Multiplikativ invers - Multiplicative inverse

Diagramm, das die schematische Darstellung von Grenzen nahe unendlich zeigt
Die Kehrfunktion: y = 1/ x . Für jedes x außer 0 repräsentiert y seine multiplikative Inverse. Der Graph bildet eine rechteckige Hyperbel .

In der Mathematik ist ein multiplikatives Inverses oder reziproken für eine Zahl x , bezeichnet mit 1 / x oder x -1 , ist eine Zahl , die , wenn sie multipliziert mit x die Ausbeuten multiplikative Identität , 1. Die multiplikative Inverse einer Fraktion a / b ist , b / ein . Für die multiplikative Inverse einer reellen Zahl dividiere 1 durch die Zahl. Zum Beispiel ist der Kehrwert von 5 ein Fünftel (1/5 oder 0,2) und der Kehrwert von 0,25 ist 1 geteilt durch 0,25 oder 4. Die Kehrwertfunktion , die Funktion f ( x ), die x auf 1/ x abbildet , ist eines der einfachsten Beispiele für eine Funktion, die ihre eigene Inverse (eine Involution ) ist.

Das Multiplizieren mit einer Zahl ist das gleiche wie das Dividieren durch den Kehrwert und umgekehrt. Zum Beispiel ergibt eine Multiplikation mit 4/5 (oder 0,8) das gleiche Ergebnis wie eine Division mit 5/4 (oder 1,25). Daher ergibt die Multiplikation mit einer Zahl gefolgt von der Multiplikation mit ihrem Kehrwert die ursprüngliche Zahl (da das Produkt der Zahl und ihres Kehrwertes 1 ist).

Der Begriff reziprok war mindestens seit der dritten Auflage der Encyclopædia Britannica (1797) gebräuchlich , um zwei Zahlen zu beschreiben, deren Produkt 1 ist; geometrische Größen in einem umgekehrten Verhältnis wie beschrieben reciprocall in einer Übersetzung von 1570 Euclid ‚s Elemente .

In der Phrase multiplikativ invers wird der Qualifizierer multiplikativ oft weggelassen und dann stillschweigend verstanden (im Gegensatz zum additiven Inversen ). Multiplikative Umkehrungen können über viele mathematische Bereiche sowie über Zahlen definiert werden. In diesen Fällen kann es vorkommen, dass abba ; dann impliziert "inverse" typischerweise, dass ein Element sowohl eine linke als auch eine rechte Inverse ist .

Die Notation f −1 wird manchmal auch für die Umkehrfunktion der Funktion f verwendet , die im Allgemeinen nicht gleich der multiplikativen Umkehrfunktion ist. Zum Beispiel ist die multiplikative Inverse 1/(sin x ) = (sin x ) −1 der Kosekans von x und nicht der inverse Sinus von x, bezeichnet mit sin −1 x oder arcsin x . Nur für lineare Karten sind sie stark verwandt (siehe unten). Die Terminologie Unterschied reziproke gegen inversen nicht ausreicht , um diese Unterscheidung zu treffen, da viele Autoren die entgegengesetzten Namenskonvention bevorzugen, wahrscheinlich aus historischen Gründen (zum Beispiel in Französisch , die Umkehrfunktion wird vorzugsweise das genannte bijection réciproque ).

Beispiele und Gegenbeispiele

In den reellen Zahlen hat Null keinen Kehrwert, da keine reelle Zahl multipliziert mit 0 1 ergibt (das Produkt einer beliebigen Zahl mit Null ist Null). Mit Ausnahme von Null sind die Kehrwerte jeder reellen Zahl reell, die Kehrwerte jeder rationalen Zahl sind rational und die Kehrwerte jeder komplexen Zahl sind komplex. Die Eigenschaft, dass jedes Element außer Null eine multiplikative Inverse hat, ist Teil der Definition eines Körpers , für die dies alles Beispiele sind. Andererseits hat keine ganze Zahl außer 1 und –1 einen ganzzahligen Kehrwert, und daher sind die ganzen Zahlen kein Feld.

In modularer Arithmetik , das modulare multiplikative Inverse von a ist , auch definiert: es ist die Zahl x derart , dass ax ≡ 1 (mod n ) . Diese multiplikative Inverse existiert , wenn und nur wenn ein und n sind coprime . Zum Beispiel ist die Inverse von 3 modulo 11 4, weil 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . Der erweiterte euklidische Algorithmus kann verwendet werden, um ihn zu berechnen.

Die sedenions sind eine Algebra , in dem jeder von Null verschiedene Element eine multiplikative Inverse hat, die aber dennoch hat Divisoren von null, das heißt, von Null verschiedenen Elementen x , y , so daß xy  = 0 ist .

Eine quadratische Matrix hat eine inverse wenn und nur wenn ihr Determinante eine inverse im Koeffizienten aufweist Ring . Die lineare Abbildung, die die Matrix A –1 in Bezug auf eine Basis hat, ist dann die reziproke Funktion der Abbildung mit A als Matrix in derselben Basis. Somit sind die beiden unterschiedlichen Begriffe der Inversen einer Funktion in diesem Fall stark verwandt, während sie im allgemeinen Fall (wie oben erwähnt) sorgfältig unterschieden werden müssen.

Die trigonometrischen Funktionen sind durch die reziproke Identität verbunden: der Kotangens ist der Kehrwert der Tangente; der Sekant ist der Kehrwert des Kosinus; der Kosekans ist der Kehrwert des Sinus.

Ein Ring, in dem jedes Element ungleich null eine multiplikative Inverse hat, ist ein Divisionsring ; ebenfalls ist eine Algebra, in der dies gilt, eine Divisionsalgebra .

Komplexe Zahlen

Wie oben erwähnt, ist der Kehrwert jeder von Null verschiedenen komplexen Zahl z = a + bi komplex. Es kann gefunden werden, indem man sowohl den oberen als auch den unteren Teil von 1/ z mit seinem konjugierten Komplex multipliziert und die Eigenschaft verwendet, dass der absolute Wert von z zum Quadrat, der die reelle Zahl a 2 + b 2 ist, ist :

Die Intuition ist das

gibt uns die komplex Konjugierte mit einer auf einen Wert von reduzierten Größe , so dass eine erneute Division durch sicherstellt, dass die Größe nun auch gleich dem Kehrwert der ursprünglichen Größe ist, also:

Insbesondere wenn || z ||=1 ( z hat Einheitsgröße), dann . Folglich sind die imaginären Einheiten , ± i , haben additive Inverse zum multiplikativen Inversen gleich sind , und sind die einzigen komplexen Zahlen mit dieser Eigenschaft. Zum Beispiel additiver und multiplikativen Inversen von i ist - ( i ) = - i und 1 / i = - i , respectively.

Für eine komplexe Zahl in Polarform z = r (cos φ + i  sin φ) nimmt der Kehrwert einfach den Kehrwert des Betrags und das Negative des Winkels an:

Geometrische Intuition für das Integral von 1/ x . Die drei Integrale von 1 bis 2, von 2 bis 4 und von 4 bis 8 sind alle gleich. Jede Region ist die vorherige Region, die vertikal halbiert und horizontal verdoppelt wird. Erweitert ist das Integral von 1 nach 2 k das k- fache des Integrals von 1 nach 2, ebenso wie ln 2 k = k ln 2.

Infinitesimalrechnung

In der reellen Analysis ist die Ableitung von 1/ x = x −1 durch die Potenzregel mit der Potenz −1 gegeben:

Die Potenzregel für Integrale ( die Quadraturformel von Cavalieri ) kann nicht verwendet werden, um das Integral von 1/ x zu berechnen , da dies zu einer Division durch 0 führen würde:

Stattdessen ist das Integral gegeben durch:
wobei ln der natürliche Logarithmus ist . Um dies zu zeigen, beachten Sie, dass , also wenn und , haben wir:

Algorithmen

Der Kehrwert kann von Hand unter Verwendung einer langen Division berechnet werden .

Die reziproke Computing ist wichtig in vielen SRT-Division , da der Quotient a / b kann durch erste Rechen 1 / berechnet werden , b und dann durch die Multiplikation ein . Wenn man anmerkt, dass bei x = 1/ b eine Null vorhanden ist , kann die Newton-Methode diese Null finden, beginnend mit einer Schätzung und iterieren mit der Regel:

Dies wird so lange fortgesetzt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Angenommen, wir möchten 1/17 ≈ 0,0588 mit 3 Stellen Genauigkeit berechnen. Mit x 0 = 0,1 ergibt sich die folgende Sequenz:

x 1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
x 2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x 4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x 5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Eine typische anfängliche Schätzung kann gefunden werden, indem b auf eine nahegelegene Potenz von 2 gerundet wird und dann Bitverschiebungen verwendet werden , um seinen Kehrwert zu berechnen.

Damit eine reelle Zahl x in der konstruktiven Mathematik einen Kehrwert hat, reicht es nicht aus, dass x ≠ 0 ist. Stattdessen muss eine rationale Zahl r mit 0 <  r  < | . angegeben werden x |. Im Hinblick auf die Angleichung Algorithmus oben beschrieben, ist dies notwendig , um nachzuweisen , dass die Änderung in y schließlich beliebig klein werden wird.

Graph von f( x ) = x x zeigt das Minimum bei (1/ e , e −1/ e ).

Diese Iteration kann auch auf eine breitere Art von Inversen verallgemeinert werden; zum Beispiel Matrixinversen .

Kehrwerte irrationaler Zahlen

Jede reelle oder komplexe Zahl ohne Null hat einen Kehrwert, und Kehrwerte bestimmter irrationaler Zahlen können wichtige besondere Eigenschaften haben. Beispiele sind der Kehrwert von e (≈ 0,367879) und der Kehrwert des Goldenen Schnitts (≈ 0,618034). Der erste Kehrwert ist besonders, weil keine andere positive Zahl eine niedrigere Zahl erzeugen kann, wenn sie mit sich selbst potenziert wird; ist das globale Minimum von . Die zweite Zahl ist die einzige positive Zahl, die ihrem Kehrwert plus eins entspricht: . Sein additiver Kehrwert ist die einzige negative Zahl, die seinem Kehrwert minus eins entspricht: .

Die Funktion liefert unendlich viele irrationale Zahlen, die sich in ihrem Kehrwert um eine ganze Zahl unterscheiden. Ist zum Beispiel das Irrationale . Sein Kehrwert ist , genau weniger. Solche irrationalen Zahlen haben eine offensichtliche Eigenschaft: Sie haben denselben Bruchteil wie ihr Kehrwert, da sich diese Zahlen um eine ganze Zahl unterscheiden.

Weitere Bemerkungen

Wenn die Multiplikation assoziativ ist, kann ein Element x mit einer multiplikativen Inversen kein Nullteiler sein ( x ist ein Nullteiler, wenn ein von Null verschiedenes y , xy = 0 ). Um dies zu sehen, genügt es, die Gleichung xy = 0 mit dem Kehrwert von x (links) zu multiplizieren und dann mit Assoziativität zu vereinfachen. Bei fehlender Assoziativität liefern die Sedenionen ein Gegenbeispiel.

Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element, das kein Nullteiler ist, hat nicht garantiert eine multiplikative Inverse. Innerhalb von Z liefern alle ganzen Zahlen außer -1, 0, 1 Beispiele; sie sind weder Nullteiler noch haben sie Inverse in Z . Wenn der Ring oder die Algebra endlich ist, dann haben alle Elemente a, die keine Nullteiler sind, eine (links und rechts) Inverse. Denn beachten Sie zunächst, dass die Abbildung f ( x ) = ax injektiv sein muss : f ( x ) = f ( y ) impliziert x = y :

Verschiedene Elemente werden verschiedenen Elementen zugeordnet, sodass das Bild aus derselben endlichen Anzahl von Elementen besteht und die Zuordnung notwendigerweise surjektiv ist . Insbesondere muss ƒ (nämlich Multiplikation mit a ) ein Element x auf 1 abbilden , ax = 1 , sodass x eine Inverse für a ist .

Anwendungen

Die Entwicklung des Kehrwerts 1/ q in jeder Basis kann auch als Quelle für Pseudo-Zufallszahlen dienen , wenn q eine "geeignete" sichere Primzahl ist , eine Primzahl der Form 2 p  + 1, wobei p auch eine Primzahl ist. Durch die Entwicklung wird eine Folge von Pseudo-Zufallszahlen der Länge q  − 1 erzeugt.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ "In gleichen Parallelipipedons sind die Basen reziprokall zu ihren Höhen". OED „Reziproke“ §3a. Sir Henry Billingsley Übersetzung von Elements XI, 34.
  2. ^ Anthony, Dr. "Beweis, dass INT(1/x)dx = lnx" . Fragen Sie Dr. Math . Drexel-Universität . Abgerufen am 22. März 2013 .
  3. ^ Mitchell, Douglas W., „Ein nichtlinearer Zufallszahlengenerator mit bekannter, langer Zykluslänge“, Cryptologia 17, Januar 1993, S. 55–62.

Verweise

  • Maximal periodische Reziproke, Matthews RAJ Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications Bd. 28 S. 147–148 1992