphism , die konstant an ist A wird immer über Typen bewahren A ist es im allgemeinen nicht wahr , dass zwei beliebige Sequenzen und dass erfüllen die gleiche Art über A kann durch eine solche automorphism zueinander abgebildet werden. Eine Struktur , in der diese Umkehrung tut gilt für alle A kleinerer Mächtigkeit als heißt homogen . ${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots,b_{n}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$${\displaystyle {\mathcal{M}}}$

Die reelle Zahlengerade ist in der Sprache, die nur die Ordnung enthält, atomar , da alle n- Typen über der durch in realisierten leeren Menge durch die Ordnungsbeziehungen zwischen den isoliert sind . Sie ist jedoch nicht gesättigt, da sie keinen 1-Typ über der abzählbaren Menge realisiert , der impliziert , dass x größer als jede ganze Zahl ist. Die rationale Zahlengerade ist dagegen gesättigt, da sie selbst abzählbar ist und daher zur Sättigung nur Typen über endliche Teilmengen realisieren muss. ${\displaystyle <}$${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Steinräume

Die Menge definierbarer Teilmengen von über einigen Parametern ist eine Boolesche Algebra . Nach Stones Darstellungssatz für Boolesche Algebren gibt es einen natürlichen dualen topologischen Raum , der genau aus den vollständigen -Typen über besteht . Die von Mengen des Formulars generierte Topologie für einzelne Formeln . Dies wird als Stone-Raum der n-Typen über A bezeichnet . Diese Topologie erklärt einige der in der Modelltheorie verwendeten Terminologien: Der Kompaktheitssatz besagt, dass der Steinraum ein kompakter topologischer Raum ist und ein Typ p genau dann isoliert ist, wenn p ein isolierter Punkt in der Steintopologie ist. ${\displaystyle {\mathcal{M}}^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{p|\varphi\in p\}}$${\displaystyle\varphi}$

Während Typen in algebraisch abgeschlossenen Körpern dem Spektrum des Polynomrings entsprechen, ist die Topologie auf dem Typenraum die konstruierbare Topologie : Eine Menge von Typen ist grundsätzlich offen, wenn sie die Form oder die Form hat . Dies ist feiner als die Zariski-Topologie . ${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$

Kategorie

Eine Theorie wurde ursprünglich als kategorial bezeichnet, wenn sie eine Struktur bis hin zum Isomorphismus bestimmt. Es stellt sich heraus, dass diese Definition aufgrund schwerwiegender Einschränkungen in der Expressivität der Logik erster Ordnung nicht sinnvoll ist. Der Satz von Löwenheim-Skolem besagt, dass eine Theorie T, die ein unendliches Modell für eine unendliche Kardinalzahl hat, ein Modell der Größe κ für jede hinreichend große Kardinalzahl κ hat. Da zwei Modelle unterschiedlicher Größe unmöglich isomorph sein können, können nur endliche Strukturen durch eine kategoriale Theorie beschrieben werden.

Der schwächere Begriff der κ-Kategorizität für eine Kardinalzahl κ ist jedoch zu einem Schlüsselkonzept in der Modelltheorie geworden. Eine Theorie T heißt κ-kategorial, wenn zwei beliebige Modelle von T mit der Kardinalität κ isomorph sind. Es stellt sich heraus, dass die Frage der κ-Kategorizität entscheidend davon abhängt, ob κ größer ist als die Kardinalität der Sprache (dh  + |σ|, wobei |σ| die Kardinalität der Signatur ist). Für endliche oder abzählbare Signaturen bedeutet dies, dass es einen grundlegenden Unterschied zwischen -Kardinalität und κ-Kardinalität für überzählbare κ gibt. ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle\omega}$

${\displaystyle\omega}$-Kategorität

${\displaystyle\omega}$-kategoriale Theorien können durch Eigenschaften ihres Typraums charakterisiert werden:

Für eine vollständige Theorie erster Ordnung T in einer endlichen oder abzählbaren Signatur sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. T ist -kategorial.${\displaystyle\omega}$
2. Jeder Typ in S _n ( T ) ist isoliert.
3. Für jede natürliche Zahl n ist S _n ( T ) endlich.
4. Für jede natürliche Zahl n ist die Zahl der Formeln φ( x ₁ , ..., x _n ) in n freien Variablen bis zur Äquivalenz modulo T endlich.

Die Theorie von , die auch die Theorie von ist , ist -kategorial, da jeder n- Typ über der leeren Menge durch die paarweise Ordnungsbeziehung zwischen den isoliert ist . Dies bedeutet, dass jede abzählbare dichte lineare Ordnung ordnungsisomorph zur rationalen Zahlengerade ist. Andererseits sind die Theorien von , und as-Feldern nicht kategorisch. Dies folgt aus der Tatsache, dass in all diesen Feldern jede der unendlich vielen natürlichen Zahlen durch eine Formel der Form definiert werden kann . ${\displaystyle (\mathbb{Q},<)}$${\displaystyle (\mathbb{R},<)}$${\displaystyle\omega}$${\displaystyle p(x_{1},\dots,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\omega}$${\displaystyle x=1+\dots +1}$

${\displaystyle \aleph _{0}}$-kategoriale Theorien und ihre abzählbaren Modelle haben auch starke Verbindungen zu oligomorphen Gruppen :

Eine vollständige Theorie erster Ordnung T in einer endlichen oder abzählbaren Signatur ist genau dann -kategorial, wenn ihre Automorphismusgruppe oligomorph ist.${\displaystyle\omega}$

Die äquivalenten Charakterisierungen dieses Unterabschnitts, unabhängig von Engeler , Ryll-Nardzewski und Svenonius , werden manchmal als Ryll-Nardzewski-Theorem bezeichnet.

In kombinatorischen Signaturen sind Fraïssé-Grenzen eine gemeinsame Quelle kategorialer Theorien , die als Grenze der Amalgamierung aller möglichen Konfigurationen einer Klasse endlicher relationaler Strukturen erhalten werden. ${\displaystyle\omega}$

Unzählige Kategorisierung

Michael Morley zeigte 1963, dass es für Theorien in zählbaren Sprachen nur einen Begriff der überzähligen Kategorisierung gibt.

Der Kategorisierungssatz von Morley

Wenn eine Theorie erster Ordnung T in einer endlichen oder abzählbaren Signatur κ-kategorial für einige abzählbare Kardinalzahlen κ ist, dann ist T κ-kategorial für alle abzählbaren Kardinalzahlen κ.

Morleys Beweis offenbarte tiefe Verbindungen zwischen unzähliger Kategorisierung und der inneren Struktur der Modelle, die zum Ausgangspunkt der Klassifikationstheorie und Stabilitätstheorie wurden. Unzählige kategoriale Theorien sind in vielerlei Hinsicht die am besten erzogenen Theorien. Insbesondere vollständige stark minimale Theorien sind unzählbar kategorisch. Dies zeigt, dass die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer gegebenen Eigenschaft überzählig kategorial ist, wobei der Transzendenzgrad des Körpers seinen Isomorphismustyp bestimmt.

Eine Theorie, die sowohl kategorial als auch unzählbar kategorial ist, heißt total kategorial . ${\displaystyle\omega}$

Ausgewählte Anwendungen

Zu den frühen Erfolgen der Modelltheorie zählen Tarskis Beweise für die Entscheidbarkeit verschiedener algebraisch interessanter Klassen, wie der reellen geschlossenen Körper , Booleschen Algebren und algebraisch geschlossenen Körper einer gegebenen Eigenschaft .

In den 1960er Jahren führten Überlegungen zu gesättigten Modellen und der Ultraproduktkonstruktion zur Entwicklung der Nicht-Standard-Analyse durch Abraham Robinson .

1965 zeigten James Ax und Simon B. Kochen einen Spezialfall von Artins Vermutung über diophantische Gleichungen, das Ax-Kochen-Theorem , wiederum unter Verwendung einer Ultraproduktkonstruktion.

In jüngerer Zeit führte der Zusammenhang zwischen Stabilität und der Geometrie definierbarer Mengen zu mehreren Anwendungen aus der algebraischen und diophantischen Geometrie, darunter Ehud Hrushovskis 1996er Beweis der geometrischen Mordell-Lang-Vermutung in allen Merkmalen

2011 wandte Jonathan Pila Techniken rund um die o-Minimalität an, um die André-Oort-Vermutung für Produkte mit modularen Kurven zu beweisen .

In einem separaten Untersuchungsstrang, der ebenfalls um stabile Theorien wuchs, zeigte Laskowski 1992, dass NIP-Theorien genau diejenigen definierbaren Klassen beschreiben, die in der Theorie des maschinellen Lernens PAC-lernbar sind.

Geschichte

Modelltheorie als Fach existiert seit etwa der Mitte des 20. Jahrhunderts. Einige frühere Forschungen, insbesondere in der mathematischen Logik , werden jedoch im Nachhinein oft als modelltheoretischer Natur angesehen. Das erste signifikante Ergebnis in der heutigen Modelltheorie war ein Spezialfall des abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Theorems, der 1915 von Leopold Löwenheim veröffentlicht wurde. Der Kompaktheitssatz war in der Arbeit von Thoralf Skolem implizit enthalten , wurde jedoch erstmals 1930 als Lemma in Kurt Gödels Beweis seines Vollständigkeitssatzes . Der Löwenheim-Skolem-Satz und der Kompaktheitssatz erhielten 1936 und 1941 von Anatoly Maltsev ihre jeweiligen allgemeinen Formen . Die Entwicklung der Modelltheorie als eigenständige Disziplin wurde von Alfred Tarski , einem Mitglied der Lwów-Warschauer Schule während des Interbellums, vorangetrieben . Tarskis Arbeit umfasste unter anderem die logische Konsequenz , deduktive Systeme , die Algebra der Logik, die Theorie der Definierbarkeit und die semantische Definition von Wahrheit . Seine semantischen Methoden gipfelten in der Modelltheorie, die er und einige seiner Berkeley- Studenten in den 1950er und 60er Jahren entwickelten.

In der weiteren Geschichte der Disziplin begannen sich verschiedene Stränge herauszukristallisieren, und der Fokus des Themas verlagerte sich. In den 1960er Jahren wurden Techniken rund um Ultraprodukte zu einem beliebten Werkzeug in der Modelltheorie. Zur gleichen Zeit untersuchten Forscher wie James Ax die Modelltheorie erster Ordnung verschiedener algebraischer Klassen, und andere wie H. Jerome Keisler erweiterten die Konzepte und Ergebnisse der Modelltheorie erster Ordnung auf andere logische Systeme. Dann veränderten Saharon Shelahs Arbeit über Kategorisierung und Morleys Problem die Modelltheorie und ließen eine ganz neue Klasse von Konzepten entstehen. Die Stabilitätstheorie (Klassifikationstheorie), die Shelah seit den späten 1960er Jahren entwickelt hat, zielt darauf ab, Theorien nach der Anzahl verschiedener Modelle zu klassifizieren, die sie von einer bestimmten Kardinalität haben. In den nächsten Jahrzehnten wurde deutlich, dass die resultierende Stabilitätshierarchie eng mit der Geometrie der in diesen Modellen definierbaren Mengen zusammenhängt; Daraus entstand die Unterdisziplin, die heute als geometrische Stabilitätstheorie bekannt ist.

Verbindungen zu verwandten Zweigen der mathematischen Logik

Finite-Modell-Theorie

Die Finite-Modell-Theorie (FMT) ist der Teilbereich der Modelltheorie (MT), der sich mit ihrer Beschränkung auf Interpretationen auf endliche Strukturen, die ein endliches Universum haben, beschäftigt.

Da viele zentrale Theoreme der Modelltheorie bei Beschränkung auf endliche Strukturen nicht gelten, unterscheidet sich die FMT in ihren Beweismethoden stark von der MT. Zentrale Ergebnisse der klassischen Modelltheorie, die für endliche Strukturen unter FMT versagen, sind der Kompaktheitssatz , der Vollständigkeitssatz von Gödel und die Methode der Ultraprodukte für die Logik erster Ordnung .

Die Hauptanwendungsgebiete der FMT sind die deskriptive Komplexitätstheorie , die Datenbanktheorie und die formale Sprachtheorie .

Mengenlehre

Jede Mengentheorie (die in einer abzählbaren Sprache ausgedrückt wird), hat, wenn sie konsistent ist, ein abzählbares Modell; dies ist als Skolems Paradox bekannt , da es Sätze in der Mengenlehre gibt, die die Existenz unzählbarer Mengen postulieren, und dennoch sind diese Sätze in unserem abzählbaren Modell wahr. Vor allem der Beweis für die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese erfordert Sätze in Modellen unter Berücksichtigung der unzählbar zu sein scheinen , wenn sie aus betrachtet innerhalb des Modells, sondern jemand zählbar sind außerhalb des Modells.

Die modelltheoretische Sichtweise hat sich in der Mengenlehre als nützlich erwiesen ; zum Beispiel in Kurt Gödels Arbeit über das konstruierbare Universum, die zusammen mit der von Paul Cohen entwickelten Methode des Forcierens gezeigt werden kann, dass sie die (wiederum philosophisch interessante) Unabhängigkeit des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese von den anderen Axiomen beweist der Mengenlehre.

Umgekehrt kann die Modelltheorie selbst innerhalb der ZFC-Mengentheorie formalisiert werden. Zum Beispiel erfolgt die Formalisierung der Zufriedenheit in ZFC induktiv, basierend auf Tarskis T-Schema und der Beobachtung, wo die Mitglieder des Bereichs der Variablenzuweisungen liegen. Die Entwicklung der Grundlagen der Modelltheorie (wie des Kompaktheitssatzes) beruht auf dem Auswahlaxiom, genauer gesagt dem Booleschen Primidealsatz. Andere Ergebnisse in der Modelltheorie hängen von mengentheoretischen Axiomen jenseits des Standard-ZFC-Rahmens ab. Wenn zum Beispiel die Kontinuumshypothese gilt, dann hat jedes abzählbare Modell eine Ultrapower, die gesättigt ist (in seiner eigenen Kardinalität). Wenn die verallgemeinerte Kontinuumshypothese gilt, dann hat jedes Modell eine gesättigte elementare Erweiterung. Keines dieser Ergebnisse ist allein in ZFC beweisbar. Schließlich wurde gezeigt, dass einige Fragen, die sich aus der Modelltheorie ergeben (z. B. Kompaktheit für unendliche Logiken), großen Kardinalaxiomen äquivalent sind.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Kanonische Lehrbücher

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• Koppermann, R. (1972). Modelltheorie und ihre Anwendungen . Boston: Allyn und Speck .
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Andere Lehrbücher

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• Rothmaler, Philipp (2000). Einführung in die Modelltheorie (neue Aufl.). Taylor & Franz . ISBN 90-5699-313-5.
• Zelt, Katrin ; Ziegler, Martin (2012). Ein Kurs in Modelltheorie . Cambridge University Press . ISBN 9780521763240.
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Kostenlose Online-Texte

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• Simmons, Harold (2004), Eine Einführung in die gute altmodische Modelltheorie . Notizen zu einem Einführungskurs für Postgraduierte (mit Übungen).
• J. Barwise und S. Feferman (Herausgeber), Model-Theoretic Logics , Perspectives in Mathematical Logic, Band 8, New York: Springer-Verlag, 1985.